1、2018-2019 学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共 14 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 1 （5 分）已知命题 p：x0，exex，写出命题 p 的否定： 2 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y22x 的准线方程为 3 （5 分）已知 f（x）exsinx，则 f（0）的值为 4 （5 分）设复数 z 满足（z2）i1+i（i 为虚数单位） ，则 z 的实部是 5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，P
2、 是椭圆 C：+y21 上一点若点 P 到椭圆 C 的 右焦点的距离为 2，则它到椭圆 C 的右准线的距离为 6 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 zx+2y 的最小值为 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中， “m0”是“方程 x2+my21 表示椭圆”的 条 件 （填“充分不必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既不充分也不必要” ） 8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线y21 的顶点到它的渐近线的距离 为 9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（4，0） ，点 B（0，2） ，平面内点
3、P 满足 15，则 PO 的最大值是 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 F1，F2分别是椭圆+1（ab0）的左、 右焦点，过点 F2且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 A，B 两点若AF1B 为锐角，则该椭 圆的离心率的取值范围是 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1： （xa）2+（ya2）21 与圆 C2：x2+y2 2x30 有公共点，则实数 a 的取值范围是 12 （5 分）如图，在正四棱锥 PABCD 中，PAAB，点 M 为 PA 的中点，若 MNAD，则实数 第 2 页（共 21 页） 13
4、（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M： （x1）2+y21，点 A（3，1） ，P 为抛物线 y22x 上任意一点（异于原点） ，过点 P 作圆 M 的切线 PB，B 为切点，则 PA+PB 的最小 值是 14 （5 分）已知函数 f（x）x33a2x6a2+4a（a0）只有一个零点，且这个零点为正数， 则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分
5、）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：+1（ab0）经过点 A（4， 0） ，其离心率为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）已知 P 是椭圆 E 上一点，F1，F2为椭圆 E 的焦点，且F1PF2，求点 P 到 y 轴的距离 16 （14 分）如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为，侧棱长为 1，求： （1）直线 A1C 与直线 AD1所成角的余弦值； （2）平面 D1AC 与平面 ABB1A1所成二面角的正弦值 17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 经过抛物线 yx2x6 与坐标轴的三个 交点 第 3 页（共 21 页） （1）求圆 C 的方程；
6、（2）经过点 P（2，5）的直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，若圆 C 在 A，B 两点处的 切线互相垂直，求直线 l 的方程 18 （16 分）如图，从一个面积为 15 的半圆形铁皮上截取两个高度均为 x 的矩形，并将截 得的两块矩形铁皮分别以 AB，A1B1为母线卷成两个高均为 x 的圆柱（无底面，连接部分 材料损失忽略不计） 记这两个圆柱的体积之和为 V （1）将 V 表示成 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）求两个圆柱体积之和 V 的最大值 19 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别为椭圆 C：+1 的左、 右焦点动直线 l 过点 F2
7、，且与椭圆 C 相交于 A，B 两点（直线 l 与 x 轴不重合） （1）若点 A 的坐标为 （0，） ，求点 B 坐标； （2）点 M（4，0） ，设直线 AM，BM 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1+k20； （3）求AF1B 面积最大时的直线 l 的方程 20 （16 分）已知函数 f（x）alnx+，aR （1）若 a2，且直线 yx+m 是曲线 yf（x）的一条切线，求实数 m 的值； （2）若不等式 f（x）1 对任意 x（1，+）恒成立，求 a 的取值范围； （3）若函数 h（x）f（x）x 有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，且 h（x2）h（x1）， 求 a 的取值范
8、围 第 4 页（共 21 页） 2018-2019 学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 1 （5 分）已知命题 p：x0，exex，写出命题 p 的否定： x0，exex 【分析】 “全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题 【解答】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题” ， 命题 p：x0，exex，的否定是：x0，exex
9、故答案为：x0，exex 【点评】本小题主要考查命题的否定属于基础题命题的否定即命题的对立面 “全称 量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少 有一个不成立” ； “都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性 命题” ， “存在性命题”的否定一定是“全称命题” 2 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y22x 的准线方程为 x 【分析】利用抛物线方程求出 p，即可得到结果 【解答】解：抛物线 y22x 的焦点到其准线的距离为：p1 抛物线的准线方程为：x 故答案为：x 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力 3 （5 分
10、）已知 f（x）exsinx，则 f（0）的值为 1 【分析】先求 f（x）的导数，再求导数值 【解答】解：f（x）exsinx，f（x）（ex）sinx+ex （sinx）exsinx+excosx， f'（0）0+11 故答案为：1 【点评】本题考查导数的运算，函数值求解，准确利用导数运算法则求导是基础，也是 关键 4 （5 分）设复数 z 满足（z2）i1+i（i 为虚数单位） ，则 z 的实部是 3 【分析】复数方程同除 i，右侧复数的分子、分母同乘复数 i，化简为 a+bi（a，bR）的 第 5 页（共 21 页） 形式得到复数的实部 【解答】解：由（z2）i1+i 得，z3
11、i， 所以复数的实部为：3 故答案为：3 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题 5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，P 是椭圆 C：+y21 上一点若点 P 到椭圆 C 的 右焦点的距离为 2，则它到椭圆 C 的右准线的距离为 【分析】求出椭圆的离心率，利用椭圆的第二定义，求解即可 【解答】解：椭圆 C：+y21，可得 e， 由椭圆的第二定义可得：它到椭圆 C 的右准线的距离为 d， d 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力 6 （5 分）已知实数 x，y 满足，则 zx+2y 的最小值为 1 【分析】由约束条件作出可行域
12、，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由实数 x，y 满足，作出可行域如图，由解得 B（3，1） 化 zx+2y 为 yx+，由图可知，当直线 yx+过 B（3，1）时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值等于 z3+2（1）1 故答案为：1 第 6 页（共 21 页） 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 7 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中， “m0”是“方程 x2+my21 表示椭圆”的 必要不 充分 条件 （填“充分不必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “
13、既不充分也不必要” ） 【分析】由椭圆的性质有： “方程 x2+my21 表示椭圆”的充要条件为：，再判断 “m0”与“”的关系 【解答】解：由椭圆的性质有： “方程 x2+my21 表示椭圆”的充要条件为：， 又“m0”是“”的必要不充分条件， 所以， “m0”是“方程 x2+my21 表示椭圆”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 【点评】本题考查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题 8 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线y21 的顶点到它的渐近线的距离为 【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可 【解答】解：双曲线y21 的一个顶点为 A（2，0） ， 双曲线的一条渐
14、近线为 yx，即 x2y0， 则点到直线的距离公式 d， 故答案为： 【点评】本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键， 第 7 页（共 21 页） 比较基础 9 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（4，0） ，点 B（0，2） ，平面内点 P 满足 15，则 PO 的最大值是 3 【分析】设 P（x，y） ，由15，得点 P 的轨迹是以 C（2，1）为圆心，2为半 径的圆，得 PO 的最大值为|OC|+半径 【解答】解：设 P（x，y） ，则（4x，y） ，（x，2y） 15，x（x4）+y（y2）15， 即（x2）2+（y1）220， 点 P 的轨迹
15、是以 C（2，1）为圆心，2为半径的圆， PO 的最大值为：|OC|+半径3 故答案为：3 【点评】本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最值 问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 F1，F2分别是椭圆+1（ab0）的左、 右焦点，过点 F2且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 A，B 两点若AF1B 为锐角，则该椭 圆的离心率的取值范围是 （1，1） 【分析】由题设知 F1（c，0） ，F2（c，0） ，A（c，） ，B（c，） ，由AF1B 是锐角三角形，知 tanAF1F21，所以1，由此能求出椭圆的离心率 e
16、 的取值范围 【解答】解：点 F1、F2分别是椭圆+1（ab0）的左、右焦点， 过 F2且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点， F1（c，0） ，F2（c，0） ，A（c，） ，B（c，） ， AF1B 是锐角三角形， AF1F245，tanAF1F21， 第 8 页（共 21 页） 1， 整理，得 b22ac， a2c22ac， 两边同时除以 a2，并整理，得 e2+2e10， 解得 e1，或 e1， （舍） ， 0e1， 椭圆的离心率 e 的取值范围是（1，1） 故答案为： （1，1） 【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注 意合
17、理地进行等价转化 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C1： （xa）2+（ya2）21 与圆 C2：x2+y2 2x30 有公共点，则实数 a 的取值范围是 2，1 【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得 21|C1C2| 2+1，即 1（a1）2+（a+2）29，解可得 a 的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，圆 C1： （xa）2+（ya2）21，其圆心 C1为（a，a+2） ， 半径为 r11， 圆 C2：x2+y22x30，即（x1）2+y24，其圆心 C2（1，0） ，半径 r22， 若两圆有公共点，则 21|C1C2|2+1，即
18、1（a1）2+（a+2）29， 变形可得：a2+a+20 且 a2+a20， 解可得：2a1， 即 a 的取值范围为2，1； 故答案为：2，1 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题 12 （5 分）如图，在正四棱锥 PABCD 中，PAAB，点 M 为 PA 的中点，若 MNAD，则实数 4 第 9 页（共 21 页） 【分析】连结 AC，交 BD 于 O，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建 立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数 【解答】解：连结 AC，交 BD 于 O，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，
19、OP 为 z 轴， 建立空间直角坐标系， 设 PAAB2，则 A（，0，0） ，D（0，0） ，P（0，0，） ，M（，0，） ， B（0，0） ， （0，2，0） ，设 N（0，b，0） ，则（0，b，0） ， ，2，b， N（0，0） ，（，） ，（， 0） ， MNAD，10， 解得实数 4 故答案为：4 【点评】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查 运算求解能力，是中档题 第 10 页（共 21 页） 13 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 M： （x1）2+y21，点 A（3，1） ，P 为抛物线 y22x 上任意一点（异于原点） ，过点 P
20、 作圆 M 的切线 PB，B 为切点，则 PA+PB 的最小 值是 3 【分析】设 P（x，y） ，可得 y22x，求得圆 M 的圆心和半径，求得切线长|PB|，化简可 得|PB|为 P 到 y 轴的距离， 结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质， 即可得到所求 最小值 【解答】解：设 P（x，y） ，可得 y22x， 圆 M： （x1）2+y21 的圆心 M（1，0） ，半径为 1， |PB|x|， 即|PB|为 P 到 y 轴的距离，过 P 作准线的垂线，垂足为 K， 抛物线的焦点 F（，0） ，准线方程为 x， 可得|PA|+|PB|PA|+|PK|PA|+|PF|， 可得 A，P，K
21、 共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|， 即有|PA|+|PB|的最小值为 3 故答案为：3 【点评】本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切线长求法，考查 转化思想和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题 14 （5 分）已知函数 f（x）x33a2x6a2+4a（a0）只有一个零点，且这个零点为正数， 则实数 a 的取值范围是 （1，2） 【分析】先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出 a 的取值范围 第 11 页（共 21 页） 【解答】解：令 f'（x）3x23a23（xa） （x+a）0，解得 x1a，x2a， 其中 a
22、0，所以函数的单调性和单调区间如下： x（，a） ，f（x）递增；x（a，a） ，f（x）递减；x（a，+） ，f（x）递增 因此，f（x）在 xa 处取得极大值，在 xa 处取得极小值， 结合函数图象，要使 f（x）只有一个零点 x0，且 x00，只需满足： f（x）极大值f（a）0，即a3+3a36a2+4a0， 整理得 a（a1） （a2）0，解得，a（1，2） ， 故答案为： （1，2） 【点评】本题主要考查了函数零点的判定，以及运用导数研究函数的单调性和极值，数 形结合的解题思想，属于中档题 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在答题卡指定区
23、域内作答，解答时应写出文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E：+1（ab0）经过点 A（4， 0） ，其离心率为 （1）求椭圆 E 的方程； （2）已知 P 是椭圆 E 上一点，F1，F2为椭圆 E 的焦点，且F1PF2，求点 P 到 y 轴的距离 【分析】 （1）椭圆 E 经过点 A（4，0） ，可得 a4 椭圆 E 的离心率 e可得 c2 即可得椭圆 E 的方程 （2） ：由F1PF2，所以0，可得 x2+y212 由，得 P 到 y 轴的距离 【解答】解（
24、1）因为椭圆 E：+1（ab0）经过点 A（4，0） ， 所以 a4 （2 分） 又椭圆 E 的离心率 e，所以 c2 （4 分） 所以 b2a2c24 第 12 页（共 21 页） 因此椭圆 E 的方程为 （6 分） （2） ：由椭圆 E 的方程为知 F1（2，0） ，F2（2，0） 设 P（x，y） 因为F1PF2，所以0，所以 x2+y212 （1
25、0 分） 由解得 x2 （12 分） 所以|x|，即 P 到 y 轴的距离为 （14 分） 【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是利用椭圆的定义和向量数量积属于中档题 16 （14 分）如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为，侧棱长为 1，求： （1）直线 A1C 与直线 AD1所成角的余弦值； （2）平面 D1AC 与平面 ABB1A1所成二面角的正弦值 【分析】 （1）以 ， 为正交基底建立空间直角坐标系 Dxyz，利用向量 法
26、能求出直线 A1C 与直线 AD1所成角的余弦值 （2）求出平面 D1AC 的一个法向量和平面 ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平 面 D1AC 与平面 ABB1A1所成二面角的正弦值 【解答】 （本题满分 14 分） 解：如图，正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 ，侧棱长为 1， 故以 ， 为正交基底建立空间直角坐标系 Dxyz 则 D（0，0，0） ，A（，0，0） ，A1（，0，1） ， C（0，0） ，D1（0，0，1） （1）因为（0，0）（，0，1）（，1） ， 第 13 页（共 21 页） （0，0，1）（，0，0）（，0，1） ，（2 分） 所以（）（）
27、+（1）11， |，|， 从而 cos （5 分） 又异面直线所成的角的范围是（0， 所以直线 A1C 与直线 AD1所成角的余弦值为 （6 分） （2）（，0） ，（，0，1） ， 设平面 D1AC 的一个法向量为 n（x，y，z） ， 则，取 x1，可得 （1，1，） （9 分） 在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，DA平面 ABB1A1， 又（，0，0）（1，0，0） ， 所以 （1，0，0）为平面 ABB1A1的一个法向量 （11 分） 因为 cos ， ，且 0 ， ， 所以 因此平面 D1AC 与平面 ABB1A1所成二面
28、角的正弦值为（14 分） 第 14 页（共 21 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查 空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 经过抛物线 yx2x6 与坐标轴的三个 交点 （1）求圆 C 的方程； （2）经过点 P（2，5）的直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，若圆 C 在 A，B 两点处的 切线互相垂直，求直线 l 的方程 【分析】 （1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三 点坐标，解方程组可得 D，E，F，即可得到
29、所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的 一般式方程，可令 y0，可得 D，F，再由抛物线与 y 轴的交点，可得 E，即可得到所求 圆方程； （2）求圆 C 的圆心和半径，圆 C 在 A，B 两点处的切线互相垂直，可得ACB， 求得 C 到直线 l 的距离，讨论直线 l 的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得 所求直线方程 【解答】解： （1）方法一：抛物线 yx2x6 与坐标轴的三个交点坐标为（2，0） ， （3，0） ， （0，6） ， 设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F0， 则，解得， 所以圆 C 的方程为 x2+y2x+5y60 方法二：设圆 C 的方程为 x2+y2
30、+Dx+Ey+F0， 令 y0，得 x2+Dx+F0 因为圆 C 经过抛物线 yx2x6 与 x 轴的交点， 第 15 页（共 21 页） 所以 x2+Dx+F0 与方程 x2x60 同解， 所以 D1，F6 因此圆 C：x2+y2x+Ey60 因为抛物线 yx2x6 与 y 轴的交点坐标为（0，6） ， 又所以点（0，6）也在圆 C 上，所以 366E60，解得 E5 所以圆 C 的方程为 x2+y2x+5y60 （2）由（1）可得，圆 C： （x）2+（y+）2， 故圆心 C（，） ，半径 r 因为圆 C 在 A，B 两点处的切线互相垂直，所以ACB 所以 C 到直线 l 的距离 d 当直
31、线 l 的斜率不存在时，l：x2，符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设 l：y5k（x+2） ，即 kxy+（2k+5）0， 所以，解得 k， 所以直线 l：y5（x+2） ，即 4x+3y70 综上，所求直线 l 的方程为 x2 和 4x+3y70 【点评】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的 位置关系，注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中 档题 18 （16 分）如图，从一个面积为 15 的半圆形铁皮上截取两个高度均为 x 的矩形，并将截 得的两块矩形铁皮分别以 AB，A1B1为母线卷成两个高均为 x 的圆柱（无底面，连接部
32、分 材料损失忽略不计） 记这两个圆柱的体积之和为 V （1）将 V 表示成 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （2）求两个圆柱体积之和 V 的最大值 第 16 页（共 21 页） 【分析】 （1）设半圆形铁皮的半径为 r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为 r1，r2，写出 y 关于 x 的函数关系，并写出 x 的取值范围； （2）利用导数判断 V（x）的单调性，得出 V（x）的最大值 【解答】解： （1）设半圆形铁皮的半径为 r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分 别为 r1，r2 因为半圆形铁皮的面积为 15，所以r215，即 r230 因为 2r12，所以 r1，
33、同理 2r22，即 r2 所以卷成的两个圆柱的体积之和 Vf（x）（r12+r22）x（60x5x3） 因为 02xr，所以 x 的取值范围是（0，） （2）由 f（x）（60x5x3） ，得 f（x）（6015x2） ， 令 f（x）0，因为 x（0，） ，故 x2 当 x（0，2）时，f（x）0；当 x（2，）时，f（x）0， 所以 f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，）上为减函数， 所以当 x2 时，f（x）取得极大值，也是最大值 因此 f（x）的最大值为 f（2） 答：两个圆柱体积之和 V 的最大值为 【点评】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属 于
34、中档题 19 （16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别为椭圆 C：+1 的左、 第 17 页（共 21 页） 右焦点动直线 l 过点 F2，且与椭圆 C 相交于 A，B 两点（直线 l 与 x 轴不重合） （1）若点 A 的坐标为 （0，） ，求点 B 坐标； （2）点 M（4，0） ，设直线 AM，BM 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1+k20； （3）求AF1B 面积最大时的直线 l 的方程 【分析】 （1）由已知得到直线 l 的方程，与椭圆方程联立即可求得点 B 的坐标； （2）设直线 l 的方程为 xty+1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即 可
35、证明 k1+k20； （3）AF1B 的面积 S|F1F2|y1y2|y1y2|把（2）中 的根与系数的关系代入，可得 S设函数 f（x）9x+ （x 1） ，利用导数可得 f（x）9x+在1，+）上单调递增，得到当 t2+11，即 t0 时， 9（t2+1）+取最小值 10由此可得直线 l 的方程为 x1 【解答】 （1）解：直线 l 经过点 F2（1，0） ，A（0，） ， 直线 l 的方程为 y（x1） 由，解得或 B（） ； （2）证明：直线 l 与 x 轴不重合，故可设直线 l 的方程为 xty+1 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由，得（4+3t2）y2+6ty90， 第
36、 18 页（共 21 页） y1+y2，y1y2， A，B 在直线 l 上，x1ty1+1，x2ty2+1， k1，k2， 从而 k1+k2 2ty1y23（y1+y2）2t （）3 （）0， k1+k20； （3）解：AF1B 的面积 S|F1F2|y1y2|y1y2| 由（2）知，y1+y2，y1y2， 故 S12 设函数 f（x）9x+ （x1） f'（x）90，f（x）9x+在1，+）上单调递增， 当 t2+11，即 t0 时，9（t2+1）+取最小值 10 即当 t0 时，AF1B 的面积取最大值，此时直线 l 的方程为 x1 因此，AF1B 的面积取最大值时，直线 l 的方
37、程为 x1 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元 法及导数求函数的最值，考查计算能力，属难题 20 （16 分）已知函数 f（x）alnx+，aR （1）若 a2，且直线 yx+m 是曲线 yf（x）的一条切线，求实数 m 的值； （2）若不等式 f（x）1 对任意 x（1，+）恒成立，求 a 的取值范围； （3）若函数 h（x）f（x）x 有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，且 h（x2）h（x1）， 求 a 的取值范围 第 19 页（共 21 页） 【分析】 （1）代入 a 的值，根据切线方程得到关于 x0的方程，求出切点坐标，解出 m 即 可；
38、 （2）问题转化为 alnx+10，记 g（x）alnx+1，通过讨论 a 的范围，求出函 数的单调区间，从而确定 a 的范围即可； （3）法一：求出 h（x2）h（x1）的解析式，记 m（x）2（x+）lnx+x，x1， 根据函数的单调性求出 a 的范围即可； 法二：由 h（x）f（x）xalnx+x，x0，以及 h（x）有两个极值点 x1，x2（x1 x2） ，得到 x1+x2a，x1x21，设 t2（t1） ，从而 h（x2）h（x1） 等价于 h（t）（t+）lnt+t，t1，记 m（x）（x+）lnx+x，x1，根据函数 的单调性求出 a 的范围即可 【解答】解： （1）当 a2 时
39、，f（x）2lnx+，f（x） 设直线 yx+m 与曲线 yf（x）相切于点 （x0，2lnx0+） ， 则 1，即2x0+10， 解得 x01，即切点为（1，1） ， 因为切点在 yx+m 上，所以 11+m，解得 m0 （3 分） （2）不等式 f（x）1 可化为 alnx+10 记 g（x）alnx+1，则 g（x）0 对任意 x（1，+）恒成立 考察函数 g（x）alnx+1，x0，g（x） 当 a0 时，g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递减，又 g（1）0， 所以 g（2）g（1）0，不合题意；
40、（5 分） 当 a0 时，x（0，） ，g（x）0；x（，+） ，g（x）0， 所以 g（x）在（0，上单调递减，在，+）上单调递增， 若1，即 a1 时，g（x）在1，+）上单调递增， 所以 x（1，+）时，g（x）g（1）0，符合题意； （7 分） 第 20 页（共 21 页） 若1，即 0a1 时，g（x）在1，）上单调递减， 所以当 x（1，）时，g（x）g（1）0，不符合题意； 综上所述，实数 a 的取值范围为1，+） （9 分） （3） 方法一： h （x） f （x） xalnx+x， x0， h （x） 1， 因
41、为 h（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ， 所以 h（x）0，即 x2ax+10 的两实数根为 x1，x2，0x1x2， 所以 x1+x2a，x1x21，a240，所以 a2，0x11x2， 从而 h（x2）h（x1）（alnx2+x2）（alnx1+x1）2（alnx2+x2） 2（x2+）lnx2+x2 （12 分） 记 m（x）2（x+）lnx+x，x1 则 m（x）2（1）lnx+（x+） 12（1）lnx0 （当且仅当 x1 时取等号） ， 所以 m（x）在1，+）上单调递增，又 m（e）， 不等式 h（x2）h（x1） 可化为 m（x2）m（e
42、） ，所以 1x2e（14 分） 因为 ax2+，且 yx+在（1，+）上递增，所以 2ae+， 即 a 的取值范围为（2，e+ （16 分） 方法二：h（x）f（x）xalnx+x，x0，h（x）1 因为 h（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ， 所以 h（x）0，即 x2ax+10 的两实数根为 x1，x2，0x1x2， 所以 x1+x2a，x1x21，a240，所以 a2，0x11x2 设 t2（t1） ，则 x1+t2x1a，t21，所以 x1，at+，x2t， 从而 h（x2）h（x1） 等价于
43、 h（t）（t+）lnt+t，t1 （12 分） 第 21 页（共 21 页） 记 m（x）（x+）lnx+x，x1 则 m（x）（1）lnx+（x+）1（1）lnx0 （当且仅当 x1 时取等号） ， 所以 m（x）在1，+）上单调递增 又 t1，m（e），所以 1te （14 分） 因为 at+，且 yx+在（1，+）上递增，所以 2ae+， 即 a 的取值范围为（2，e+ （16 分） 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题
