1、天津市静海一中 2020 届高三 4 月学生学业能力调研考试 数学试题 第 I 卷 注意事项:本卷共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的. 一、选择题 (1)设集合 A=1,2,6,B=2,4,C=xR|-1x5,则(AB)C=() A.2 B.1,2,4 C.1,2,4,6 D.xR|-1x5 (2)设 aR,则“|a-1|1“是“-a 2 +3a0“的() A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 (3)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1) 2 +y 2 =5 相切,且与直线 ax-y+1
2、=0 垂直,则 a 等于() A. 1 2 B.1 C.2 D 1 2 (4)设函数 2 1,0 ( ) 1,0, xx f x xx , 0.5 (0.7),af b=f(log0.50.7),则 a,b,c 的大小关系是() A.bca B.acb C.cab D.abc (5)已知函数 2 ( )3sin()2cos () 22 x f xx (其中 0,当 (0,) 2 ),当 12 0fxfx 时,|x1 -x 2|的最小值为 2 ,( )() 6 f xfx ， 将 f(x)的图象上所有的点向右平移 6 个单位长度,所得图象对应的函数为 g(x),则() 6 g A. 3 1 2
3、B.31 C. 3 2 D.2 (6)著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休“.如函数 2 ( ) xx ee f x x 的图象大致是() (7)已知双曲线 22 22 1(0,0 xy ab ab )的左顶点与抛物线 y 2 =2px(p0)的焦点的距离为 4,且双曲线的一条 渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,-1),则双曲线的焦距为() A.2 5 B.2 3 C.4 3 D.4 5 (8)已知函数 f(x)=cosx-|sinx|,那么下列说法错误的是() A.f(x)是偶函数 B.f(x)在,0上恰有一个零点 C.f(x)是周期
4、函数 D.f(x)在,0上是增函数 (9)已知函数 2 |1|, 70 ( ) ln , xx f x x exe 剟 ，g(x)=x 2 -2x,设 a 为实数,若存在实数 m,使 f(m)-2g(a)=0,则实数 a 的 取值范围为() A.-1,+) B.(-,-13,+) C.1,3 D.(-,3 第卷 二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) (10)i 是虚数单位,则| 1 i i 的值为_. (11) 6 1 (2)x x 的展开式中, 1 x 项的系数为_ (12)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,若四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形,且 AB=3,BC=5,M
5、是 AA,的中点,则三 棱锥 A1-MBC1的体积为_. (13)一个口袋中装有大小相同的2个黑球和3个红球,从中摸出两个球,则恰有一个黑球的概率是_;若X表 示摸出黑球的个数,则 E(X)=_. (14)已知 a0,b0,当 2 1 (4 )ab ab 取得最小值为_时,a+b=_ (15)如图,在等腰ABC 中,AB=AC=3,D,E 与 M,N 分别是 AB,AC 的三等分点,且1DN ME则 tanA=_, AB BC_ 三.解答题(共 5 个大题,共 75 分) 16.(本题满分 12 分) 在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c (I)若 a=3c,2b, 2
6、cos 3 B 求边 c 的值; (II)若 2bsinA=acosB,求sin(2) 3 B 的值. 17.(本题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PAAD,底面 ABCD 为直角梯形,BC=3AD,ADBC,BCD=90,M 为线段 PB 上 一点. (I)若 1 3 PMPB,求证:AM平面 PCD; (II)若 PA=2,AD=1,异面直线 PA 与 CD 成 90角,二面角 B-PC-D 的余弦值为 10 10 ,求 CD 的长及直线 PC 与 平面 ABCD 所成角的正弦值. 18.(本题满分 15 分) 已知点(1,2)A是离心率为 2 2 的椭圆 C: 22
7、22 1(0) xy ab ba 上的一点.斜率为2的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点,且 A、B、D 三点不重合. (I)求椭圆 C 的方程; (II)求证:直线 AB、AD 的斜率之和为定值. (III)ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由? 19.(本题满分 20 分)a n是等比数列,公比大于 0,其前 n 项和为 Sn (nNn),bn是等差数列. 已知 a1=1,a3=a 2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6 (I)求a n和b,的通项公式; (II)设，数列cn的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的值. (III)设 2 ,2 (
8、log1),2 k n n k nn d b n bbn ，其中 kNn, 求 2 1 n i di ,(nN*) 1 (1) (1) n n nn a c aa 通过解本题体会数列求和方法,列求和方法的的本质是什么?(也就是说怎样转化成数列通项的模型求和),并完 成(IV):是否存在数列cn,满足等式 1 1 1 22 n n ini i bcn 成立,若存在,求出数列cn的通项公式;若不存在,请 说明理由. 20.(本题满分 16 分) 已知函数 2 1 ( )(1)ln () 2 f xaxa xx aR . (I)当 a=0 时,求函数 f(x)的最小值: (II)当 a0 时,求函数 f(x)的单调区间; (II)当 a=0 时,设函数 g(x)=xf(x),若存在区间 1 , ,) 2 m n ,使得函数 g(x)在m,n上的值域为 k(m+2)-2,k(n+2)-2,求实数 k 的取值范围.
