1、2018-2019 学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（每小题 5 分，共计分，共计 70 分 ）分 ） 1 （5 分）已知集合 A2，1，B1，2，3，则 AB 2 （5 分）函数 f（x）lg（x2+2x+3）的定义域为 3 （5 分）若复数为纯虚数，i 是虚数单位，则实数 a 的值是 4 （5 分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4：3：3，现用分层抽样的方法 从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 80 的样本，则应从高一抽取的学生人数为 名 5 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出 S 的值是 6 （5 分）一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中
2、3 只白球，2 只黑球，从中一次性随机 摸出 2 只球，则恰好有 1 只是白球的概率为 7 （5 分）已知变量 x，y 满足，则 2x+y的最大值为 8 （5 分）已知函数 f（x）|2x2|（x（1，2） ） ，则函数 yf（x1）的值域为 9 （5 分）已知函数 yAsin（x+） （A0，0，|）的图象上有一个最高点的 坐标为（2，） ，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点（6，0） ， 则此解析式为 第 2 页（共 17 页） 10 （5 分）若曲线 C1：y3x4ax36x2与曲线 C2：yex在 x1 处的切线互相垂直，则 实数 a 的值为 11 （5 分）在AB
3、C 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 tanA7tanB，3， 则 c 12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在（，0上为单调增函数若 f （1）2，则满足 f（2x3）2 的 x 的取值范围是 13 （5 分）已知函数 f（x）x22ax+a21，若关于 x 的不等式 f（f（x） ）0 的解集为空 集，则实数 a 的取值范围是 14 （5 分）已知函数 f（x），当 x0，100时，关于 x 的方程 f（x） x的所有解的和为 二、解答题（共计二、解答题（共计 90 分 ）分 ） 15 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，
4、c已知 bcosC+ccosB2acosA （1）求角 A 的大小； （2）若，求ABC 的面积 16 （14 分）已知函数 f（x）ax2+xa，aR （1）若函数 f（x）有最大值，求实数 a 的值； （2）解不等式 f（x）1（a0） 17 （14 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O，E 分别为 B1D，AB 的中点 （1）求证：OE平面 BCC1B1； （2）求证：平面 B1DC平面 B1DE 18 （16 分）某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定 往水中投放一种药剂来净化水质已知每投放质量为 m 的药剂后，经过 x 天该药剂在水 第 3
5、 页（共 17 页） 中释放的浓度 y（毫克/升） 满足 ymf（x） ，其中 f（x），当药 剂在水中释放的浓度不低于 4（毫克/升） 时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不 低于 4（毫克/升） 且不高于 10（毫克/升）时称为最佳净化 （1）如果投放的药剂质量为 m4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ （2）如果投放的药剂质量为 m，为了使在 7 天（从投放药剂算起包括 7 天）之内的自来 水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 m 的最小值 19 （16 分）设函数（xR，kZ） （1）若 fk（x）是偶函数，求 k 的值； （2）设不等式 f0（x）+mf1（x）4 的解集
6、为 A，若 A1，2，求实数 m 的取值范 围； （3）设函数 g（x）f0（x）f2（2x）2，若 g（x）在 x1，+）有零点，求实数 的取值范围 20 （16 分）记 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x） ，g（x）的导函数若存在 x0R，满足 f（x0）g（x0）且 f（x0）g（x0） ，则称 x0为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点” （1）证明：函数 f（x）x 与 g（x）x2+2x2 不存在“S 点” ； （2）若函数 f（x）ax21 与 g（x）lnx 存在“S 点” ，求实数 a 的值； （3）已知函数 f（x）x2+a，g（x）对任意 a0，判断是否存在 b
7、0，使 函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点” ，并说明理由 第 4 页（共 17 页） 2018-2019 学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期中数学试卷学年江苏省南京市金陵中学高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 5 分，共计分，共计 70 分 ）分 ） 1 （5 分）已知集合 A2，1，B1，2，3，则 AB 1 【分析】利用交集的定义求解 【解答】解：集合 A2，1，B1，2，3， AB1 故答案为：1 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题 2 （5 分）函数 f（x）lg（x2+2x+
8、3）的定义域为 （1，3） 【分析】要使函数有意义，则需x2+2x+30，解出即可得到定义域 【解答】解：要使函数有意义，则需 x2+2x+30， 解得，1x3 则定义域为（1，3） 故答案为： （1，3） 【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数必须大于 0，考查运算能力，属 于基础题 3 （5 分）若复数为纯虚数，i 是虚数单位，则实数 a 的值是 1 【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义即可得出 【解答】解：复数为纯虚数， ，解得 a1 故答案为：1 【点评】本题考查了复数的运算法则与共轭复数的定义、纯虚数的定义，属于基础题 4 （5 分）某学校高一、高二、
9、高三年级的学生人数之比为 4：3：3，现用分层抽样的方法 从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 80 的样本， 则应从高一抽取的学生人数为 32 第 5 页（共 17 页） 名 【分析】先求出高一学生在总体中所占的比例，再用样本容量乘以此比例，即得应从高 一年级抽取的学生人数 【解答】解：高一学生在总体中所占的比例为 ， 故应从高一年级抽取的学生人数为 8032， 故答案为：32 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样 本中对应各层的样本数之比，属于基础题 5 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出 S 的值是 35 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可
10、【解答】解：k1，k5 不成立，S0+121，k1+23， k3，k5 不成立，S1+3210，k3+25， k5，k5 不成立，S10+5235，k5+27， k7，k5 成立，输出 S35， 故答案为：35 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键 6 （5 分）一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球，从中一次性随机 第 6 页（共 17 页） 摸出 2 只球，则恰好有 1 只是白球的概率为 【分析】从中一次性随机摸出 2 只球，基本事件总数 n，恰好有 1 只是白球的 基本事件个数 m，由此能求出恰好有 1 只是白球的概率 【解答
11、】解：从中一次性随机摸出 2 只球，基本事件总数 n， 恰好有 1 只是白球的基本事件个数 m， 恰好有 1 只是白球的概率 P 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合 理运用 7 （5 分）已知变量 x，y 满足，则 2x+y的最大值为 8 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设 zx+y，利用 z 的几何意义，先求出 z 的最 大值，即可得到结论 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 设 zx+y，则 yx+z， 平移直线 yx+z，由图象可知当直线 yx+z 经过点 A 时 yx+z 的截距最大，此 时 z 最大 由， 解得，即
12、A（1，2） ， 代入 zx+y 得 z1+23 即 zx+y 最大值为 3， 2x+y的最大值为 238 故答案为：8 第 7 页（共 17 页） 【点评】本题主要考查线性规划的应用以及指数函数的运算，利用 z 的几何意义结合数 形结合是解决本题的关键 8 （5 分） 已知函数 f （x） |2x2| （x （1， 2） ） ， 则函数 yf （x1） 的值域为 0， 2） 【分析】由指数函数的单调性求出函数 f（x）|2x2|（x（1，2） ）的值域，再由函 数图象的平移得答案 【解答】解：x（1，2） ， 则 f（x）|2x2|0，2） ， yf（x1）的图象是把函数 f（x）左右平移得
13、到的，函数值域不发生变化， 函数 yf（x1）的值域为0，2） 故答案为：0，2） 【点评】本题考查了函数的值域的求法，考查了函数图象的平移，是基础题 9 （5 分）已知函数 yAsin（x+） （A0，0，|）的图象上有一个最高点的 坐标为（2，） ，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与 x 轴交于点（6，0） ， 则此解析式为 ysin（x+） 【分析】根据函数的最高点的坐标确定 A，根据函数零点的坐标确定函数的周期，利用 最值点的坐标同时求 的取值，即可得到函数的解析式 【解答】解：函数图象的一个最高点为（2，） ， A，x2 为其中一条对称轴 这个最高点到相邻最低点的图象与 x 轴
14、交于（6，0） ， 624， 即函数的周期 T16， 第 8 页（共 17 页） T16， ， 此时函数 yf（x）sin（x+） ， f（2）sin（2+）， sin（+）1， 即+2k， 即+2k， |， 当 k0 时， 这个函数的解析式为 ysin（x+） 故答案为：ysin（x+） 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件确定 A， 的取值是解决本 题的关键 10 （5 分）若曲线 C1：y3x4ax36x2与曲线 C2：yex在 x1 处的切线互相垂直，则 实数 a 的值为 【分析】分别求出两个函数的导函数，求得两函数在 x1 处的导数值，由题意知两导数 值的乘积等于1，由
15、此求得 a 的值 【解答】解：由 y3x4ax36x2，得 y12x33ax212x， y|x13a， 由 yex，得 yex， y|x1e 曲线 C1：y3x4ax36x2与曲线 C2：yex在 x1 处的切线互相垂直， 3ae1，解得：a 故答案为： 【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是 第 9 页（共 17 页） 曲线过该点的切线的斜率，是中档题 11 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 tanA7tanB，3， 则 c 4 【分析】利用 tanA7tanB 求得 sinAcosB 与 cosAsinB 的关系式，
16、进而利用正弦定理和余 弦定理转化成边的问题，化简求得 a，b 和 c 的关系式，然后根据已知条件可直接求得 c 【解答】解：tanA7tanB， 7 sinAcosB7sinBcosA， a7b， 整理得 8a28b26c2， 3， 联立求得 c4， 故答案为：4 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成 边角问题的转化 12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在（，0上为单调增函数若 f （1）2，则满足 f（2x3）2 的 x 的取值范围是 （，2 【分析】根据题意，由奇函数的性质分析可得函数 f（x）在 R 上是增函数，且 f（1
17、） f（1）2，进而 f（2x3）2 可以转化为 2x31，解可得 x 的取值范围，即可 得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在（，0上为单调 增函数， 则在 f（x）在0，+）上也是增函数， 故函数 f（x）R 上也是增函数； 又由 f（1）2，则 f（1）f（1）2， 则 f（2x3）22x31， 解可得 x2， 即不等式的解集为（，2； 第 10 页（共 17 页） 故答案为： （，2 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是将 f（2x3）2 转化为关 于 x 的不等式 13 （5 分）已知函数 f（x）x22ax+a21，若关于 x
18、的不等式 f（f（x） ）0 的解集为空 集，则实数 a 的取值范围是 a2 【分析】由 f（x）0 解得 a1xa+1，不等式 f（f（x） ）0a1f（x）a+1， 原不等式的解集为空集，得到 a1f（x）a+1 解集为空集，那么（a1，a+1）与值 域的交集为空集，求出 a 的范围 【解答】 解： f （x） x22ax+a21x22ax+ （a1） （a+1） x （a1） x （a+1） 由 f（x）0 即x（a1）x（a+1）0 解得 a1xa+1， 那么不等式 f（f（x） ）0a1f（x）a+1 （*） 又 f（x）（xa）21 当 xa 时，f（x）取得最小值1 即函数的值域
19、为1，+） 若原不等式的解集为空集，则（*）的解集为空集， 那么（a1，a+1）与值域的交集为空集 所以 a+11 所以 a2 故答案为：a2 【点评】本题考查了由一元二次不等式的解集求 参数的范围，属于中档题 14 （5 分）已知函数 f（x），当 x0，100时，关于 x 的方程 f（x） x的所有解的和为 10000 【分析】根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可 【解答】解：x0，1）时，f（x）（x1）2+2（x1）+1x2， 令 f（x）x，得：x2x+0，x1+x21； x1，2）时，f（x）（x1）2+1， 第 11 页（共 17 页） 令 f（x）x，得
20、：x3+x43， x3，4）时，f（x）（x2）2+2， 令 f（x）x，得：x5+x65， ， xn，n+1）时，f（x）（xn）2+n， 令 f（x）x，得：x2n+1+x2n+22n+1， x99，100时，f（x）（x99）2+99， 令 f（x）x，得：x199+x200199， 1+3+5+19910000， 故答案为：10000 【点评】本题考查了分段函数问题，考查了分类讨论以及二次函数的性质，是一道基础 题 二、解答题（共计二、解答题（共计 90 分 ）分 ） 15 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 bcosC+ccosB2acosA （1
21、）求角 A 的大小； （2）若，求ABC 的面积 【分析】 （1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式，即可求角 A 的大小； （2）若，根据向量的数量积，求出 ABAC 的大小即可，求ABC 的面积 【解答】解： （1）由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB2sinAcosA， 即 sin（B+C）2sinAcosA， 则 sinA2sinAcosA， 在三角形中，sinA0， cosA， 即 A； （2）若， 则 ABACcosAABAC， 第 12 页（共 17 页） 即 ABAC2， 则ABC 的面积 SABACsinA 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，以及三角形面积的计算
22、，利用向量数量积的公 式是解决本题的关键 16 （14 分）已知函数 f（x）ax2+xa，aR （1）若函数 f（x）有最大值，求实数 a 的值； （2）解不等式 f（x）1（a0） 【分析】 （1）函数 f（x）有最大值，则，解之，即可求实数 a 的值； （2）f（x）ax2+xa1，即 ax2+x（a+1）0，即 （x1） （ax+a+1）0，再分类 讨论，确定不等式的解集 【解答】解： （1）函数 f（x）有最大值，所以 a0，不满足题意； ， 8a2+17a+20，a2 或 a （2）f（x）ax2+xa1，即 ax2+x（a+1）0，即 （x1） （ax+a+1）0 a0 时，解集
23、为（1，+） a0 时，解集为（，1）（1，+） 【点评】本题考查函数的最值，考查解不等式，解题的关键是确定方程两根的大小关系 17 （14 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O，E 分别为 B1D，AB 的中点 （1）求证：OE平面 BCC1B1； （2）求证：平面 B1DC平面 B1DE 第 13 页（共 17 页） 【分析】 （1） ：连接 BC1，设 BC1B1CF，连接 OF，可证四边形 OEBF 是平行四边形， 又 OE面 BCC1B1，BF面 BCC1B1，可证 OE面 BCC1B1 （2）先证明 BC1DC，再证 BC1面 B1DC，而 BC1OE，OE面 B1D
24、C，又 OE面 B1DE，从而可证面 B1DC面 B1DE 【解答】 证明： （1） ：连接 BC1，设 BC1B1CF，连接 OF，2 分 因为 O，F 分别是 B1D 与 B1C 的中点，所以 OFDC，且， 又 E 为 AB 中点，所以 EBDC，且 d11， 从而，即四边形 OEBF 是平行四边形， 所以 OEBF，6 分 又 OE面 BCC1B1，BF面 BCC1B1， 所以 OE面 BCC1B18 分 （2）因为 DC面 BCC1B1，BC1面 BCC1B1， 所以 BC1DC，10 分 又 BC1B1C，且 DC，B1C面 B1DC，DCB1CC， 所以 BC1面 B1DC，12
25、 分 而 BC1OE，所以 OE面 B1DC，又 OE面 B1DE， 所以面 B1DC面 B1DE14 分 【点评】本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知 第 14 页（共 17 页） 识的考查 18 （16 分）某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定 往水中投放一种药剂来净化水质已知每投放质量为 m 的药剂后，经过 x 天该药剂在水 中释放的浓度 y（毫克/升） 满足 ymf（x） ，其中 f（x），当药 剂在水中释放的浓度不低于 4（毫克/升） 时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不 低于 4（毫克/升） 且不高于 10（毫克/
26、升）时称为最佳净化 （1）如果投放的药剂质量为 m4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ （2）如果投放的药剂质量为 m，为了使在 7 天（从投放药剂算起包括 7 天）之内的自来 水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 m 的最小值 【分析】 （1）由题意，写出 y4f（x），再对每一段考虑大于等于 4，解出 x 的范围，求并集即可； （2）由 ymf（x），确定各段的单调性，求出值域，再求并 集，为使 4y10 恒成立，则 4ymin，且 10ymax即可 【解答】解： （1）由题意，当药剂质量为 m4，所以 y4f（x）， 当 0x4 时+84，显然符合题意 当 x4 时4，解得 4
27、x16， 综上 0x16 所以自来水达到有效净化一共可持续 16 天 （2）由 ymf（x），得 在区间（0，4上单调递增，即 2my3m； 第 15 页（共 17 页） 在区间（4，7上单调递减，即， 综上， 为使 4y10 恒成立，只要且 3m10 即可， 即 所以应该投放的药剂质量 m 的最小值为 【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及应用：求值域，注意函数的各 段解析式，属于中档题 19 （16 分）设函数（xR，kZ） （1）若 fk（x）是偶函数，求 k 的值； （2）设不等式 f0（x）+mf1（x）4 的解集为 A，若 A1，2，求实数 m 的取值范 围； （3）设
28、函数 g（x）f0（x）f2（2x）2，若 g（x）在 x1，+）有零点，求实数 的取值范围 【分析】 （1）根据函数是偶函数，建立方程进行求解即可 （2）根据 A1，2，等价为不等式在1，2内有解，利用参数分离法进行转化求解 即可 （3）求出 g（x）的解析式，根据函数存在零点转化为方程有根，利用参数分离法进行求 解即可 【解答】解： （1）若 fk（x）是偶函数， 则 fk（x）fk（x） ， 即 2 x+（k1） 2x2x+（k1） 2x， 即 2 x2x（k1） 2x（k1） 2x（k1） （2x2x） ， 则 k11，即 k2； （2）f0（x）2x2 x，f 1（x）2x， 则不等
29、式 f0（x）+mf1（x）4 等价为 2x2 x+m2x4， A1，2，不等式在1，2内有解， 即 m2x42x+2 x， 第 16 页（共 17 页） 则 m42 x+（2x）21， 设 t2 x，1x2， t， 设 42 x+（2x）21t2+4t1， 则 yt2+4t1（t+2）25， t， 当 t时，函数取得最大值 y+21， 要使不等式在1，2内有解，则 m，即实数 m 的取值范围是； （3）f0（x）2x2 x，f 2（x）2x+2 x，则 f 2（2x）22x+2 2x（2x2x）2+2， 则 g（x）f0（x）f2（2x）2（2x2 x）（2x2x）24， 设 t2x2 x，
30、当 x1 时，函数 t2x2x，为增函数，则 t2 ， 若 g（x）在 x1，+）有零点，即 g（x）（2x2 x）（2x2x）24tt2 40， 在 t上有解， 即 tt2+4，即 t+， t+24，当且仅当 t，即 t2 时取等号， 4，即 的取值范围是4，+） 【点评】本题主要考查函数与方程的综合应用，求出函数的解析式，利用参数分离法转 化为最值问题是解决本题的关键考查学生的转化能力 20 （16 分）记 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x） ，g（x）的导函数若存在 x0R，满足 f（x0）g（x0）且 f（x0）g（x0） ，则称 x0为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点”
31、 （1）证明：函数 f（x）x 与 g（x）x2+2x2 不存在“S 点” ； （2）若函数 f（x）ax21 与 g（x）lnx 存在“S 点” ，求实数 a 的值； （3）已知函数 f（x）x2+a，g（x）对任意 a0，判断是否存在 b0，使 函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点” ，并说明理由 【分析】 （1）根据“S 点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可； （2）根据“S 点”的定义解两个方程即可； 第 17 页（共 17 页） （3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可 【解答】解： （1）证明：f（x）1，g（x）2x+2， 则
32、由定义得，得方程无解，则 f（x）x 与 g（x）x2+2x2 不存在“S 点” ； （2）f（x）2ax，g（x），x0， 由 f（x）g（x）得2ax，得 x， f（）g（）lna2，得 a； （3）f（x）2x，g（x）， （x0） ， 由 f（x0）g（x0） ，假设 b0，得 b0，得 0x01， 由 f（x0）g（x0） ，得x02+a，得 ax02， 令 h（x）x2a， （a0，0x1） ， 设 m（x）x3+3x2+axa， （a0，0x1） ， 则 m（0）a0，m（1）20，得 m（0）m（1）0， 又 m（x）的图象在（0，1）上不间断， 则 m（x）在（0，1）上有零点， 则 h（x）在（0，1）上有零点， 则存在 b0，使 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S”点 【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是 解决本题的关键
