1、阶段训练四阶段训练四(范围:范围:1) 一、选择题 1.椭圆x 2 25 y2 91 与 x2 9k y2 25k1(00, 3mm1, 10)的左、右焦点为 F1,F2,离心率为 2 3,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点.若AF1B 的周长为 12,则 C 的标准方程为( ) A.x 2 3y 21 B.x 2 3 y2 21 C.x 2 9 y2 41 D.x 2 9 y2 51 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 答案 D 解析 由椭圆定义易知AF1B 的周长为 4a12, 解得 a3. ec a 2 3,c2, b2a2c25, 故椭圆 C 的标准
2、方程为x 2 9 y2 51. 6.已知椭圆 mx2ny21(m0,n0)与直线 xy10 交于 A,B 两点,若n m 2,则过原点 与线段 AB 的中点 M 连线的斜率为( ) A. 2 B.1 2 C. 2 2 D.2 考点 题点 答案 C 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 mx21ny211, mx22ny221, 得 m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0, y1y2 x1x21, n m 2, y1y2 x1x2 2 2 , 则过原点与线段 AB 的中点 M 连线的斜率为 2 2 . 7.已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别
3、是 F1,F2,焦距为 2c,若直线 y 3(xc)与 椭圆交于 M 点,且满足MF1F22MF2F1,则椭圆的离心率是( ) A. 2 2 B. 31 C. 31 2 D. 3 2 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 B 解析 由已知得MF1F260 . 又MF1F22MF2F1, 所以MF2F130 ,MF1MF2, 所以|MF1|c,|MF2| 3c, 所以|MF1|MF2|c 3c2a, 即 ec a 2 1 3 31. 8.已知 A, B 是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)长轴的两个端点, M, N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点, 直线 A
4、M, BN 的斜率分别为 k1, k2(k1k20), 若椭圆的离心率为 3 2 , 则|k1|k2|的最小值为( ) A.1 B. 2 C. 3 2 D. 3 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题 答案 A 解析 设 M(x,y),N(x,y)(a0)中,F1,F2 分别为其左、右焦点,M 为椭圆上一点且 MF2x 轴, 设 P 是椭圆上任意一点,若PF1F2面积的最大值是OMF2面积的 3 倍(O 为坐标原点),则 该椭圆的离心率 e_. 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 5 3 解析 由题意,可得 M c,b 2 a 或
5、M c,b 2 a . PF1F2面积的最大值是OMF2面积的 3 倍,此时 P 点位于上顶点或下顶点, 1 22cb3 1 2c b2 a , b2 3a,c a 2b2 5 3 a, ec a 5 3 . 11.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ,直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 10 5 ,则椭圆 C 的短轴长为_. 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程 答案 2 解析 由题意知 a2b2 a 3 2 , 可得 a24b2. 椭圆 C 的方程可简化为 x24y2a2. 将 yx 代入可得 x
6、5a 5 , 因此 22 5a 5 4 10 5 ,可得 a2. 因此 b1,椭圆的短轴长为 2. 三、解答题 12.在ABC 中,B(2 3,0),C(2 3,0),且ABC 的周长为 84 3. (1)求顶点 A 的轨迹 M 的方程; (2)过点 P(2,1)作曲线 M 的一条弦,使弦被这点平分,求此弦所在的直线方程. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 解 (1)由已知可得|AB|AC|8,|BC|4 3, |AB|AC|BC|, 点 A 的轨迹是以 C,B 为焦点,长轴长为 8 的椭圆(除去长轴的两个端点), 故轨迹 M 的方程为x 2 16 y2 41(y0). (
7、2)由题意知弦所在直线斜率存在,设弦的端点为 E(x1,y1),F(x2,y2),中点 P(2,1), 则 x1x24,y1y22. E,F 在曲线 M 上,x 2 1 16 y21 41, x22 16 y22 41, 两式相减,得(x21x22)4(y21y22)0, y1y2 x1x2 x1x2 4y1y2 1 2, kEF1 2, 所求直线方程为 x2y40. 13.如图所示,椭圆 C 的中心为原点 O,长轴在 x 轴上,上顶点为 A,左、右焦点分别为 F1, F2,线段 OF1,OF2的中点分别为 B1,B2,且AB1B2是面积为 4 的直角三角形. (1)求椭圆 C 的离心率和标准
8、方程; (2)过 B1作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使 PB2QB2,求直线 l 的方程. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 解 (1)由对称关系可知|AB1|AB2|, AB1B2是面积为 4 的直角三角形, |AB1|AB2|2 2, |OB1|OA|2, A(0,2),F2(4,0), 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0), 则 c a2b24,b2,a2 5. 椭圆的标准方程为x 2 20 y2 41, 离心率 ec a 2 5 5 . (2)由(1)知,B1(2,0),B2(2,0), 设直线 PQ 的方程为 xmy2, 代入椭圆方程,消元可得
9、(m25)y24my160, 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), y1y2 4m m25,y1y2 16 m25, x1x2(my12)(my22) m2y1y22m(y1y2)420m 220 m25 , x1x2my1my24m(y1y2)4 20 m25. B2P (x12,y1),B2Q (x22,y2), B2P B2Q (x12)(x22)y1y2 x1x22(x1x2)4y1y216m 264 m25 . PB2QB2, B2P B2Q 0,即16m 264 m25 0, 得 m 2, 直线 PQ 的方程为 x2y20 或 x2y20. 14.已知椭圆 C:x 2 a2 y
10、2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆:x2y2b2相切于点 Q,若 Q 是线段 PF2的中点,e 为 C 的离心率,则a 2e2 3b 的最小值 是_. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题 答案 5 3 解析 如图,连接 PF1,OQ, 由 OQ 为PF1F2的中位线, 可得 OQPF1,|OQ|1 2|PF1|. 由圆 x2y2b2, 可得|OQ|b,则|PF1|2b. 由椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a, 即|PF2|2a2b. 又 OQPF2,所以 PF1PF2, 即(2b)2(2a2b)2(2
11、c)2, 即 b2a22abb2c2a2b2, 化简得 2a3b,即 b2 3a. c a2b2 5 3 a,则 ec a 5 3 . a 2e2 3b a25 9 2a 1 2 a 5 9a 1 22 a 5 9a 5 3 , 当且仅当 a 5 9a,即 a 5 3 时等号成立, a 2e2 3b 的最小值为 5 3 . 15.如图所示,已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F(1,0),过点 F 作 x 轴的垂线交 椭圆于 A,B 两点,且|AB|3. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若 M,N 为椭圆上异于点 A,B 的两点,且直线 AM,AN 的倾斜角互补
12、,问直线 MN 的斜 率是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题 解 (1)由题意可知椭圆的半焦距 c1,将 xc 代入椭圆方程可得 y b2 a ,所以2b 2 a 3, 又 a2b21,两式联立解得 a24,b23, 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 31. (2)易知 A 1,3 2 . 因为直线 AM,AN 的倾斜角互补, 所以直线 AM 的斜率与 AN 的斜率互为相反数. 可设直线 AM 的方程为 yk(x1)3 2, 代入x 2 4 y2 31, 消去 y 得(34k2)x24k(32k)x4k212k30. 设 M(xM,yM),N(xN,yN), 所以1 xM4k 212k3 34k2 , 可得 xM4k 212k3 34k2 ,yMkxMk3 2, 又直线 AM 的斜率与 AN 的斜率互为相反数, 所以在上式中以k 代替 k, 可得 xN4k 212k3 34k2 ,yNkxNk3 2, 所以直线 MN 的斜率 kMNyMyN xMxN kxMxN2k xMxN 1 2, 即直线 MN 的斜率为定值,该定值为1 2.