2018-2019学年江苏省盐城一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中学四校联考高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答

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资源描述

1、2018-2019 学年江苏省盐城一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中学四校联考高二(下)期中数学试卷(理科)一、填空题(本题包括 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分分.) 1 (5 分)已知复数 z 满足 z(2+i)3+4i,则|z|   2 (5 分)从 300 名学生(其中男生 180 人,女生 120 人)中按性别用分层抽样的方法抽取 40 人参加比赛,则应该抽取男生人数为   3 (5 分) 某校连续 5 天对同学们穿校服的情况进行统计, 没有穿校服的人数用茎叶图表示, 如图,若该组数据的平均数为 18,则 x   4 (5 分)如

2、图是一个算法的伪代码,则输出的 i 的值为   5 (5 分)若 CC,则 x 的值为   6 (5 分)连续抛掷一颗骰子 2 次,则掷出的点数之和不超过 9 的概率为   7 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线经 过点(2,1) ,则该双曲线的离心率为   8 (5 分)曲线 yx+1+2ex在 x0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为   9 (5 分)已知,若 a0+a1+a2+a8 0,则 a3   10 (5 分)把 4 名优秀学生 A,B,C,D 全部保送到甲、乙、丙

3、三所大学,每个学校至少 去一名,不同的保送方案有   种 11 (5 分)已知(1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项 式系数和为   第 2 页(共 22 页) 12 (5 分) 过椭圆 C:的右焦点 F 作斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, P 为右准线与 x 轴的交点,记直线 PA 的斜率为 k1,直线 PB 的斜率为 k2,则的 值为   13 (5 分)已知,则的最小值为   14 (5 分)已知函数 f(x),设 g(x)kx+1,且函数 yf(x)g (x)的图象经过四个象限,则实

4、数 k 的取值范围为   二、解答题: (二、解答题: (15、16、17 题均为题均为 14 分,分,18、19、20 题均为题均为 16 分,请在答题纸的指定区分,请在答题纸的指定区 域内答题,并写出必要的计算、证明、推理过程)域内答题,并写出必要的计算、证明、推理过程) 15 (14 分)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试 结果按如下方式分成五组:第一组13,14) ,第二组14,15) ,第五组17,18,下 图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 ()若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成

5、绩良 好的人数; ()若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率  16 (14 分) (理科加试题)若二项式的展开式中的常数项为第五项 (1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项 17 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,平面 PAD 第 3 页(共 22 页) 平面 ABCD,APD 为等腰直角三角形,APD90,E 为 PB 的中点,F 为 PC 的中 点 (1)求异面直线 ED 与 BF 所成角的余弦值; (2)求二面角 ABDP 的余弦值 18 (16 分)如图,某地村庄 P 与村庄 O

6、 的距离为千米,从村庄 O 出发有两条道路 l1, l2, 经测量, l1, l2的夹角为 60, OP 与 l1的夹角 满足 tan(其中 0) , 现要经过 P 修一条直路分别与道路 l1,l2交汇于 A,B 两点,并在 A,B 处设立公共设施  (1)已知修建道路 PA,PB 的单位造价分别为 2m 元/千米和 m 元/千米,若两段道路的 总造价相等,求此时点 A,B 之间的距离; (2)考虑环境因素,需要对 OA,OB 段道路进行翻修,OA,OB 段的翻修单价分别为 n 元/千米和 2n 元/千米,要使两段道路的翻修总价最少,试确定 A,B 点的位置 19 (16 分)在平面

7、直角坐标系 xOy 中,A,B 分别是椭圆1(ab0)的左、 右顶点(如图所示) ,点 M: (m,0)在椭圆的长轴 AB 上运动,且 m0设圆 M 是以 点 M 为圆心,MB 为半径的圆 (1)若 m2,圆 M 和椭圆在第一象限的交点坐标为(1,) ,求椭圆的方程; (2)若椭圆的离心率为,过点 B 作互相垂直的两条直线,交椭圆于 P,Q 两点,若 直线 PQ 过点 M,求 m 的值(用含 b 的代数式表示) ; 第 4 页(共 22 页) (3)当圆 M 与椭圆有且仅有点 B 一个交点时,求 M 的运动范围(用含 a,b 的代数式 表示) 20 (16 分)已知函数 m(x)ax3+x24

8、,n(x)(b1)x24a+4, (a,bR) (1)当 a1 时,求 m(x)的单调增区间; (2)令 f(x)m(x)+n(x) 当 a0 时,若函数 f(x)恰有两个不同的零点,求的值; 当 a0 时,若 f(x)lnx 的解集为(m,n) ,且(m,n)中有且仅有一个整数,求 实数 b 的取值范围 第 5 页(共 22 页) 2018-2019 学年江苏省盐城一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中学年江苏省盐城一中、建湖高中、阜宁中学、滨海中 学四校联考高二(下)期中数学试卷(理科)学四校联考高二(下)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题(本题包括一、填空题

9、(本题包括 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分分.) 1 (5 分)已知复数 z 满足 z(2+i)3+4i,则|z| 【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解 【解答】解:由 z(2+i)3+4i,得 z, 则|z| 故答案为: 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题 2 (5 分)从 300 名学生(其中男生 180 人,女生 120 人)中按性别用分层抽样的方法抽取 40 人参加比赛,则应该抽取男生人数为 24 【分析】抽样比为,男生有 180 人,乘以抽样比即可得到男生抽取的人数 【解答】解:依题意,抽样比为,男生有 180

10、人, 故抽取的男生的人数为:18024 人 故填:24 【点评】本题考查了分层抽样,求出抽样比是求出每层抽取样本数的前提,本题属基础 题 3 (5 分) 某校连续 5 天对同学们穿校服的情况进行统计, 没有穿校服的人数用茎叶图表示, 如图,若该组数据的平均数为 18,则 x 8 【分析】根据茎叶图结合平均数的性质进行求解即可 【解答】解:该组数据的平均数为 18, 5 天的总人数为 18590 个数为为 0, 第 6 页(共 22 页) 0+6+7+922,个位数为 2,则 x 为 8, 故答案为:8 【点评】本题主要考查茎叶图的应用,结合平均数计算出总数的个位数,结合个数数相 同是解决本题的

11、关键 4 (5 分)如图是一个算法的伪代码,则输出的 i 的值为 5 【分析】算法的功能是求满足 S9(1+2+3+i)0 的最大正整数 i+1 的值,计算 S 的值确定输出 i 的值 【解答】解:由算法语句知:算法的功能是求满足 S9(1+2+3+i)0 的最小正 整数 i+1 的值, S9(1+2+3)30,S9(1+2+3+4)10, 输出的 i 值为 5 故答案为:5 【点评】本题考查了当型循环结构的程序语句,根据算法的流程判断算法的功能是解题 的关键 5 (5 分)若 CC,则 x 的值为 1 或 2 【分析】结合组合数公式建立方程进行求解即可 【解答】解:CC, 2x3x1 或 2

12、x+3x19, 得 x1 或 x2, 经检验知 x1 或 2 成立, 故答案为:1 或 2 【点评】本题主要考查组合数公式的计算,结合组合数公式建立方程是解决本题的关键  6 (5 分)连续抛掷一颗骰子 2 次,则掷出的点数之和不超过 9 的概率为 第 7 页(共 22 页) 【分析】 基本事件总数 n6636, 利用列举法求出掷出的点数之和超过 9 包含的基本 事件(a,b)有 6 个,由此能求出掷出的点数之和不超过 9 的概率 【解答】解:连续抛掷一颗骰子 2 次, 基本事件总数 n6636, 掷出的点数之和超过 9 包含的基本事件(a,b)有: (4,6) , (6,4) ,

13、(5,5) , (5,6) , (6,5) , (6,6) ,共 6 个, 则掷出的点数之和不超过 9 的概率 p1 故答案为: 【点评】本题考查概率的求法,考查列举法、对立事件概率计算公式等基础知识,考查 运算求解能力,是基础题 7 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的一条渐近线经 过点(2,1) ,则该双曲线的离心率为 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得 a 与 b 的关系,再根据离心率公式计算即可 【解答】解:设中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的双曲线的方程为1, 则其渐近线方程为 yx, 由一条渐近线经过点(2,1) , 则 1, 即2,

14、e, 故答案为: 【点评】本题考查了双曲线的方程和渐近线方程,离心率,属于基础题 8 (5 分)曲线 yx+1+2ex在 x0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 【分析】求出原函数的导函数,得到曲线 yx+1+2ex在 x0 处的切线的斜率,再求出 x 0 时的 y 值,写出直线方程斜截式,分别求得直线在两坐标轴上的截距,代入三角形面 积公式得答案 第 8 页(共 22 页) 【解答】解:由 yx+1+2ex,得 y1+2ex, 则 y|x01+23 又当 x0 时,y3 曲线 yx+1+2ex在 x0 处的切线方程为 y3x+3 取 x0,得 y3,取 y0,得 x1 曲线 yx+1+2

15、ex在 x0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 S 故答案为: 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,是基础的计算题 9 (5 分)已知,若 a0+a1+a2+a8 0,则 a3 14 【分析】, 令 x1, 则 a0+a1+a2+ +a802(a1)7,解得 a1利用(1x)7的通项公式即可得出 【解答】解:, 令 x1,则 a0+a1+a2+a802(a1)7, 解得 a1 (1x)7的通项公式:T4(x)335x3T3(x)221x2 则 a335+2114 故答案为:14 【点评】本题考查了二项式定理的通项公式应用,考查了推理能力与计算能力,属于基 础题 10 (5

16、 分)把 4 名优秀学生 A,B,C,D 全部保送到甲、乙、丙三所大学,每个学校至少 去一名,不同的保送方案有 36 种 【分析】分两步进行,先把 4 名学生分为 211 的三组,再将 3 组对应 3 个学校,有 A336 种情况,进而由分步计数原理,计算可得答案 【解答】解:分两步进行,先把 4 名学生分为 211 的三组,有 C426 种分法, 再将 3 组对应 3 个学校,有 A336 种情况, 则共有 6636 种保送方案 故答案为:36 第 9 页(共 22 页) 【点评】本题考查分步计数原理的运用,关键是审清题意,明确分组的方法 11 (5 分)已知(1+x)n的展开式中第 4 项

17、与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项 式系数和为 512 【分析】由题意利用二项式系数的性质,求得奇数项的二项式系数和 【解答】解:(1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等, ,n10,则奇数项的二项式系数和为 2n 129512, 故答案为:512 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,属于基础题 12 (5 分) 过椭圆 C:的右焦点 F 作斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, P 为右准线与 x 轴的交点,记直线 PA 的斜率为 k1,直线 PB 的斜率为 k2,则的 值为 8 【分析】F(,0) ,设 A(x1,y1)

18、 ,B(x2,y2) ,右准线方程为:x2,可 得 P(2,0) 直线 l 的方程为:yx与椭圆方程联立解得交点 A,B,再利用 斜率计算公式即可得出 【解答】解:F(,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 右准线方程为:x2,P(2,0) 直线 l 的方程为:yx 联立,化为:3x24x0, 解得 x10,x2, y1,y2 A(0,) ,B(,) kPA,kPB 第 10 页(共 22 页) 8 故答案为:8 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题 13 (5 分)已知,则的最小值为 【分析】根据题意,+0,变形可得

19、y,有 y0 分析可得 x 的取值范围, 进而可得+1,设 f(x)1,求出函数 f(x)的 导数,利用导数与函数的单调性分析可得在(0,)上,f(x)0,函数 f(x)为减 函数,在(,2)上,f(x)0,函数 f(x)为增函数;则 f(x)在(0,2)上的最 小值为 f() ,计算可得答案 【解答】解:根据题意,+0,变形可得 y, 又由 y0,即0,解可得2x2, 又由 x0,则 x 的取值范围为(0,2) ; 则+1, 设 f(x)1, (0x2) , 则 f(x), (0x2) , 分析可得:在(0,)上,f(x)0,函数 f(x)为减函数,在(,2)上,f(x) 0,函数 f(x)

20、为增函数; 则 f(x)在(0,2)上的最小值为 f()1, 即的最小值为, 故答案为: 【点评】本题考查函数的最值,关键是构造关于 x 的函数,属于综合题 第 11 页(共 22 页) 14 (5 分)已知函数 f(x),设 g(x)kx+1,且函数 yf(x)g (x)的图象经过四个象限,则实数 k 的取值范围为 (1,3) 【分析】yf(x)g(x)的图象经过四个象限等价于 x0 时 yxlnx+2 的图象有一部 分在 ykx+1 的上方,有一部分在 ykx+1 的下方且 x0 时,f(x)的图象有一部分在 y kx+1 的上方,有一部分在 ykx+1 的下方,根据图象可得 【解答】解:

21、f(x)的图象如右图: yf(x)g(x)的图象经过四个象限等价于 x0 时 yxlnx+2 的图象有一部分在 y kx+1 的上方,有一部分在 ykx+1 的下方且 x0 时,f(x)的图象有一部分在 ykx+1 的上方,有一部分在 ykx+1 的下方, 利用导数的几何意义可求得 ykx+1 与 yxlnx+2 相切时,k1, 由图可知, 故答案为(1,3) 【点评】本题考查了函数与方程的综合运用,属难题 二、解答题: (二、解答题: (15、16、17 题均为题均为 14 分,分,18、19、20 题均为题均为 16 分,请在答题纸的指定区分,请在答题纸的指定区 域内答题,并写域内答题,并

22、写出必要的计算、证明、推理过程)出必要的计算、证明、推理过程) 15 (14 分)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试 结果按如下方式分成五组:第一组13,14) ,第二组14,15) ,第五组17,18,下 图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 ()若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良 好的人数; 第 12 页(共 22 页) ()若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率  【分析】(1) 根据频率分步直方图做出这组数据的成绩在14, 16) 内的人数为 5

23、00.16+50 0.38,这是频率,频数和样本容量之间的关系 (2)根据频率分步直方图做出要用的各段的人数,设出各段上的元素,用列举法写出所 有的事件和满足条件的事件,根据概率公式做出概率 【解答】解: ()由频率分布直方图知,成绩在14,16)内的 人数为 500.16+500.3827(人) 该班成绩良好的人数 为 27 人 ()由频率分布直方图知,成绩在13,14)的人数为 500.063 人, 设为 x,y,z 成绩在17,18)的人数为 500.084 人,设为 A,B,C,D 若 m,n13,14)时,有 xy,zx,zy,3 种情况; 若 m,n17,18)时,有 AB,AC,

24、AD,BC,BD,CD 共 6 种情况; 若 m,n 分别在13,14)和17,18)内时, 第 13 页(共 22 页) A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共 12 种情况 基本事件总数为 21 种,事件“|mn|1”所包含的基本事件个数有 12 种 P(|mn|1) 【点评】本题是一个典型的古典概型问题,本题可以列举出试验发生包含的事件和满足 条件的事件,应用列举法来解题是这一部分的精髓 16 (14 分) (理科加试题)若二项式的展开式中的常数项为第五项 (1)求 n 的值; (2)求展开式中系数最大的项 【分析】 (1)

25、利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令 x 的指数为 0,据题意当 r4 时 x 的指数为 0,代入求出 n 的值 (2)将 n 的值代入通项,求出通项的系数,设第 k+1 项的系数最大,令其大于等于前一 项的系数同时大于等于后一项的系数,利用组合数公式解不等式求出 k 的值,代入通项 即可 【解答】解: (1), x 的指数为, 的展开式中的常数项为第五项, r4, 解得:n10  (2), 其系数为 C10r210 r 第 14 页(共 22 页) 设第 k+1 项的系数最大,则 化简得:即, k3, 即第四项系数最大, 【点评】解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项

26、展开式的通项公式;求二项 展开式的项的最大系数问题, 常令其大于等于前一项的系数同时大于等于后一项的系数, 解不等式即可 17 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,平面 PAD 平面 ABCD,APD 为等腰直角三角形,APD90,E 为 PB 的中点,F 为 PC 的中 点 (1)求异面直线 ED 与 BF 所成角的余弦值; (2)求二面角 ABDP 的余弦值 【分析】 (1)以 AD 的中点为坐标原点,建立坐标系后,将异面直线的夹角问题,转化 成向量的方向向量的夹角处理 (2)根据(1)建立的坐标系,求出平面 ABD 和平面 PBD 的法向量

27、,将二面角 ABD P 的余弦值转化成法向量的夹角余弦处理 【解答】解如图,设 AD 的中点为 G,连接 PG,因为APD 为等腰直角三角形,APD 90, 所以 PGAD又平面 PAD平面 ABCD,所以 PG平面 ABCD 以 G 为坐标原点,GA,GP 所在直线分别为 x,z 轴建立空间直角坐标系, 可得 A(1,0,0) ,P(0,0,1) ,B(1,2,0) ,C(1,2,0) ,D(1,0,0) , 第 15 页(共 22 页) 则 E(,1,) ,F(,1,) , 所以, 故(5 分) 故异面直线 ED 与 BF 所成角的余弦值为(6 分) (2)由(1)知,(2,2,0) ,设

28、平面 PBD 的法向量为 所以令 x1,则 yz1 所以平面 PBD 的一个法向量为 (1,1, 1) 易知平面 ABD 的一个法向量为 (0,0,1)(11 分) 所以(13 分) 由图可知,二面角 ABDP 为锐二面角, 所以二面角 ABDP 的余弦值为(14 分) 【点评】本题考查了空间中异面直线的夹角和二面角的平面角的求法,建立坐标系是常 见的解法,本题属于难题 18 (16 分)如图,某地村庄 P 与村庄 O 的距离为千米,从村庄 O 出发有两条道路 l1, l2, 经测量, l1, l2的夹角为 60, OP 与 l1的夹角 满足 tan(其中 0) , 第 16 页(共 22 页

29、) 现要经过 P 修一条直路分别与道路 l1,l2交汇于 A,B 两点,并在 A,B 处设立公共设施  (1)已知修建道路 PA,PB 的单位造价分别为 2m 元/千米和 m 元/千米,若两段道路的 总造价相等,求此时点 A,B 之间的距离; (2)考虑环境因素,需要对 OA,OB 段道路进行翻修,OA,OB 段的翻修单价分别为 n 元/千米和 2n 元/千米,要使两段道路的翻修总价最少,试确定 A,B 点的位置 【分析】 (1)以 O 为原点,直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系,由题意得 2mPAm PB,所以 BP2PA,得出 ABPB,计算出 P,B 的坐标可得 AB;

30、(2)设总造价为 S,则 SnOA+2nOB(OA+2OB) n,设 yOA+2OB,要使 S 最小, 只要 y 最小当 ABx 轴时,A(2,0) ,这时 OA2,OB4,所以 yOA+2OB2+8 10;当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为,再得到 A,B 的坐标,计算可得 【解答】解(1)以 O 为原点,直线 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系, 因为,所以, 设,由,得 t1,所以 (2 分) 由题意得 2mPAmPB,所以 BP2PA,所以 B 点纵坐标为, 又因为点 B 在直线上,所以, (4 分) 所以(6 分) 答:A,B 之间的距离为千米 (6 分) (注:缺少

31、答扣 1 分) (2)设总造价为 S,则 SnOA+2nOB(OA+2OB) n, 设 yOA+2OB,要使 S 最小,只要 y 最小 当 ABx 轴时,A(2,0) ,这时 OA2,OB4, 第 17 页(共 22 页) 所以 yOA+2OB2+810 (8 分) 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为, 令 y0,得点 A 的横坐标为,所以, 令,得点 B 的横坐标为,(10 分) 因为且,所以 k0 或, 此时, (12 分) 当 k0 时,y 在上递减,在上递增, 所以,此时; (14 分) 当时, 综上所述,要使 OA,OB 段道路的翻修总价最少,A 位于距 O 点 3

32、千米处,B 位于距 O 点 3 千米处 (16 分) 【点评】本题考查了解三角形,属中档题 19 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,A,B 分别是椭圆1(ab0)的左、 右顶点(如图所示) ,点 M: (m,0)在椭圆的长轴 AB 上运动,且 m0设圆 M 是以 点 M 为圆心,MB 为半径的圆 (1)若 m2,圆 M 和椭圆在第一象限的交点坐标为(1,) ,求椭圆的方程; (2)若椭圆的离心率为,过点 B 作互相垂直的两条直线,交椭圆于 P,Q 两点,若 直线 PQ 过点 M,求 m 的值(用含 b 的代数式表示) ; (3)当圆 M 与椭圆有且仅有点 B 一个交点时,求 M 的运动

33、范围(用含 a,b 的代数式 第 18 页(共 22 页) 表示) 【分析】 (1)利用 MCMB 可得 a,再结合点在椭圆上可解; (2)设 PQ 的方程,与椭圆方程联立得根与系数关系,结合 BP,BQ 垂直,数量积为 0, 即可得解; (3)设 Q 是椭圆上不与 B 重合的一点,利用 QMQB 恒成立,转化为不等式恒成立问 题,可得范围 【解答】解: (1)记交点为 C(1,) , 则, 则 OB4a, , , ; (2)椭圆的离心率为, 则, a24b2, 点 B(2b,0) , 椭圆的方程为 x2+4y24b2, 设直线 PQ 的方程为 l:xty+m(0m2b) , 将 xty+m

34、代入 x2+4y24b2, 得(t2+4)y2+2mty+m24b20, 由题设可知16(4b2m2+b2t2)0, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则 y1+y2,y1y2, 而 x1+x2t(y1+y2)+2m, 第 19 页(共 22 页) x1x2(ty1+m) (ty2+m) t2y1y2+tm(y1+y2)+m2 , 由题设 BPBQ,即, (x12b,y1) (x22b,y2) (x12b) (x22b)+y1y2 x1x2+(y11) (y21) x1x2+y1y22b(x1+x2)+4b2 +4b20, 化简得 5m216bm+12b20, 解得 m2b(舍)

35、,m m; (3)设 Q 是椭圆上不与 B 重合的一点,椭圆焦距为 2c, 若圆 M 与椭圆仅有 B 一个交点,则 QMMB 对任意 Q 恒成立, 设 Q(x,y) ,M(m,0) , 由 QM2MB2得, y2+(xm)2(am)2, , (x+a) , 令 f(x)(x+a) ,xa,a) , 则 f(x)f(a), 第 20 页(共 22 页) , m 的取值范围为 【点评】此题考察了椭圆方程的求法,直线与椭圆,圆与椭圆的综合,难度较大 20 (16 分)已知函数 m(x)ax3+x24,n(x)(b1)x24a+4, (a,bR) (1)当 a1 时,求 m(x)的单调增区间; (2)

36、令 f(x)m(x)+n(x) 当 a0 时,若函数 f(x)恰有两个不同的零点,求的值; 当 a0 时,若 f(x)lnx 的解集为(m,n) ,且(m,n)中有且仅有一个整数,求 实数 b 的取值范围 【分析】 (1)当 a1 时,代入求出 m(x) ,结合导数与函数的单调性关系即可判断 (2)法一:对函数求导,若使得函数 f(x)有两个不同的零点,结合函数的性质及函 数图象的趋势可知,须有 f(0)0 或,代入求解检验可求; 法二:直接由 f(0)0 及 f(x)0,然后结合函数的单调性及函数图象的性质可求 当 a0 时,由 f(x)lnx,可得 bx2lnx,构造函数 g(x)lnxb

37、x2,结合导数判 断函数的单调性,进而可求 【解答】解: (1)当 a1 时,m(x)x3+x24,m(x)3x2+2x (2 分) 令 m(x)0,解得 x0 或, 所以 f(x)的单调增区间是和(0,+) (4 分) (2)因为 f(x)m(x)+n(x)ax3+bx24a 法一:f'(x)3ax2+2bx,令 f'(x)0,得 x0 或, (6 分) 因为函数 f(x)有两个不同的零点,所以 f(0)0 或 当 f(0)0 时,得 a0,不合题意,舍去; (8 分) 当时,代入得, 即,所以 (10 分) 法二:由于 a0,所以 f(0)0, 第 21 页(共 22 页)

38、 由 f(x)0 得方程 (6 分) 设,令 h'(x)0,得 x2, 当 x(,2)时,h'(x)0,h(x)递减;当 x(2,0)时,h'(x)0,h (x)递增, 当 x(0,+)时,h'(x)0,h(x)单调递增, 当 x0 时,h(x)的值域为 R, 故不论取何值,方程有且仅有一个根; (8 分) 当 x0 时, 所以时,方程恰有一个根2, 此时函数 f(x)a(x+2)2(x1)恰有两个零点2 和 1 (10 分) (注:第问其他方法酌情给分,但用分离参数法不给分) 当 a0 时,因为 f(x)lnx,所以 bx2lnx, 设 g(x)lnxbx2,

39、则, 当 b0 时,因为 g'(x)0,所以 g(x)在(0,+)上递增,且 g(1)b0, 所以在(1,+)上,g(x)lnxbx20,不合题意; (11 分) 当 b0 时,令,得, 所以 g(x)在递增,在递减, 所以 g(x)maxg()ln, 要使 g(x)0 有解,首先要满足 ln,解得 b (13 分) 又因为 g(1)b0,g(), 要使 f(x)lnx 的解集(m,n)中只有一个整数,则 即 解得 (15 分) 第 22 页(共 22 页) 设 h(x),则, 当 x(0,e)时,h'(x)0,h(x)递增;当 x(e,+)时,h'(x)0,h(x)递 减 所以,所以, 所以由和得, (16 分) (注:用数形结合方法做不给分) 【点评】本题综合考查了函数的性质及导数在函数性质求解由中的应用,还考查了一定 的逻辑思维能力的应用

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