1、专题突破四 焦点弦的性质,第三章 圆锥曲线与方程,抛物线的焦点弦是考试的热点，有关抛物线的焦点弦性质较为丰富，对抛物线焦点弦性质进行研究获得一些重要结论，往往能给解题带来新思路，有利于解题过程的优化.,一、焦点弦性质的推导 例1 抛物线y22px(p0)，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，A，B在准线上的射影为A1，B1.,证明 当ABx轴时，,当AB的斜率存在时，设为k(k0)，,代入抛物线方程y22px，,证明 当90时，过A作AGx轴，交x轴于G， 由抛物线定义知|AF|AA1|， 在RtAFG中，|FG|A
2、F|cos ， 由图知|GG1|AA1|，,当90时，可知|AF|BF|p，,当且仅当90时取等号. 故通径是最短的焦点弦.,(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；,证明 如图：M的直径为AB，过圆心M作MM1垂直于准线于M1，,故以AB为直径的圆与准线相切.,(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线.,代入y22px得y22pmyp20. 由(1)可得y1y2p2.,直线AB1过点O. A，O，B1三点共线， 同理得B，O，A1三点共线.,二、焦点弦性质的应用 例2 (1)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为,
3、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,方法二 运用焦点弦倾斜角相关的面积公式，,(2)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10,解析 方法一 抛物线C：y24x的焦点为F(1，0)， 由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l1的斜率为k，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,同理得|DE|44k2，,故|AB|DE|的最小值为16.,方法二 运用焦点弦的倾斜角公式，注意到两条弦互相垂直，,点评 上述两道题目均是研究抛物线的焦
4、点弦问题，涉及抛物线焦点弦长度与三角形面积，从高考客观题快速解答的要求来看，常规解法显然小题大做了，而利用焦点弦性质，可以快速解决此类小题.,达标检测,DABIAOJIANCE,1.过抛物线y2x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为,1,2,3,4,5,2.直线l过抛物线y24x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为 A.yx1 B.yx1 C.yx1或yx1 D.以上均不对,1,2,3,4,5,又直线过抛物线焦点， 直线l的方程为yx1或yx1.故选C.,解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8. 又AB
5、的中点到y轴的距离为2，,3.直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是 A.y212x B.y28x C.y26x D.y24x,1,2,3,4,5,p4，所求抛物线的方程为y28x.故选B.,1,2,3,4,5,解析 抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x1. 由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2p， 即x1x227，得x1x25，,4.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_.,解析 设抛物线方程为y22px(p0)，如图. |AF|AA1|，|BF|BB1|， AA1FAFA1，BFB1FB1B. 又AA1OxB1B， A1FOFA1A，B1FOFB1B，,5.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1为_.,1,2,3,4,5,90,
