1、2019-2020学年江西省赣州市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5 分）某单位职工老年人有 30 人，中年人有 50 人，青年人有 20 人，为了了解职工的 健康状况， 分层抽样的方法从中拍取 10 人进行体检， 则应抽查的老年人的人数为 （ ） A3 B5 C2 D1 2 （5 分）已知向量，且，则 m（ ） A8 B8 C2 D2 3 （5 分）如图，ABC是ABC 的直观图，其中 ABAC，那么A
2、BC 是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形 4 （5 分）点到原点的距离为（ ） A1 B3 C5 D9 5 （5 分）甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人 这 6 次考试的平均成绩分别用 甲、乙表示，则下列结论正确的是（ ） A 甲乙，且甲成绩比乙成绩稳定 B 甲乙，且乙成绩比甲成绩稳定 C 甲乙，且甲成绩比乙成绩稳定 D 甲乙，且乙成绩比甲成绩稳定 6 （5 分）在ABC 中，若 a2bsinA，则角 B 等于（ ） 第 2 页（共 20 页） A30或 150 B45或 135 C60或 120 D90 7 （5 分）
3、已知两条不同的直线 m、n 及平面 、，则下列命题正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，mn，则 n C若 m，n，则 mn D若 m，n 且 mn，则 E若 m，n 且 mn 8 （5 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线 BA1 与 AC1所成的角等于（ ） A30 B45 C60 D90 9 （5 分）某公司有 3000 名员工，将这些员工编号为 1，2，3，3000，从这些员工中使 用系统抽样的方法抽取 200 人进行“学习强国”的问卷调查，若 84 号被抽到则下面被抽 到的是（ ） A44 号 B294 号 C1196 号 D298
4、4 号 10 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A4 B2 C D 11 （5 分）已知圆 C：x2+y26x+80，由直线 yx1 上一点向圆引切线，则切线长的最 第 3 页（共 20 页） 小值为（ ） A1 B2 C D 12 （5 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，在九章算术中，将四个 面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑 ABCD 中，AB平面 BCD，且有 BD CD，ABBD1，CD2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则该球的体积为（ ） A B C D24 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
5、分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知正六棱柱的高为 2，底面边长为 1，则该正六棱柱表面积为 14 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cosC，3sinA 2sinB，则 c 15 （5 分）已知变量 x，y 具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下： （0，1） ， （1， 2） ， （2，4） ， （3，5） ，其回归方程为 1.4x+a，则 a 的值等于 16 （5 分）已知圆 C： （x4）2+（y2）2r2截 y 轴所得的弦长为 2，过点（0，4）且 斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，若|AB|2，则 k
6、 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤 17 （10 分）已知三点 A（1，0） ，B（0，1） ，C（2，5） （1）若向量与的夹角为 ，求 cos； （2）当 m 为何值时，向量 m+与垂直 18 （12 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 （1）求角 A； （2）若 a2，ABC 的周长为 6，求ABC 的面积 19 （12 分）如图所示，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是菱形，ADC60，AC 与 BD 交于点 O，
7、EC底面 ABCD，F 为 BE 的中点，ABCE2 （1）求证：DE平面 ACF； （2）求异面直线 EO 与 AB 所成角的余弦值； 第 4 页（共 20 页） 20 （12 分）华为手机作为华为公司三大核心业务之一，2018 年的销售量跃居全球第二名某 机构随机选取了 100 名华为手机的顾客进行调查，并将这 100 人的手机价格按照500， 1500） ，1500，2500） ，6500，7500）分成 7 组，制成如图（六）所示的频率分布直方图 （1）若 a 是 b 的 2 倍，求 a，b 的值； （2）求这 100 名顾客手机价格的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中间值
8、作代表，精确到个位） ； （3）利用分层抽样的方式从手机价格在1500，2500）和5500，6500）的顾客中选取 6 人，并从这 6 人中随机抽取 2 人进行回访，求抽取的 2 人手机价格在不同区间的概 率 21 （12 分）如图，在MBC 中，MA 是 BC 边上的高，MA3，AC4，将MBC 沿 MA 进行翻折， 使得BAC90如图， 再过点 B 作 BDAC， 连接 AD， CD， MD 且， CAD30 （1）求证：平面 MCD平面 MAD； （2）求点 B 到平面 MAD 的距离 第 5 页（共 20 页） 22 （12 分）已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆
9、C：x2+y24x6y+120 相交于 M、N 两点 （1）求实数 k 的取值范围； （2）求证：为定值； （3）若 O 为坐标原点，问是否存在直线 l，使得，若存在，求直线 l 的方程， 若不存在，说明理由 第 6 页（共 20 页） 2019-2020 学年江西省赣州市高二（上）期中数学试卷（文科）学年江西省赣州市高二（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：共一、选择题：共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1 （5
10、 分）某单位职工老年人有 30 人，中年人有 50 人，青年人有 20 人，为了了解职工的 健康状况， 分层抽样的方法从中拍取 10 人进行体检， 则应抽查的老年人的人数为 （ ） A3 B5 C2 D1 【分析】利用分层抽样的性质直接求解 【解答】解：某单位职工老年人有 30 人，中年人有 50 人，青年人有 20 人， 为了了解职工的健康状况，分层抽样的方法从中抽取 10 人进行体检， 则应抽查的老年人的人数为：103 故选：A 【点评】本题考查应抽查的老年人的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 2 （5 分）已知向量，且，则 m（ ） A8 B8 C2 D2
11、 【分析】根据即可得出 4+2m0，解出 m 即可 【解答】解：； 4+2m0； m2 故选：C 【点评】考查向量坐标的定义，以及平行向量的坐标关系 3 （5 分）如图，ABC是ABC 的直观图，其中 ABAC，那么ABC 是（ ） 第 7 页（共 20 页） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形 【分析】 根据斜二侧画法， xOy45， 直接判断ABC 的直观图是直角三角形 【解答】解：水平放置的ABC 的直观图，xOy45，ABAC， ABAC，ABAC， ABC 是直角三角形， 故选：B 【点评】本题考查斜二测法画直观图，考查作图能力，是基础题 4 （5 分）点到原
12、点的距离为（ ） A1 B3 C5 D9 【分析】利用空间两点间的距离公式，求出即可 【解答】解：根据空间两点间的距离公式： MO， 故选：C 【点评】考查空间两点间的距离公式，基础题 5 （5 分）甲、乙两名同学在 6 次数学考试中，所得成绩用茎叶图表示如下，若甲、乙两人 这 6 次考试的平均成绩分别用 甲、乙表示，则下列结论正确的是（ ） 第 8 页（共 20 页） A 甲乙，且甲成绩比乙成绩稳定 B 甲乙，且乙成绩比甲成绩稳定 C 甲乙，且甲成绩比乙成绩稳定 D 甲乙，且乙成绩比甲成绩稳定 【分析】根据茎叶图分别求出甲和乙的平均数和方差，由此能求出 甲乙，且甲成绩比 乙成绩稳定 【解答】
13、解：根据茎叶图得： （75+77+82+83+85+90）82， （7582）2+（7782）2+（8282）2+（8382）2+（8582）2+（9082） 2 ， （72+76+81+86+91+92）83， （7283）2+（7683）2+（8183）2+（8683）2+（9183）2+（9283） 2 ， 甲乙，且甲成绩比乙成绩稳定 故选：C 【点评】本题考查平均数和方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 6 （5 分）在ABC 中，若 a2bsinA，则角 B 等于（ ） A30或 150 B45或 135 C60或 120 D90 【分析
14、】由已知利用正弦定理可得，sinA2sinBsinA，从而可求 sinB，进而可求 B 【解答】解：a2bsinA， 由正弦定理可得，sinA2sinBsinA sinA0 第 9 页（共 20 页） sinB 0B180 B30或 B150 故选：A 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础试题 7 （5 分）已知两条不同的直线 m、n 及平面 、，则下列命题正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，mn，则 n C若 m，n，则 mn D若 m，n 且 mn，则 E若 m，n 且 mn 【分析】主要是对线面平行或垂直的判断定理及性质定理的运用，所以要理解记
15、忆这些 定理公理 【解答】解：A 中，m，n，则 mn 或 m 与 n 是异面直线，所以 A 不正确， B 中是直线垂直面的判断的推论，所以正确， C 中若 m，n，则 m 与 n，可能相交直线，可能平行直线，也可能是异面直线，所 以 C 不正确， D 中若 m，n 且 mn，如果 n，则 与 也有可能相交，所以 D 不正确 故选：B 【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线面垂直和面面垂直的判定和性质 定理，注意定理的条件是解题的关键，属于基础题和易错题 8 （5 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线 BA1 与 AC1所成的角等于（ ） A3
16、0 B45 C60 D90 第 10 页（共 20 页） 【分析】 延长 CA 到 D， 根据异面直线所成角的定义可知DA1B 就是异面直线 BA1与 AC1 所成的角，而三角形 A1DB 为等边三角形，可求得此角 【解答】解：延长 CA 到 D，使得 ADAC，则 ADA1C1为平行四边形， DA1B 就是异面直线 BA1与 AC1所成的角， 又 A1DA1BDBAB， 则三角形 A1DB 为等边三角形，DA1B60 故选：C 【点评】本小题主要考查直三棱柱 ABCA1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线 所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题 9 （5 分）某公司有 3000 名员
17、工，将这些员工编号为 1，2，3，3000，从这些员工中使 用系统抽样的方法抽取 200 人进行“学习强国”的问卷调查，若 84 号被抽到则下面被抽 到的是（ ） A44 号 B294 号 C1196 号 D2984 号 【分析】根据系统抽样的定义和方法，得出结论 【解答】解：某公司有 3000 名员工，将这些员工编号为 1，2，3，3000，从这些员 工中使用系统抽样的方法抽取 200 人进行“学习强国”的问卷调查， 则分段的间隔为15， 抽到的 84 号是第 6 段的第 9 个， 故每段被抽到的号为 15k+9， kZ，k0，1，2，3，199 故选：B 【点评】本题主要考查系统抽样的定义
18、和方法，属于基础题 10 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A4 B2 C D 第 11 页（共 20 页） 【分析】由三视图可得，该几何体为四棱锥 DBCC1B1，利用几何体的体积公式即可计 算 【解答】解：由三视图可得，该几何体为四棱锥 DBCC1B1， 则该几何体的体积为 V 故选：D 【点评】本题考查三视图求几何体的体积，三视图复原的几何体的形状是解题的关键 11 （5 分）已知圆 C：x2+y26x+80，由直线 yx1 上一点向圆引切线，则切线长的最 小值为（ ） A1 B2 C D 【分析】由题意画出图形，求出圆心到直线的距离，再由勾股定理求解 【解答
19、】解：由圆 C：x2+y26x+80，得（x3）2+y21 圆 C 的圆心坐标为（3，0） ，半径为 1 如图， 圆心（3，0）到直线 xy10 的距离 d， 圆的半径为定值 1 由直线 yx1 上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 第 12 页（共 20 页） 故选：A 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化 思想方法，是中档题 12 （5 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，在九章算术中，将四个 面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑 ABCD 中，AB平面 BCD，且有 BD CD，ABBD1，CD2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则
20、该球的体积为（ ） A B C D24 【分析】根据题意，将该三棱锥补成长方体，即可求出球的半径 【解答】解：因为三棱锥 ABCD 是一个底面是直角三角形，并且侧棱垂直底面的图形， 它可以内嵌于长方体中，A、B、C、D 四个点所在的球与长方体所在的球是同一个， 只需利用长方体计算体对角线即可得球的直径， 经计算得， 故选：B 【点评】本题考查球的体积，长方体内接于球的问题，使用该补形法时应严格检验该三 棱锥四个点所在球是否与长方体一致，属基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知正六棱柱的高为 2，底面边
21、长为 1，则该正六棱柱表面积为 【分析】首先求出圆柱的侧面积和底面积，最后求出圆柱的表面积 【解答】解：正六棱柱的高为 2，底面边长为 1， 所以圆柱的底为由 6 个全等的等边三角形构成 则圆柱的侧面积为 S侧61212， 圆柱的底面积为 S底2 3， 第 13 页（共 20 页） 所以圆柱的表面积为：S表12+3， 故答案为：12+3 【点评】本题考查的知识要点：圆柱的侧面积和表面积公式的应用，主要考查学生的运 算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 14 （5 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cosC，3sinA 2sinB，则 c 4 【分析】由
22、3sinA2sinB 即正弦定理可得 3a2b，由 a2，即可求得 b，利用余弦定理 结合已知即可得解 【解答】解：3sinA2sinB， 由正弦定理可得：3a2b， a2， 可解得 b3， 又cosC， 由余弦定理可得：c2a2+b22abcosC4+9216， 解得：c4 故答案为：4 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题 15 （5 分）已知变量 x，y 具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下： （0，1） ， （1， 2） ， （2，4） ， （3，5） ，其回归方程为 1.4x+a，则 a 的值等于 0.9 【分析】求出横标和纵标的平均数，写
23、出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程， 得到关于 a 的方程，解方程即可 【解答】解： 1.5， 3， 这组数据的样本中心点是（1.5，3） 把样本中心点代入回归直线方程， 31.41.5+a， a0.9 故答案为：0.9 【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是 第 14 页（共 20 页） 求解线性回归方程的步骤之一 16 （5 分）已知圆 C： （x4）2+（y2）2r2截 y 轴所得的弦长为 2，过点（0，4）且 斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，若|AB|2，则 k 【分析】首先利用勾股定理的应用求出圆的半径，进一步利用直
24、线和圆的位置关系的应 用和点到直线的距离公式的应用求出结果 【解答】解：已知圆 C： （x4）2+（y2）2r2截 y 轴所得的弦长为 2， 所以圆心坐标为（4，2） ，半径为 r， 则，解得 由于过点（0，4）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点，若|AB|2， 则设直线的方程为 ykx+4， 利用点到直线的距离公式的应用， 解得： 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的 应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字
25、说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知三点 A（1，0） ，B（0，1） ，C（2，5） （1）若向量与的夹角为 ，求 cos； （2）当 m 为何值时，向量 m+与垂直 【分析】 （1）可以求出，从而根据向量夹角的余弦公式即可 求出与的夹角的余弦值； （2）可以求出，根据与垂直即可得出 ，进行数量积的坐标运算即可求出 m 【解答】解： （1），且与的夹角为 ， 第 15 页（共 20 页） ； （2）， ，且， 与垂直， ，解得 m 【点评】本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量夹角的余弦公式，向量加 法、数乘和数量积的坐标运算，向量垂
26、直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题 18 （12 分） 在ABC 中， 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 且 （1）求角 A； （2）若 a2，ABC 的周长为 6，求ABC 的面积 【分析】 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求 tanA，结合范围 A（0， ） ，可求 A 的值 （2） 由已知可求 b+c4， 由余弦定理可求 bc4， 进而根据三角形的面积公式即可求解 【解答】解： （1）， 由正弦定理可得 3sinAcosB+sinBsinA3sinC， sinCsin（A+B）sinAcosB+sinBcosA， sinBsinA3cosAsinB，
27、 sinB0， sinA3cosA，可得 tanA， A（0，） ， A （2）A，a2，ABC 的周长为 6， b+c4， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得 4b2+c2bc（b+c）23bc163bc，解得 bc4， SABCbcsinA 第 16 页（共 20 页） 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面 积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 19 （12 分）如图所示，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是菱形，ADC60，AC 与 BD 交于点 O，EC底面 ABCD，F 为 BE 的中点，ABCE2
28、 （1）求证：DE平面 ACF； （2）求异面直线 EO 与 AB 所成角的余弦值； 【分析】 （1）连结 OF，推导出 OFDE，由此能证明 DE平面 ACF （2）以 O 为原点，OD 为 x 轴，OA 为 y 轴，过 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空 间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 EO 与 AB 所成角的余弦值 【解答】解： （1）证明：连结 OF， 在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 是菱形，ADC60，AC 与 BD 交于点 O， O 是 BD 中点，F 为 BE 的中点，OFDE， DE平面 ACF，OF平面 ACF， DE平面 ACF （2）解：以
29、O 为原点，OD 为 x 轴，OA 为 y 轴，过 O 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建 立空间直角坐标系， 则 E（0，1，2） ，O（0，0，0） ，A（0，1，0） ，B（，0，0） ， （0，1，2） ，（，1，0） ， 设异面直线 EO 与 AB 所成角为 ， 则 cos 异面直线 EO 与 AB 所成角的余弦值为 第 17 页（共 20 页） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 20 （12 分）华为手机作为华为公司三大核心业务之一，2018 年的销售量跃居全球第二名某 机构
30、随机选取了 100 名华为手机的顾客进行调查，并将这 100 人的手机价格按照500， 1500） ，1500，2500） ，6500，7500）分成 7 组，制成如图（六）所示的频率分布直方图 （1）若 a 是 b 的 2 倍，求 a，b 的值； （2）求这 100 名顾客手机价格的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中间值 作代表，精确到个位） ； （3）利用分层抽样的方式从手机价格在1500，2500）和5500，6500）的顾客中选取 6 人，并从这 6 人中随机抽取 2 人进行回访，求抽取的 2 人手机价格在不同区间的概 率 【分析】 （1）由频率分布直方图列出方程组，能求出
31、a，b 的值 （2）由频率分布直方图能求出这 100 名顾客手机价格的平均数和中位数 （3）由已知得从手机价格为1500，2500）中抽取 4 人，设为 a，b，c，d，在手机价格 为5500，6500）中抽 2 人，设为 x，y，从这 6 人中任意取 2 人，利用列举法能求出抽取 的 2 人手机价格在不同区间的概率 【解答】解： （1）由已知得， 第 18 页（共 20 页） 解得 a0.00016，b0.00008 （2）平均数10000.06+20000.16+30000.12+40000.30+50000.26+6000 0.08+70000.023860 元 中位数 3500+100
32、04033 （3）由已知得从手机价格为1500，2500）中抽取 4 人，设为 a，b，c，d， 在手机价格为5500，6500）中抽 2 人，设为 x，y， 从这 6 人中任意取 2 人，共有 15 种抽法，分别为： xy，xa，xb，xc，xd，ya，yb，yc，yd，ab，ac，ad，bc，bd，cd， 其中抽取的 2 人的手机价格在不同区间的有 8 种， 抽取的 2 人手机价格在不同区间的概率：p 【点评】本题考查频率、平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、 古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 21 （12 分）如图，在MBC 中，MA 是 BC 边
33、上的高，MA3，AC4，将MBC 沿 MA 进行翻折， 使得BAC90如图， 再过点 B 作 BDAC， 连接 AD， CD， MD 且， CAD30 （1）求证：平面 MCD平面 MAD； （2）求点 B 到平面 MAD 的距离 【分析】 （1） 根据条件可判断出 CD平面 MAD， 又因为 CD平面 MCD， 所以平面 MCD 平面 MAD； （2）利用 VBMADVMBAD可求出距离 【解答】解： （1）因为 MA 是 BC 边上的高，所以 MAAB，MAAC， 又因为 AB平面 ABDC，AC平面 ABDC，ABACA， 所以 MA平面 ABDC，则 MACD，MAAD， 在 RtAD
34、M 中，MD， 第 19 页（共 20 页） 在 RtACM 中，MC5， 在ACD 中，由余弦定理可得 CD2， 则在CDM 中，CD2+DM2CM2，即有CDM 是直角三角形，所以 CDDM， 又因为 CDAM，AM平面 MAD，DM平面 MAD，AMDMM， 所以 CD平面 MAD，又因为 CD平面 MCD，所以平面 MCD平面 MAD； （2）在BAD 中，BAD60，AD2，则 AB，BD3，所以 ， 又因为 MAAD，所以3， 因为 MA平面 ABDC，即 MA平面 BAD，则 VBMADVMBAD， 即3，解得 d， 即点 B 到平面 MAD 的距离为 【点评】本题考查面面垂直判
35、定定理的应用，以及点到平面的距离，利用等积法进行运 算时关键，属于中档题 22 （12 分）已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：x2+y24x6y+120 相交于 M、N 两点 （1）求实数 k 的取值范围； （2）求证：为定值； （3）若 O 为坐标原点，问是否存在直线 l，使得，若存在，求直线 l 的方程， 若不存在，说明理由 【分析】 （1）把直线 l 的方程代入圆的方程消元，令判别式0 求出 k 的范围； （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，根据根与系数的关系计算的值即可得出结论； （3）令计算 k 的值，结合 k 的范围得出结论 【解答】解： （1
36、）直线 l 的方程为 ykx+1， 代入圆的方程可得：x2+（kx+1）24x6（kx+1）+120， 化简得： （1+k2）x24（k+1）x+70， 直线 l 与圆有两个交点， 第 20 页（共 20 页） 16（k+1）228（1+k2）0， 即 3k28k+30， 解得：k （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则（x1，y11） ，（x2，y21） ， x1x2+y1y2（y1+y2）+1， 由（1）可知 x1x2，x1+x2， y1y2（kx1+1） （kx2+1）k2x1x2+k（x1+x2）+1， y1+y2kx1+1+kx2+1k（x1+x2）+2， x1x2+y1y2（y1+y2）+1+7， 即为定值 （3）若8，则 x1x2+y1y28， 即+18， 0，即 k0 或 k1 由（1）可知 k0， 故不存在直线 l，使得8 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，平面向量的数量积运算，属于中档题
