1、6 距离的计算,第二章 空间向量与立体几何,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解点到直线的距离、点到平面的距离的概念. 2.掌握点到直线的距离、点到平面的距离的计算. 3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 点到直线的距离 1.点到直线的距离 因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题. 如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点.,作AAl，垂足为A，则点A到直线l的距离d等于线段AA的长度，而向量 在s
2、上的投影的大小_等于线段PA的长度，所以根据勾股定理有点 A到直线l的距离d_.,2.点到直线的距离的算法框图 空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图.,作AA，垂足为A，则点A到平面的距离d等于线段AA的长度. 而向量 在n上的投影的大小_等于线段AA的 ，所以点A到平面的距离d_.,知识点二 点到平面的距离 1.求点到平面的距离 如图，设是过点P垂直于向量n的平面，A是平面外一定点.,长度,2.点到平面的距离的算法框图 空间一点A到平面的距离的算法框图，如图所示.,知识点三 直线到与它平行的平面的距离 如果一条直线平行于平面，那么直线上的各点向平面所作的垂线段均相等，即直线上各点到平面的
3、距离均 . 一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离，叫作直线与平面的距离. 知识点四 两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫作两个平面的 .公垂线夹在两个平行平面之间的部分，叫作两个平面的 . 两个平行平面的公垂线段的长度，叫作两个平行平面的 .,相等,公垂线段,公垂线,距离,1.点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距离.( ) 2.直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离.( ) 3.两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离.( ) 4.平面外一点P到平面的距离在平面内任一点与点P的距离中最短.( ),思考辨析 判断正误,SIKAO
4、BIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 求两点间的距离,例1 如图所示，已知在矩形ABCD中，AB4，AD3，沿对角线AC折叠，使平面ABC与平面ADC垂直，求线段BD的长.,解 过点D和B分别作DEAC于E，BFAC于F. 则由已知条件可知AC5，,因为平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，DE平面ADC，DEAC，所以DE平面ABC，,反思感悟 1.若题目适合建立空间直角坐标系，常建系运用空间两点距离公式求解. 2.若不具备建系条件时，常用基向量表示并结合|a|2a2求解.,(2)已知线段AB，BD在平面内，ABD120，线段AC，如果A
5、Ba，BDb，ACc，则线段CD的长为,题型二 求点到直线的距离,例2 在棱长为2的正方体A1B1C1D1ABCD中，E，F分别是棱C1C和D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.,解 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2).,引申探究 本例条件不变，求点B到直线EF的距离.,(2)如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1的距离的最小值为_.,解析 D(0，0，0)，C1(0，a，a)，A(a，0，0)，
6、D1(0，0，a)，,题型三 求点到平面的距离,例3 已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG2，求点B到平面EFG的距离.,解 以C为坐标原点，CB，CG所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 由题意可知G(0，0，2)，E(4，2，0)，F(2，4，0)，B(4，0，0)，,设平面EFG的一个法向量为n(x，y，z).,令y1，则n(1，1，3)，,反思感悟 利用向量求点到平面的距离的一般步骤 (1)求出该平面的一个法向量； (2)求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量
7、与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.,跟踪训练3 已知点A(1，1，1)，平面经过原点O，且垂直于向量n(1，1，1)，求点A到平面的距离.,核心素养之数学运算,HEXINSUYANGSHUXUEYUNSUAN,向量法求解线面距离,典例 已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC和AC的中点.PA2，且PA平面ABC，设Q是CE的中点. (1)求证：AE平面PFQ；,证明 如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系. AP2，ABBCAC4， 又E，F分别是BC，AC的中点
8、，,又FQ平面PFQ，AE平面PFQ， AE平面PFQ.,(2)求AE与平面PFQ间的距离.,解 由(1)知，AE平面PFQ， 点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离. 设平面PFQ的法向量为n(x，y，z)，,素养评析 本题(1)通过向量运算证明线面平行，(2)中利用线面距转化为点面距仍选择向量运算来解.合理选择运算方法，设计运算程序，有利于提升学生的数学运算素养.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n(1，0，1)，则两平面间的距离是,1,2,3,4,5,2.在棱长为a的正方体A
9、BCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是,1,2,3,4,5,解析 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，,设n(x，y，z)为平面MBD的一个法向量，,1,2,3,4,5,令y1，得n(1，1，2).,1,2,3,4,5,3.设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(5，4，8)，则点D到平面ABC的距离为_.,1,2,3,4,5,解析 设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z).,令z2，则n(3，2，2). 又(7，7，7)，,1,2,3,4,5,4.在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2，1).已知点P(1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d_.,2,1,2,3,4,5,5.如图，已知矩形ABCD与ABEF全等，平面DAB与平面ABE的夹角为直角，M为AB中点，FM与BD所成角为，且 则AB与BC的边长之比为_.,1,2,3,4,5,解析 设ABa，BCb，以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，,1,2,3,4,5,课堂小结,KETANGXIAOJIE,
