1、3.3 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量 的坐标运算.3.会判断两向量平行或垂直.4.掌握空间向量的模、 夹角公式和两点间的距离公式. 知识点一 空间向量的坐标运算 空间向量 a，b，其坐标形式为 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3). 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ab ab(a1b1，a2b2，a3b3) 减法 ab ab(a1b1，a2b2，a3b3) 数乘 a a(a1，a2，a3) 数量积 a b a ba1b1a2b2a3b3 知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角
2、 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 ab ab(R) a1b1，a2b2，a3b3(R) ab a b0 a ba1b1a2b2a3b30 模 |a| a a |a| a2 1a 2 2a 2 3 夹角 cosa，b a b |a|b|(a0，b0) cosa，b a1b1a2b2a3b3 a21a22a23 b21b22b23 1.在空间直角坐标系中，向量AB 的坐标与终点 B 的坐标相同.( ) 2.设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)且 b0，则 abx1 x2 y1 y2 z1 z2.( ) 3.四边形 A
3、BCD 是平行四边形，则向量AB 与DC 的坐标相同.( ) 4.设 A(0，1，1)，O 为坐标原点，则OA (0，1，1).( ) 题型一 空间向量坐标的计算 例 1 (1)已知 ab(2， 2，2 3)，ab(0， 2，0)，则 cosa，b等于( ) A.1 3 B. 1 6 C. 6 3 D. 6 6 (2)已知向量 a(4，2，4)，b(6，3，2)，则(2a3b) (a2b)_. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 (1)C (2)244 解析 (1)由已知得 a(1， 2， 3)，b(1，0， 3)， 故 cosa，b a b |a|b| 103 6
4、4 6 3 . (2)(2a3b) (a2b)2a23a b4a b6b226222672244. 反思感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标. 跟踪训练 1 若向量 a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，且满足条件(ca) 2b2， 则 x_. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 2 解析 据题意，有 ca(0，0，1x)，2b(2，4，2)， 故(ca) 2b2(1x
5、)2，解得 x2. 题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示 例 2 已知空间三点 A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设 aAB ，bAC. (1)若|c|3，cBC .求 c； (2)若 kab 与 ka2b 互相垂直，求 k. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 解 (1)因为BC (2，1，2)，且 cBC， 所以设 cBC (2，2)， 得|c| 222223|3， 解得 1.即 c(2，1，2)或 c(2，1，2). (2)因为 aAB (1，1，0)，bAC(1，0，2)， 所以 kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4). 又因为(kab
6、)(ka2b)，所以(kab) (ka2b)0. 即(k1，k，2) (k2，k，4)2k2k100. 解得 k2 或 k5 2. 引申探究 若将本例(2)改为“若 kab 与 ka2b 互相垂直”，求 k 的值. 解 由题意知 kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)， (kab)(ka2b)， (kab) (ka2b)0， 即(k1)(k2)k280，解得 k2 或 k5 2， 故所求 k 的值为2 或5 2. 反思感悟 1.平行与垂直的判断 (1)应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线. (2)判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断
7、两向量的数量积是 否为 0. 2.平行与垂直的应用 (1)适当引入参数(比如向量 a，b 平行，可设 ab)，建立关于参数的方程. (2)选择坐标形式，以达到简化运算的目的. 跟踪训练 2 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 D1D 的中点，P，Q 分别为线段 B1D1， BD 上的点，且 3B1P PD1 ，若 PQAE，BD DQ ，求 的值. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 解 如图所示，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系 Dxyz，设正方体棱长为 1，则 A(1，0，0)，E 0，0，1
8、 2 ，B(1，1，0)，B1(1，1， 1)，D1(0，0，1)， 由题意，可设点 P 的坐标为(a，a，1)， 因为 3B1P PD1 ， 所以 3(a1，a1，0)(a，a，0)， 所以 3a3a，解得 a3 4， 所以点 P 的坐标为 3 4， 3 4，1 . 由题意可设点 Q 的坐标为(b，b，0)， 因为 PQAE，所以PQ AE 0， 所以 b3 4，b 3 4，1 1，0，1 2 0， 即 b3 4 1 20， 解得 b1 4，所以点 Q 的坐标为 1 4， 1 4，0 . 因为BD DQ ，所以(1，1，0) 1 4， 1 4，0 ， 所以 41，故 4. 题型三 空间向量的
9、夹角与长度的计算 例 3 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G 分别是 DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：EFCF； (2)求异面直线 EF 与 CG 所成角的余弦值； (3)求 CE 的长. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量在立体几何中的应用 (1)证明 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 Dxyz， 则 D(0，0，0)，E 0，0，1 2 ，C(0，1，0)，F 1 2， 1 2，0 ，G 1，1，1 2 . 所以EF 1 2， 1 2， 1 2 ，CF 1 2， 1
10、2，0 ，CG 1，0，1 2 ，CE 0，1，1 2 . 因为EF CF1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 00，所以EF CF，即 EFCF. (2)解 因为EF CG 1 21 1 20 1 2 1 2 1 4， |EF | 1 2 2 1 2 2 1 2 2 3 2 ， |CG |1202 1 2 2 5 2 ， 所以 cosEF ，CG EF CG |EF |CG | 1 4 3 2 5 2 15 15 . 又因为异面直线所成角的范围是(0 ，90 ， 所以异面直线 EF 与 CG 所成角的余弦值为 15 15 . (3)解 |CE|CE | 0212 1 2 2 5 2 . 反
11、思感悟 通过分析几何体的结构特征， 建立适当的坐标系， 使尽可能多的点落在坐标轴上， 以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标，把 向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题. 跟踪训练 3 如图， 在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中， CACB1， BCA 90 ，棱 AA12，N 为 A1A 的中点. (1)求 BN 的长； (2)求 A1B 与 B1C 所成角的余弦值. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量在立体几何中的应用 解 如图，以 C 为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴
12、，建立空间直 角坐标系 Cxyz. (1)依题意得 B(0，1，0)，N(1，0，1)， |BN | 102012102 3， 线段 BN 的长为 3. (2)依题意得 A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)， A1B (1，1，2)，B1C (0，1，2)， A1B B1C (1)01(1)(2)(2)3. 又|A1B | 6，|B1C | 5， cosA1B ，B1C A1B B1C |A1B |B1C | 30 10 . 又异面直线所成角为锐角或直角， 故 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为 30 10 . 1.已知 M(5，1，2)，A(4，2，1)，O 为坐标原点
13、，若OM AB ，则点 B 的坐标应为( ) A.(1，3，3) B.(9，1，1) C.(1，3，3) D.(9，1，1) 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 B 解析 OM AB OB OA ，OB OM OA (9，1，1). 2.若ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1，2，1)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的 形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 A 解析 AB (3，4，2)，AC(5，1，3)，BC(2，3，1). 由AB AC0， 得
14、A 为锐角； 由CA CB0， 得 C 为锐角； 由BA BC0， 得 B 为锐角.所以ABC 为锐角三角形. 3.已知 a(2，3，1)，则下列向量中与 a 平行的是( ) A.(1，1，1) B.(4，6，2) C.(2，3，5) D.(2，3，5) 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 B 解析 若 b(4，6，2)，则 b2(2，3，1)2a，所以 ab. 4.已知向量 a(1，1，0)，b(1，0，2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 的值是( ) A.1 B.1 5 C. 3 5 D. 7 5 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算
15、 答案 D 解析 依题意得(kab) (2ab)0， 所以 2k|a|2ka b2a b|b|20， 而|a|22，|b|25，a b1， 所以 4kk250，解得 k7 5. 5.已知 A(2，5，1)，B(2，2，4)，C(1，4，1)，则向量AB 与AC的夹角为_. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 3 解析 AB (0，3，3)，AC(1，1，0)， |AB |3 2，|AC| 2， AB AC0(1)31303， cosAB ，ACAB AC |AB |AC| 1 2， 又AB ，AC0， AB ，AC 3. a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)
