1、2019-2020 学年江西省上饶市山江湖协作体自招班高二（上）期中数学试卷一、单选题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|1x10，集合 Bx|lgx1，则 AB（ ） Ax|1x10 Bx|1x10 Cx|0x10 Dx|0x10 2 （5 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 的内部随机取一点 E，则ABE 的面积大于 的概率为（ ） A B C D 3 （5 分）展开式中的常数项为（ ） A35 B5 C5 D35 4 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a1，则输出的 S（ ） 第 2 页（共 22 页） A2 B3 C4 D5 5 （
2、5 分）设 a0，b0，若是 3a与 32b的等比中项，则的最小值为（ ） A5 B6 C7 D8 6 （5 分）在ABC 中，A60，AC4，则ABC 的面积为（ ） A B4 C D 7 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则 z2x4y的最大值为（ ） A1 B4 C8 D16 8 （5 分）利用数学归纳法证明“（n2 且 nN*） ”的过程中， 由假设“nk”成立，推导“nk+1”也成立时，该不等式左边的变化是（ ） A增加 B增加 第 3 页（共 22 页） C增加并减少 D增加并减少 9 （5 分）已知三棱锥 PABC 的底面 ABC 是边长
3、为 2 的等边三角形，PA平面 ABC，且 PA2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A B20 C48 D 10 （5 分）已知圆 M：x2+y22ay0（a0）截直线 x+y0 所得线段的长度是 2，则 圆 M 与圆 N： （x1）2+（y1）21 的位置关系是（ ） A内切 B相交 C外切 D相离 11 （5 分）将 4 个不同的球放入 3 个不同的盒中，每个盒内至少有 1 个球，则不同的放法 种数为（ ） A24 B36 C48 D96 12（5分） 设函数f （x） 的定义域为R， 满足f （x+2） 2f （x） ， 且当x （0， 2时， 若 对任意 x（，m，都有，则 m 的取
4、值范围是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设随机变量 B（2，p） ，B（4，p） ，若，则 P（3） 14 （5 分）已知随机变量 X 服从正态分布 N（4，2） ，且 P（2X6）0.98，则 P（X 2） 15 （5 分） 在ABC 中， 若 ACBC， ACb， BCa， 则ABC 的外接圆半径， 将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体 SABC 中，若 SA、SB、SC 两 两互相垂直，SAa，SBb，SCc，则四面体 SABC 的外接球半径 R
5、; 16 （5 分）已知正项数列an满足，a14，则数列 的前 n 项和为 三、解答题（三、解答题（17 题题 10 分，其他每题分，其他每题 12 分，共分，共 70 分）分） 17 （10 分）已知不等式 ax23x+20 的解集为 Ax|1xb （1）求 a，b 的值； 第 4 页（共 22 页） （2）求函数 f（x）（2a+b）x（xA）的最小值 18（12 分） 已知 a， b， c 分别为ABC 三个内角 A， B， C 的对边， 且 （）求 B 的大小； （）若，ABC 的面积为，求 a+c 的值 19 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 S
6、n，且 a22，公差 d0，a2，a4，a8成等比 数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 20 （12 分）如图，四棱锥 P 一 ABCD 中，ABAD2BC2，BCAD，ABAD，PBD 为正三角形且 PA2 （1）证明：平面 PAB平面 PBC； （2）若点 P 到底面 ABCD 的距离为 2，E 是线段 PD 上一点，且 PB平面 ACE，求四 面体 ACDE 的体积 21 （12 分）司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和 他人的生命为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了 100 名机动车司机， 得到以下统
7、计：在 55 名男性司机中，开车时使用手机的有 40 人，开车时不使用手机的 有 15 人；在 45 名女性司机中，开车时使用手机的有 20 人，开车时不使用手机的有 25 人 （）完成下面的 22 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为开车时使用手机与司机 的性别有关； 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 第 5 页（共 22 页） 合计 （）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽 检 3 辆，记这 3 辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 X，若每次抽检的结果 都相互独立，求
8、 X 的分布列和数学期望 E（X） 参考公式与数据：，其中 na+b+c+d P（2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22 （12 分）已知动点 P 与两个定点 O（0，0） ，A（3，0）的距离的比值为 2，点 P 的轨迹 为曲线 C （1）求曲线 C 的轨迹方程 （2）过点（1，0）作直线与曲线 C 交于 A，B 两点，设点 M 坐标为（4，0） ，求ABM 面积的最大值 第 6 页（共 22 页） 2019-2020 学年江西省上饶市山江湖
9、协作体自招班高二（上）期学年江西省上饶市山江湖协作体自招班高二（上）期 中数学试卷中数学试卷 参考答参考答案与试题解析案与试题解析 一、单选题（每小题一、单选题（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|1x10，集合 Bx|lgx1，则 AB（ ） Ax|1x10 Bx|1x10 Cx|0x10 Dx|0x10 【分析】先分别求出集合 A，集合 B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|1x10， 集合 Bx|lgx1x|0x10， ABx|0x10 故选：C 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 2
10、（5 分）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 的内部随机取一点 E，则ABE 的面积大于 的概率为（ ） A B C D 【分析】根据题意，得正方形边长为 2，E 到 AB 的距离大于时满足题意，由几何概型 公式计算可得答案 【解答】解：如图，正方形边长为 2，E 到 AB 的距离大于时， ABE 的面积大于，易得 E 在长宽分别为 2，的矩形内，又正方形面积为 4， 第 7 页（共 22 页） 由几何概型的公式得到ABE 的面积大于的概率为； 故选：C 【点评】本题考查几何概型的运用，解题的关键在于分析得到 E 具有的性质，进而得到 E 所在的范围，利用面积比求概率 3 （5 分）展开式
11、中的常数项为（ ） A35 B5 C5 D35 【分析】把按照二项式定理展开，可得展开式中的常数项 【解答】解：（1x2） （x66x4+15x220+15x 26x4+x6） ， 故展开式中的常数项为201535， 故选：A 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 4 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 a1，则输出的 S（ ） 第 8 页（共 22 页） A2 B3 C4 D5 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S，K 值，当 K7 时，程序终止即可 得到结论 【解答】解：执行程序框图，有 S0，K1，a1，代入循环，
12、第一次满足循环，S1，a1，K2； 满足条件，第二次满足循环，S1，a1，K3； 满足条件，第三次满足循环，S2，a1，K4； 满足条件，第四次满足循环，S2，a1，K5； 满足条件，第五次满足循环，S3，a1，K6； 满足条件，第六次满足循环，S3，a1，K7； K6 不成立，退出循环输出 S 的值为 3 故选：B 【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础 5 （5 分）设 a0，b0，若是 3a与 32b的等比中项，则的最小值为（ ） 第 9 页（共 22 页） A5 B6 C7 D8 【分析】a0，b0，是 3a与 32b的等比中项，3a32b可得 a+2b1可
13、 得（a+2b）4+，再利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：a0，b0，是 3a与 32b的等比中项，3a32b3 a+2b1 则（a+2b）4+4+28，当且仅当 a2b时取等 号 故选：D 【点评】本题考查了基本不等式的性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 6 （5 分）在ABC 中，A60，AC4，则ABC 的面积为（ ） A B4 C D 【分析】根据余弦定理求解 AB，那么ABC 的面积 S|AB|AC|sinA 可得答案 【解答】解：A60，bAC4，a， 由余弦定理：cosA， 即， 解得：c2 那么ABC 的面积 S|AB|AC|sinA2 故选：
14、C 【点评】本题考查ABC 的面积的求法，解题时要注意余弦定理的合理运用属于基础 题 7 （5 分）设实数 x，y 满足约束条件，则 z2x4y的最大值为（ ） A1 B4 C8 D16 【分析】画可行域z 为目标函数纵截距四倍画直线 0x+2y，平移直线过（0，2） 时 z 有最大值 【解答】解：画可行域如图，z 为目标函数纵截距四倍，则 z2x4y2x+2y， 第 10 页（共 22 页） 画直线 0x+2y，平移直线过 A（0，2）点时 z 有最大值：16 故选：D 【点评】本题考查线性规划问题，画出约束条件的可行域是解题的关键 8 （5 分）利用数学归纳法证明“（n2 且 nN*） ”
15、的过程中， 由假设“nk”成立，推导“nk+1”也成立时，该不等式左边的变化是（ ） A增加 B增加 C增加并减少 D增加并减少 【分析】当由 nk 到 nk+1 时，项数也由 k 变到 k+1 时，但前边少了两项，后面多了 三项，分析四个答案，即可求出结论 【解答】解：当 nk 时，左边+， 当 nk+1 时，左边+， 由“nk”变成“nk+1”时增加并减少， 故选：D 【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集 N 相关的性质，其步骤为：设 P（n） 是关于自然数 n 的命题，若 1） （奠基） P（n）在 n1 时成立；2） （归纳） 在 P（k）
16、（k 为任意自然数）成立的假设下可以推出 P（k+1）成立，则 P（n）对一切自然数 n 都 成立 9 （5 分）已知三棱锥 PABC 的底面 ABC 是边长为 2 的等边三角形，PA平面 ABC，且 第 11 页（共 22 页） PA2，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A B20 C48 D 【分析】由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用 PA 也垂直于这个小 圆，即可利用球心与小圆圆心建立起直角三角形，根据题意可求出 r 是底面三角形的外接圆的半径， 利用计算 R 即可， 最后即可求出球的表面积 【解答】解：如图，PA平面 ABC，连结 PO，延长至圆上交于 H
17、， 过 O 作 OO'PA 交平面 ABC 于 O'， 则PAH 为 Rt，O 为斜边 PH 的中点， OO'为PAH 的中位线，O'为小圆圆心，则 O'为 AH 的中点，则， ， 则球的半径， 球的表面积为 故选：D 【点评】本题考查计算球的表面积，关键在于利用 d2R2r2进行计算 R，难点在于构 造三要素相关的直角三角形进行求解，属于中档题 10 （5 分）已知圆 M：x2+y22ay0（a0）截直线 x+y0 所得线段的长度是 2，则 圆 M 与圆 N： （x1）2+（y1）21 的位置关系是（ ） A内切 B相交 C外切 D相离 【分析】根据直
18、线与圆相交的弦长公式，求出 a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即 可 【解答】解：圆的标准方程为 M：x2+（ya）2a2 （a0） ， 则圆心为（0，a） ，半径 Ra， 第 12 页（共 22 页） 圆心到直线 x+y0 的距离 d， 圆 M：x2+y22ay0（a0）截直线 x+y0 所得线段的长度是 2， 2222， 即，即 a24，a2， 则圆心为 M（0，2） ，半径 R2， 圆 N： （x1）2+（y1）21 的圆心为 N（1，1） ，半径 r1， 则 MN， R+r3，Rr1， RrMNR+r， 即两个圆相交 故选：B 【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系
19、的判断，根据相交弦长 公式求出 a 的值是解决本题的关键 11 （5 分）将 4 个不同的球放入 3 个不同的盒中，每个盒内至少有 1 个球，则不同的放法 种数为（ ） A24 B36 C48 D96 【分析】四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，每个盒子最少一个，需要先 要从 4 个球中选 2 个作为一个元素，有 C42种结果，同其他的两个元素在三个位置全排 列，根据乘法原理得到结果 【解答】解：由题意知四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中， 每个盒子最少一个， 首先要从 4 个球中选 2 个作为一个元素，有 C42种结果， 同其他的两个元素在三个位置全排列有 A33 根据分步乘
20、法原理知共有 C42A336636 故选：B 【点评】本题考查排列组合及简单计数问题，这种问题经常见到，比如四本不同的书分 给 3 个人，每人至少一本，共有多少种分法，解法同本题一样 第 13 页（共 22 页） 12（5分） 设函数f （x） 的定义域为R， 满足f （x+2） 2f （x） ， 且当x （0， 2时， 若 对任意 x（，m，都有，则 m 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】先利用函数 f（x）的单调性，求出其在 x（0，2时的最值，然后根据递推关系 可知， 当图象向右平移 2 个单位时，最小值变为原来的 2 倍，即可分析出何时 f（x）min 【解答】解
21、：当 x（0，2时，函数 f（x）在（0，1）上递减，在（1，2上递增，所以 fminf（1） 因为 f（x+2）2f（x） ，当图象向右平移 2 个单位时，最小值变为原来的 2 倍，最小值 不断变小， 当图象向左平移 2 个单位时，最小值变为原来的，最小值不断变大 当 x（2，4时，fminf（3）； 当 x（4，6时，fminf（5）1； 所以要对任意 x（，m，都有 f（x）， x（4，5）时，函数 f（x）递减，x（5，6时，函数 f（x）递增， 所以当 m 最大时，m（4，5） ，且 f（x）minf（m）2f（m2）4f（m4）4m 4+，解得 m， 故 m 的取值范围是（， 故选
22、：D 【点评】本题主要考查函数最值的求法以及函数递推式的应用，属于难题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）设随机变量 B（2，p） ，B（4，p） ，若，则 P（3） 【分析】根据 E（）np求出 P，然后根据 P（3）P（3）+P（4） C （）3（）1+C （）4可求得 【解答】解：E（）2p，p， 第 14 页（共 22 页） B（4，） ，P（3）P（3）+P（4）C （）3（）1+C （）4 + 故答案为： 【点评】本题考查了二项分布与 n 次独立重复试验的模型，属基础题 14 （5 分）已知随机变量 X 服从正态分布
23、 N（4，2） ，且 P（2X6）0.98，则 P（X 2） 0.01 【分析】随机变量 X 服从正态分布 N（4，2） ，根据对称性，由 P（2X4）的概率 可求出 P（X2） 【解答】解：随机变量 X 服从正态分布 N（4，2） ，且 P（2X6）0.98， P（2X4）P（2X6）0.49， P（X2）0.5P（2X4）0.50.490.01 故答案为：0.01 【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的 对称性解决问题 15 （5 分） 在ABC 中， 若 ACBC， ACb， BCa， 则ABC 的外接圆半径， 将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是
24、：在四面体 SABC 中，若 SA、SB、SC 两 两互相垂直，SAa，SBb，SCc，则四面体 SABC 的外接球半径 R 【分析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点 的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中， ABC 中，若 BCAC，ACb，BCa，则ABC 的外接圆半径，我们可 以类比这一性质，推理出在四面体 SABC 中，若 SA、SB、SC 两两垂直，SAa，SB b，SCc，则四面体 SABC 的外接球半径 R 【解答】解：由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时 第 15 页（共 22 页） 一般是由点的性质类
25、比推理到线的性质， 由线的性质类比推理到面的性质， 由圆的性质推理到球的性质 由已知在平面几何中，ABC 中，若 BCAC，ACb，BCa， 则ABC 的外接圆半径， 我们可以类比这一性质，推理出： 在四面体 SABC 中，若 SA、SB、SC 两两垂直，SAa，SBb，SCc， 则四面体 SABC 的外接球半径 R 故答案为： 【点评】类比推理的一般步骤是： （1）找出两类事物之间的相似性或一致性； （2）用一 类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 16 （5 分）已知正项数列an满足，a14，则数列 的前 n 项和为 【分析】首先利用分解因式求出数列的通项公式，进
26、一步利用裂项相消和构造新数列法 的应用求出结果 【解答】解：正项数列an满足， 所以2（n+1）annan+1 （an+an+1）0， 所以 2（n+1）annan+10， 整理得，所以（常数） ， 所以正项数列是以为首项，2 为公比的等比数列， 所以（首项符合通项） ，故， 第 16 页（共 22 页） 所以， 所以 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 三、解答题（三、解答题（17 题题 10 分，其他每题分，其他每题 12 分，共分，共 70 分）分） 17 （10 分
27、）已知不等式 ax23x+20 的解集为 Ax|1xb （1）求 a，b 的值； （2）求函数 f（x）（2a+b）x（xA）的最小值 【分析】 （1）由题意可得 1 和 b 是方程 ax23x+20 的两根，运用韦达定理，解方程可 得所求值； （2）由（1）可得 f（x）4x+4（x1）+4，运用基本不等式可得所求最小 值 【解答】解： （1）不等式 ax23x+20 的解集为 Ax|1xb， 1 和 b 是方程 ax23x+20 的两根， 1+b，b， 解得 a1，b2； （2）由（1）得 f（x）4x+4（x1）+42+48 当且仅当 4（x1），即 xA 时， 函数 f（x）有最小值
28、8 【点评】本题考查二次不等式和方程的关系，基本不等式的运用：求最值，考查运算能 力，属于基础题 18（12 分） 已知 a， b， c 分别为ABC 三个内角 A， B， C 的对边， 且 （）求 B 的大小； （）若，ABC 的面积为，求 a+c 的值 【分析】 （）由已知及正弦定理，两角差的正弦函数公式可得，结合 B 第 17 页（共 22 页） 的范围可得，即可解得 B 的值 （）由已知及三角形面积公式可得 ac2，由已知利用平方和公式，余弦定理即可解得 a+c 的值 【解答】解： （）由已知及正弦定理得， 因为 sinA0， 所以，即， 又 B（0，） ， ， ， （）
29、由已知， ac2， ，由余弦定理得 b2a2+c22accosB， 即， 7（a+c）2ac， 又 a0，c0， a+c3 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，三角形面积公式，平方和 公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题 19 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a22，公差 d0，a2，a4，a8成等比 数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）运用等比数列中项性质和等差数列的通项公式，可得公差、首项，进而得 到所求通项公式； 第 18 页（共 22 页） （2）由等比数列的
30、求和公式，可得，再由数列的裂项相消求 和，化简可得所求和 【解答】解： （1）a2，a4，a8成等比数列，a22， ，即（2+2d）22 （2+6d） ， 4d24d，又 d0，d1， a1a2d1， 故 ana1+（n1）dn （2）由（1）得， ， 【点评】本题考查等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，以及数列的 裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题 20 （12 分）如图，四棱锥 P 一 ABCD 中，ABAD2BC2，BCAD，ABAD，PBD 为正三角形且 PA2 （1）证明：平面 PAB平面 PBC； （2）若点 P 到底面 ABCD 的距离为 2，E 是线段 P
31、D 上一点，且 PB平面 ACE，求四 面体 ACDE 的体积 【分析】 （1）证明 ABPB，ABBC，推出 AB平面 PBC，然后证明平面平面 PAB 平面 PBC （2）设 BD，AC 交于点 O，连接 OE，点 P 到平面 ABCD 的距离为 2，点 E 到平面 ABCD 的距离为 h，通过 VACDEVECDA，转化求解四面体 ACDE 的体积 【解答】 （1）证明：ABAD，且 ABAD2，BD2， 第 19 页（共 22 页） 又，PBD 为正三角形，PBPDBD2，又AB2，PA2， ， ABPB，又ABAD，BCAD，ABBC，PBBCB， AB平面 PBC，又AB平面 PA
32、B， 平面平面 PAB平面 PBC（6 分） （2）如图，设 BD，AC 交于点 O，BCAD， 且 AD2BC，OD2OB，连接 OE， PB平面 ACE，PBOE，则 DE2PE， 由（1）点 P 到平面 ABCD 的距离为 2， 点 E 到平面 ABCD 的距离为 h， VACDEVECDA， 即四面体 ACDE 的体积为 （12 分） 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间 想象能力以及计算能力 21 （12 分）司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和 他人的生命为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了 100
33、 名机动车司机， 得到以下统计：在 55 名男性司机中，开车时使用手机的有 40 人，开车时不使用手机的 有 15 人；在 45 名女性司机中，开车时使用手机的有 20 人，开车时不使用手机的有 25 人 （）完成下面的 22 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为开车时使用手机与司机 的性别有关； 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 第 20 页（共 22 页） 男性司机人数 女性司机人数 合计 （）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽 检 3 辆，记这 3 辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 X，若
34、每次抽检的结果 都相互独立，求 X 的分布列和数学期望 E（X） 参考公式与数据：，其中 na+b+c+d P（2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （）根据题意填写 22 列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （）求出任意抽取 1 辆车中司机为男性且开车时使用手机的概率， 知 X 的可能取值，且 X 服从二项分布，计算对应的概率， 写出 X 的分布列，计算数学期望值 【解答】解： （）填写 22 列联表，如下； 开车时使
35、用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 40 15 55 女性司机人数 20 25 45 合计 60 40 100 根据数表，计算8.25 7.879， 所以有 99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关； （）由题意，任意抽取 1 辆车中司机为男性且开车时使用手机的概率是， 则 X 的可能取值为：0，1，2，3，且 XB（3，） ， 可得 P（Xk）， 所以 P（X0）， P（X1）， 第 21 页（共 22 页） P（X2）， P（X3）； 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望为 EX3 【点评】本题考查了二项分布列的性质及其数学期望和独立性检验思想方法，
36、属于中档 题 22 （12 分）已知动点 P 与两个定点 O（0，0） ，A（3，0）的距离的比值为 2，点 P 的轨迹 为曲线 C （1）求曲线 C 的轨迹方程 （2）过点（1，0）作直线与曲线 C 交于 A，B 两点，设点 M 坐标为（4，0） ，求ABM 面积的最大值 【分析】 （1）设点 P（x，y） ，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程； （2）方法一、由题意可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 yk（x+1） ，求得 M 到 直线的距离，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得 所求； 方法二、由题意可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l
37、 方程为 yk（x+1） ，设直线 l 与 x 轴 的夹角为 ，其中 0sin，可得距离 d 和|AB|，运用基本不等式可得所求最大值 【解答】解： （1）设点 P（x，y） ，|PO|2|PA|， 即2，即 x2+y24（x3）2+y2， 化为（x4）2+y24， 曲线 C 的方程为（x4）2+y24， （2）解法一：由题意可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 yk（x+1） ， 由（1）可知，点 M 是圆（x4）2+y24 的圆心， 点 M 到直线 l 的距离为 d，由 d2 得2，即 0k2， 第 22 页（共 22 页） 又|AB|22， 所以 SABM|AB|d， 令 t1+k2，所以 1t，1， SABM55 52， 当，即 t，此时 k2，符合题意，即 k时取等号 所以ABM 面积的最大值为 2 解法二：由题意可知，直线 l 的斜率存在，设直线 l 方程为 yk（x+1） ， 设直线 l 与 x 轴的夹角为 ，其中 0sin， 圆心 M 到直线到直线 l 的距离为 d5sin， |AB|22， SABMd|AB|5sin2， 当且仅当 sin时取等号所以ABM 面积的最大值为 2 【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线的 距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题
