1、阶段训练四阶段训练四(范围：范围：1) 一、选择题 1.椭圆x 2 25 y2 91 与 x2 9k y2 25k1(00， 3mm1， 10)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 2 3，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点.若AF1B 的周长为 12，则 C 的标准方程为( ) A.x 2 3y 21 B.x 2 3 y2 21 C.x 2 9 y2 41 D.x 2 9 y2 51 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 答案 D 解析 由椭圆定义易知AF1B 的周长为 4a12， 解得 a3. ec a 2 3，c2， b2a2c25， 故椭圆 C 的标准
2、方程为x 2 9 y2 51. 6.已知椭圆 mx2ny21(m0，n0)与直线 xy10 交于 A，B 两点，若n m 2，则过原点 与线段 AB 的中点 M 连线的斜率为( ) A. 2 B.1 2 C. 2 2 D.2 考点 题点 答案 C 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 mx21ny211， mx22ny221， 得 m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0， y1y2 x1x21， n m 2， y1y2 x1x2 2 2 ， 则过原点与线段 AB 的中点 M 连线的斜率为 2 2 . 7.已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别
3、是 F1，F2，焦距为 2c，若直线 y 3(xc)与 椭圆交于 M 点，且满足MF1F22MF2F1，则椭圆的离心率是( ) A. 2 2 B. 31 C. 31 2 D. 3 2 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 B 解析 由已知得MF1F260 . 又MF1F22MF2F1， 所以MF2F130 ，MF1MF2， 所以|MF1|c，|MF2| 3c， 所以|MF1|MF2|c 3c2a， 即 ec a 2 1 3 31. 8.已知 A， B 是椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)长轴的两个端点， M， N 是椭圆上关于 x 轴对称的两点， 直线 A
4、M， BN 的斜率分别为 k1， k2(k1k20)， 若椭圆的离心率为 3 2 ， 则|k1|k2|的最小值为( ) A.1 B. 2 C. 3 2 D. 3 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题 答案 A 解析 设 M(x，y)，N(x，y)(a0)中，F1，F2 分别为其左、右焦点，M 为椭圆上一点且 MF2x 轴， 设 P 是椭圆上任意一点，若PF1F2面积的最大值是OMF2面积的 3 倍(O 为坐标原点)，则 该椭圆的离心率 e_. 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 5 3 解析 由题意，可得 M c，b 2 a 或
5、M c，b 2 a . PF1F2面积的最大值是OMF2面积的 3 倍，此时 P 点位于上顶点或下顶点， 1 22cb3 1 2c b2 a ， b2 3a，c a 2b2 5 3 a， ec a 5 3 . 11.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 3 2 ，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 10 5 ，则椭圆 C 的短轴长为_. 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程 答案 2 解析 由题意知 a2b2 a 3 2 ， 可得 a24b2. 椭圆 C 的方程可简化为 x24y2a2. 将 yx 代入可得 x
6、5a 5 ， 因此 22 5a 5 4 10 5 ，可得 a2. 因此 b1，椭圆的短轴长为 2. 三、解答题 12.在ABC 中，B(2 3，0)，C(2 3，0)，且ABC 的周长为 84 3. (1)求顶点 A 的轨迹 M 的方程； (2)过点 P(2，1)作曲线 M 的一条弦，使弦被这点平分，求此弦所在的直线方程. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 解 (1)由已知可得|AB|AC|8，|BC|4 3， |AB|AC|BC|， 点 A 的轨迹是以 C，B 为焦点，长轴长为 8 的椭圆(除去长轴的两个端点)， 故轨迹 M 的方程为x 2 16 y2 41(y0). (
7、2)由题意知弦所在直线斜率存在，设弦的端点为 E(x1，y1)，F(x2，y2)，中点 P(2，1)， 则 x1x24，y1y22. E，F 在曲线 M 上，x 2 1 16 y21 41， x22 16 y22 41， 两式相减，得(x21x22)4(y21y22)0， y1y2 x1x2 x1x2 4y1y2 1 2， kEF1 2， 所求直线方程为 x2y40. 13.如图所示，椭圆 C 的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，上顶点为 A，左、右焦点分别为 F1， F2，线段 OF1，OF2的中点分别为 B1，B2，且AB1B2是面积为 4 的直角三角形. (1)求椭圆 C 的离心率和标准
8、方程； (2)过 B1作直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使 PB2QB2，求直线 l 的方程. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 解 (1)由对称关系可知|AB1|AB2|， AB1B2是面积为 4 的直角三角形， |AB1|AB2|2 2， |OB1|OA|2， A(0，2)，F2(4，0)， 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 则 c a2b24，b2，a2 5. 椭圆的标准方程为x 2 20 y2 41， 离心率 ec a 2 5 5 . (2)由(1)知，B1(2，0)，B2(2，0)， 设直线 PQ 的方程为 xmy2， 代入椭圆方程，消元可得
9、(m25)y24my160， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， y1y2 4m m25，y1y2 16 m25， x1x2(my12)(my22) m2y1y22m(y1y2)420m 220 m25 ， x1x2my1my24m(y1y2)4 20 m25. B2P (x12，y1)，B2Q (x22，y2)， B2P B2Q (x12)(x22)y1y2 x1x22(x1x2)4y1y216m 264 m25 . PB2QB2， B2P B2Q 0，即16m 264 m25 0， 得 m 2， 直线 PQ 的方程为 x2y20 或 x2y20. 14.已知椭圆 C：x 2 a2 y
10、2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF2 与圆：x2y2b2相切于点 Q，若 Q 是线段 PF2的中点，e 为 C 的离心率，则a 2e2 3b 的最小值 是_. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题 答案 5 3 解析 如图，连接 PF1，OQ， 由 OQ 为PF1F2的中位线， 可得 OQPF1，|OQ|1 2|PF1|. 由圆 x2y2b2， 可得|OQ|b，则|PF1|2b. 由椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a， 即|PF2|2a2b. 又 OQPF2，所以 PF1PF2， 即(2b)2(2a2b)2(2
11、c)2， 即 b2a22abb2c2a2b2， 化简得 2a3b，即 b2 3a. c a2b2 5 3 a，则 ec a 5 3 . a 2e2 3b a25 9 2a 1 2 a 5 9a 1 22 a 5 9a 5 3 ， 当且仅当 a 5 9a，即 a 5 3 时等号成立， a 2e2 3b 的最小值为 5 3 . 15.如图所示，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F(1，0)，过点 F 作 x 轴的垂线交 椭圆于 A，B 两点，且|AB|3. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若 M，N 为椭圆上异于点 A，B 的两点，且直线 AM，AN 的倾斜角互补
12、，问直线 MN 的斜 率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 椭圆中的定点、定值、取值范围问题 解 (1)由题意可知椭圆的半焦距 c1，将 xc 代入椭圆方程可得 y b2 a ，所以2b 2 a 3， 又 a2b21，两式联立解得 a24，b23， 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y2 31. (2)易知 A 1，3 2 . 因为直线 AM，AN 的倾斜角互补， 所以直线 AM 的斜率与 AN 的斜率互为相反数. 可设直线 AM 的方程为 yk(x1)3 2， 代入x 2 4 y2 31， 消去 y 得(34k2)x24k(32k)x4k212k30. 设 M(xM，yM)，N(xN，yN)， 所以1 xM4k 212k3 34k2 ， 可得 xM4k 212k3 34k2 ，yMkxMk3 2， 又直线 AM 的斜率与 AN 的斜率互为相反数， 所以在上式中以k 代替 k， 可得 xN4k 212k3 34k2 ，yNkxNk3 2， 所以直线 MN 的斜率 kMNyMyN xMxN kxMxN2k xMxN 1 2， 即直线 MN 的斜率为定值，该定值为1 2.