1、上海市浦东新区上海市浦东新区 2020 年年中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题一、选择题 1 （4 分）在 RtABC 中，C90，如果 BC5，AB13，那么 sinA 的值为（ ） A B C D 2 （4 分）下列函数中，是二次函数的是（ ） Ay2x1 By Cyx2+1 Dy（x1）2x2 3 （4 分）抛物线 yx24x+5 的顶点坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1） 4 （4 分）如图，点 D、E 分别在ABC 的边 AB、AC 上，下列各比例式不一定能推得 DE BC 的是（ ） A B C D 5 （4 分）如图，传送带和地面
2、所成斜坡的坡度为 1：3，它把物体从地面点 A 处送到离地 面 3 米高的 B 处，则物体从 A 到 B 所经过的路程为（ ） A3米 B2米 C米 D9 米 6 （4 分）下列说法正确的是（ ） A +（ ）0 B如果 和 都是单位向量，那么 C如果| | |，那么 D如果 （ 为非零向量） ，那么 二、填空题二、填空题 7 （4 分）已知 x3y，那么 8 （4 分）已知线段 AB2cm，P 是线段 AB 的黄金分割点，PAPB，那么线段 PA 的长度 等于 cm 9 （4 分）如果两个相似三角形对应边之比是 2：3，那么它们的对应中线之比是 10 （4 分）如果二次函数 yx22x+k3
3、 的图象经过原点，那么 k 的值是 11 （4 分）将抛物线 y3x2向下平移 4 个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式 为 12 （4 分）如果抛物线经过点 A（1，0）和点 B（5，0） ，那么这条抛物线的对称轴是直 线 13 （4 分）二次函数 y2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是 （填“上升” 或“下降” ） 14 （4 分）如图，在ABC 中，AE 是 BC 边上的中线，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 GFAB 交 BC 于点 F，那么 15（4 分） 如图， 已知 ABCDEF， AD6， DF3， BC7， 那么线段 CE 的长度等于 16 （4 分）如图，将AB
4、C 沿射线 BC 方向平移得到DEF，边 DE 与 AC 相交于点 G，如 果 BC6cm， ABC 的面积等于 9cm2， GEC 的面积等于 4cm2， 那么 CF cm 17 （4 分）用“描点法”画二次函数 yax2+bx+c 的图象时，列出了如下的表格： x 0 1 2 3 4 yax2+bx+c 3 0 1 0 3 那么当 x5 时，该二次函数 y 的值为 18 （4 分）在 RtABC 中，C90，AC2，BC4，点 D、E 分别是边 BC、AB 的中 点，将BDE 绕着点 B 旋转，点 D、E 旋转后的对应点分别为点 D、E，当直线 DE经 过点 A 时，线段 CD的长为 三、
5、解答题三、解答题 19 （10 分）计算：+cot260 20 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，且 AE2ED，联结 BE 并延 长交边 CD 的延长线于点 F，设 ， （1）用 ， 表示，； （2）先化简，在求作： （+ ）+2（ ） （不要求写作法，但要写明结论） 21 （10 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD3，AC6，AE 4，AB8 （1）如果 BC7，求线段 DE 的长； （2）设DEC 的面积为 a，求BDC 的面积（用 a 的代数式表示） 22 （10 分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针 BC 的长度，
6、在地面上点 A 处测得避雷针底 部 B 和顶部 C 的仰角分别为 5558和 57，已知点 A 与楼底中间部位 D 的距离约为 80 米，求避雷针 BC 的长度（参考数据：sin55580.83，cos55580.56，tan5558 1.48，sin570.84，tan571.54） 23 （12 分）如图，已知ABC 和ADE，点 D 在 BC 边上，DADC，ADEB，边 DE 与 AC 相交于点 F （1）求证：ABADDFBC； （2）如果 AEBC，求证： 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的两个交点分 别为 A（1，0） ，
7、B（3，0） ，与 y 轴相交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）联结 AC、BC，求ACB 的正切值； （3）点 P 在抛物线上，且PABACB，求点 P 的坐标 25 （14 分）在 RtABC 中，A90，AB4，AC3，D 为 AB 边上一动点（点 D 与 点 A、B 不重合） ，联结 CD，过点 D 作 DEDC 交边 BC 于点 E （1）如图，当 EDEB 时，求 AD 的长； （2）设 ADx，BEy，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数定义域； （3）把BCD 沿直线 CD 翻折得CDB，联结 AB，当CAB是等腰三角形时，直接写 出 AD 的长 2020 年上海市
8、浦东新区中考数学一模试卷年上海市浦东新区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1 （4 分）在 RtABC 中，C90，如果 BC5，AB13，那么 sinA 的值为（ ） A B C D 【分析】本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解 【解答】解：如图： 在 RtABC 中，C90，BC5，AB13， sinA 故选：A 【点评】此题考查了三角函数的定义可借助图形分析，确保正确率 2 （4 分）下列函数中，是二次函数的是（ ） Ay2x1 By Cyx2+1 Dy（x1）2x2 【分析】根据二次函数的标准形式 yax2+bx+c（a0） ，从选
9、项中直接可以求解 【解答】解：二次函数的标准形式为 yax2+bx+c（a0） ， yx2+1 是二次函数， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键 3 （4 分）抛物线 yx24x+5 的顶点坐标是（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （2，1） 【分析】利用配方法化成顶点式求解即可 【解答】解：yx24x+5（x2）2+1， 顶点坐标为（2，1） ， 故选：B 【点评】本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方 法 4 （4 分）如图，点 D、E 分别在ABC 的边 AB、AC 上，下列各比例式不一定能推
10、得 DE BC 的是（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可 【解答】解：， DEBC， ， DEBC， ， DEBC， 故选：B 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题 的关键 5 （4 分）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 1：3，它把物体从地面点 A 处送到离地 面 3 米高的 B 处，则物体从 A 到 B 所经过的路程为（ ） A3米 B2米 C米 D9 米 【分析】由题意可得物体从 A 到 B 所经过的路程为 AB 的长，根据坡比求出 AC 的长，再 根据勾股定理求出 AB 的长即可 【解答】解：BC：AC1：3， 3
11、：AC1：3， AC9， AB3， 物体从 A 到 B 所经过的路程为 3， 故选：A 【点评】本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键 6 （4 分）下列说法正确的是（ ） A +（ ）0 B如果 和 都是单位向量，那么 C如果| | |，那么 D如果 （ 为非零向量） ，那么 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可 【解答】解：A、 +（ ）0，错误应该等于零向量 B、如果 和 都是单位向量，那么 ，错误，模相等，方向不一定相同 C、如果| | |，那么 ，错误，模相等，方向不一定相同 D、如果 （ 为非零向量） ，那么 ，正确， 故选：D 【点评】本题考查平面向量，平行向
12、量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型 二、填空题二、填空题 7 （4 分）已知 x3y，那么 【分析】直接利用已知代入原式求出答案 【解答】解：x3y， 故答案为： 【点评】此题主要考查了比例的性质，正确把 x 代入是解题关键 8 （4 分）已知线段 AB2cm，P 是线段 AB 的黄金分割点，PAPB，那么线段 PA 的长度 等于 1 cm 【分析】根据黄金分割的定义： 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 BP（PAPB） ，且使 AP 是 AB 和 BP 的比例中项，叫做 把线段 AB 黄金分割，点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点 【解答】解：根据黄金分割定义，得
13、 PA2ABPB， PA22（2PA） 解得 PA1 故答案为1 【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义 9 （4 分）如果两个相似三角形对应边之比是 2：3，那么它们的对应中线之比是 2：3 【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答 【解答】解：两个相似三角形对应边之比是 2：3， 它们的对应中线之比是 2：3， 故答案为：2：3 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对 应角平分线的比都等于相似比 10 （4 分）如果二次函数 yx22x+k3 的图象经过原点，那么 k 的值是 3 【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解
14、析式，列方程求 k 即可 【解答】解：二次函数 yx22x+k3 的图象经过原点， k30， 解得 k3， 故答案为：3 【点评】此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解 题的关键 11 （4 分）将抛物线 y3x2向下平移 4 个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为 y 3x24 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案 【解答】解：抛物线 y3x2向下平移 4 个单位， 抛物线的解析式为 y3x24， 故答案为：y3x24 【点评】 本题考查了二次函数的图象与几何变换， 向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a| 12 （4 分）如果抛物线经过点 A（1，
15、0）和点 B（5，0） ，那么这条抛物线的对称轴是直 线 x2 【分析】根据点 A，B 的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解 【解答】解：抛物线经过点 A（1，0）和点 B（5，0） ， 抛物线的对称轴为直线 x2 故答案为：x2 【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解 题的关键 13 （4 分）二次函数 y2（x+1）2的图象在对称轴左侧的部分是 上升 （填“上升” 或“下降” ） 【分析】由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分 y 随 x 值的 增大而增大 【解答】解：20， 二次函数的开口向下， 则图象在对称轴
16、左侧的部分 y 随 x 值的增大而增大， 故答案为上升 【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键 14 （4 分）如图，在ABC 中，AE 是 BC 边上的中线，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 GFAB 交 BC 于点 F，那么 【分析】由点 G 是ABC 的重心，可得 GE：AG1：2，则 GE：AE1：3，再 GF AB，得出结论 【解答】解：点 G 是ABC 的重心， GE：AG1：2， GE：AE1：3， GFAB， EGFEAB， ， 故答案为 【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶 点的距离与重心到对边中
17、点的距离之比为 2：1也考查了相似三角形的判定与性质 15 （4 分）如图，已知 ABCDEF，AD6，DF3，BC7，那么线段 CE 的长度等于 【分析】根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可 【解答】解：ABCDEF，AD6，DF3，BC7， ， 即， 解得：CE， 故答案为： 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是 解题的关键 16 （4 分）如图，将ABC 沿射线 BC 方向平移得到DEF，边 DE 与 AC 相交于点 G，如 果 BC6cm，ABC 的面积等于 9cm2，GEC 的面积等于 4cm2，那么 CF 2 cm 【分析】易证ABCG
18、EC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求 得 EC 的长，则 CF 即可求解 【解答】解：ABDE， ABCGEC， （）2， EC4cm， EFBC6cm， CFEFEC642cm 故答案是：2 【点评】本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得 EC 的长 是关键 17 （4 分）用“描点法”画二次函数 yax2+bx+c 的图象时，列出了如下的表格： x 0 1 2 3 4 yax2+bx+c 3 0 1 0 3 那么当 x5 时，该二次函数 y 的值为 8 【分析】从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1） ，抛物线过点（0，3） ，代入求出 抛物线的解析
19、式，再把 x5 代入函数解析式，即可求出答案 【解答】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为（2，1） ， 设 yax2+bx+ca（x2）2+1， 从表格可知过点（0，3） ，代入得：3a（02）2+1， 解得：a1， 即 y（x2）2+1， 当 x5 时，y（52）2+18， 故答案为：8 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，用待定系 数法求二次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键 18 （4 分）在 RtABC 中，C90，AC2，BC4，点 D、E 分别是边 BC、AB 的中 点，将BDE 绕着点 B 旋转，点 D、E 旋转后的对应点分别为
20、点 D、E，当直线 DE经 过点 A 时，线段 CD的长为 2或 【分析】分两种情况：点 A 在 ED的延长线上时；点 A 在线段 DE的延长线上时； 然后分类讨论，求出线段 BD 的长各是多少即可 【解答】解：如图 1，当点 A 在 ED的延长线上时， C90，AC2，BC4， AB2， 点 D、E 分别是边 BC、AB 的中点， DEAC，DEAC1，BDBC2， EDBACB90， 将BDE 绕着点 B 旋转， BDEBDE90，DEDE1，BDBD2， 在 RtABC 和 RtBAD中，DBAC2，ABBA， RtABCRtBAD（HL） ， ADBC，且 ACDB， 四边形 ACBD
21、是平行四边形，且ACB90， 四边形 ACBD是矩形， CDAB2； 如图 2，当点 A 在线段 DE的延长线上时， ADB90， AD4， AEADDE3， 将BDE 绕着点 B 旋转， ABCEBD， ， ABECBD， ， ， CD， 故答案为：2或 【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定 和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似 三角形解决问题，属于中考常考题型 三、解答题三、解答题 19 （10 分）计算：+cot260 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案 【解答】解：原式+（）2 + 【点
22、评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 20 （10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上，且 AE2ED，联结 BE 并延 长交边 CD 的延长线于点 F，设 ， （1）用 ， 表示，； （2）先化简，在求作： （+ ）+2（ ） （不要求写作法，但要写明结论） 【分析】 （1）利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可 （2）先化简，取 AB 的中点 H，连接 HC，即为所求 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， ，ABCD， AE2ED， ， + +b， DF：ABDE：AE1：2， DFAB， （2） （+ ）+
23、2（ ）+ +2 2 ， 取 AB 的中点 H，连接 HC，即为所求 【点评】本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型 21 （10 分）如图，在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD3，AC6，AE 4，AB8 （1）如果 BC7，求线段 DE 的长； （2）设DEC 的面积为 a，求BDC 的面积（用 a 的代数式表示） 【分析】 （1）通过证明ADEACB，可求解； （2）由线段的数量关系可求面积关系，即可求解 【解答】解： （1）， ，且DAEBAC， ADEACB， ， DE7； （2）AE4，AC6， EC2AC， SA
24、CD3SDEC3a， AD3，AB8， BD5AD， SBDCSADC5a 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明ADEACB 是本题的关键 22 （10 分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针 BC 的长度，在地面上点 A 处测得避雷针底 部 B 和顶部 C 的仰角分别为 5558和 57，已知点 A 与楼底中间部位 D 的距离约为 80 米，求避雷针 BC 的长度（参考数据：sin55580.83，cos55580.56，tan5558 1.48，sin570.84，tan571.54） 【分析】解直角三角形求出 CD，BD，根据 BCCDBD 求解即可 【解答】解：在 RtABD 中
25、，tanBAD， 1.48， AD80 米， BD118.4（米） ， 在 RtCAD 中，tanCAD， 1.54， CD123.2（米） ， BCCDBD4.8（米） 答：避雷针 BC 的长度为 4.8 米 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常 考题型 23 （12 分）如图，已知ABC 和ADE，点 D 在 BC 边上，DADC，ADEB，边 DE 与 AC 相交于点 F （1）求证：ABADDFBC； （2）如果 AEBC，求证： 【分析】 （1）由等腰三角形的性质得出DACC，由已知ADEB，证明ABC FDA，得出，即可得出结论； （2）由三
26、角形的外角性质得出CDFBAD，由平行线的性质得出ECDF，C EAF， 证出BADE， 证明ABDEDA， 得出， 证出EAFDAC， 即 AC 平分DAE，作 FMAD 于 M，FNAE 于 N，则 FMFM，求出 ，即可得出结论 【解答】 （1）证明：DADC， DACC， 又ADEB， ABCFDA， ， ABADDFBC； （2）证明：ADE+CDFB+BAD，ADEB， CDFBAD， AEBC， ECDF，CEAF， BADE， 又ADEB， ABDEDA， ， DADC， DACC， EAFDAC，即 AC 平分DAE， 作 FMAD 于 M，FNAE 于 N， 则 FMFM，
27、 ， 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质、 等腰三角形的性质、 三角形的外角性质、 平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的两个交点分 别为 A（1，0） ，B（3，0） ，与 y 轴相交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）联结 AC、BC，求ACB 的正切值； （3）点 P 在抛物线上，且PABACB，求点 P 的坐标 【分析】 （1）将点 A，B 坐标代入抛物线 yx2+bx+c 即可； （2）如图 1，过点 A 作 AHBC 于 H，分别证OBC 和AHB 是
28、等腰直角三角形，可 求出 CH，AH 的长，可在 RtAHC 中，直接求出ACB 的正切值； （3）此问需分类讨论，当PABACB 时，过点 P 作 PMx 轴于点 M，设 P（a， a2+2a+3） ，由同角的三角函数值相等可求出 a 的值，由对称性可求出第二种情况 【解答】解： （1）将点 A（1，0） ，B（3，0）代入抛物线 yx2+bx+c 中， 得， 解得，b2，c3， 抛物线的表达式为 yx2+2x+3； （2）在 yx2+2x+3 中，当 x0 时，y3， C（0，3） ， OCOB3， OBC 为等腰直角三角形，OBC45， BCOC3， 如图 1，过点 A 作 AHBC 于
29、 H， 则HABHBA45， AHB 是等腰直角三角形， AB4， AHBHAB2， CHBCBH， 在 RtAHC 中，tanACH2， 即ACB 的正切值为 2； （3）如图 2，当PABACB 时，过点 P 作 PMx 轴于点 M， 设 P（a，a2+2a+3） ，则 M（a，0） ， 由（1）知，tanACB2， tanPAM2， 2， 2， 解得，a11（舍去） ，a21， P1（1，4） ； 取点 P （1， 4） 关于 x 轴的对称点 Q （1， 4） ， 延长 AQ 交抛物线于 P2， 则此时P2AB PAMACB， 设直线 PQ 的解析式为 ykx+b，将 A（1，0） ，Q
30、（1，4）代入， 得， 解得，k2，b2， yAQ2x2， 联立， 解得，或， P2（5，12） ； 综上所述，点 P 的坐标为（1，4）或（5，12） 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是 第三问要注意分类讨论思想的运用 25 （14 分）在 RtABC 中，A90，AB4，AC3，D 为 AB 边上一动点（点 D 与 点 A、B 不重合） ，联结 CD，过点 D 作 DEDC 交边 BC 于点 E （1）如图，当 EDEB 时，求 AD 的长； （2）设 ADx，BEy，求 y 关于 x 的函数解析式并写出函数定义域； （3）把BCD 沿直线 CD
31、翻折得CDB，联结 AB，当CAB是等腰三角形时，直接写 出 AD 的长 【分析】 （1）证明ACDEDBB，推出 tanACDtanB，可得，由 此构建方程即可解决问题 （2）如图 1 中，作 EHBD 于 H证明ACDHDE，推出，由此构建关系 式即可解决问题 （3）分两种情形：如图 31 中，设 CB交 AB 于 K，作 AECK 于 E，DMCB 于 M，DNBC 于 N利用角平分线的性质定理求出 BD 即可如图 32 中，当 CB 交 BA 的延长线于 K 时，同法可得 BD 【解答】解： （1）EDEB， EDBB， CDDE， CDEA90， ACD+ADC90，ADC+EDH9
32、0， ACDEDBB， tanACDtanB， ， ， AD （2）如图 1 中，作 EHBD 于 H 在 RtACB 中，A90，AC3，AB4， BC5， BEy， EHy，BHy，DHABADBH4xy， ADHE90，ACDEDH， ACDHDE， ， ， y（0x4） （3）如图 31 中，设 CB交 AB 于 K，作 AECK 于 E，DMCB于 M，DNBC 于 N ACAB3，AECB， CEEBCB， AE， 由ACEKCA， 可得 AK，CK， BKABAK4， DCKDCB，DMCM，DNCB， DMDN， ， BDBK， ADABBD4（）+ 如图 32中， 当CB交 BA 的延长线于K 时， 同法可得 BDBK+， ADABBD 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质， 勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于 中考压轴题
