1、2018-2019 学年江西省赣州市宁都县八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）某多边形的内角和是其外角和的 4 倍，则此多边形的边数是（ ） A10 B9 C8 D7 2 （3 分）如图，点 D、E 分别在 AC、AB 上，已知 ABAC，添加下列条件，不能说明 ABDACE 的是（ ） ABC BADAE CBDCCEB DBDCE 3 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，CAB 的平分线交 BC 于 D，DE 是 AB 的垂 直平分线，垂足为
2、E若 BC3，则 DE 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 4 （3 分）若式子的值等于 0，则 x 的值为（ ） A2 B2 C2 D4 5 （3 分）下列各式运算正确的是（ ） A3y35y415y12 B （ab5）2ab10 C （a3）2（a2）3 D （x）4 （x）6x10 6 （3 分）已知关于 x 的分式方程2+的解是负数，则 m 的取值范围是（ ） Am3 Bm3 Cm3 且 m2 Dm3 且 m2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分 ）分 ） 7 （3 分）我国医学界最新发现的一种病
3、毒其直径仅为 0.000512mm，这个数字用科学记数 法可表示为 mm 8 （3 分）一个三角形的两边长分别是 3 和 8，周长是偶数，那么第三边边长是 第 2 页（共 23 页） 9 （3 分）如图，在ABC 中，B50，C70，AD 是高，AE 是角平分线，则 EAD 度 10 （3 分）若 a+b5，ab3，则 2a2+2b2 11 （3 分）分解因式：m3n4mn 12 （3 分）如图，已知ABC 为等边三角形，高 AH5cm，P 为 AH 上一动点，D 为 AB 的中点，则 PD+PB 的最小值为
4、cm 三、 （本大题共三、 （本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 30 分） 分） 13 （6 分）已知：如图，点 B，E，C，F 在同一直线上，ABDE，且 ABDE，BECF 求证：ABCDEF 14 （6 分）先化简（a+2），再从2，2，4，0 中选择一个合适的数代入求 值 15 （6 分）解方程：+3 16 （6 分）已知 a、b、c 是ABC 的三边的长，且满足 a2+2b2+c22b（a+c）0，试判断 此三角形的形状 17 （6 分）已知：如图，ABC 和DBE 均为等腰直角三角形 （1）求证：ADCE； （2）猜想：AD 和 CE 是否垂直？
5、若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论， 第 3 页（共 23 页） 不用写理由 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分） 分） 18 （8 分）在直角坐标系中，已知点 A（a+b，2a）与点 B（a5，b2a）关于 y 轴对 称 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）如果点 B 关于 x 轴的对称点是 C，在图中标出点 A、B、C，并求ABC 的面积 19 （8 分）如图，ABC 中，ACB90，ACBC，直线 l 过点 C，BDl，AEl，垂 足分别为 D、E （1）当直线 l 不与底边 AB 相交时，求证：EDAE+BD； （2）
6、如图 2，将直线 l 绕点 C 顺时针旋转，使 l 与底边 AB 相交时，请你探究 ED、AE、 BD 三者之间的数量关系 第 4 页（共 23 页） 20 （8 分）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚 T 恤衫，甲种款型共用了 7800 元，乙种 款型共用了 6400 元，甲种款型的件数是乙种款型件数的 1.5 倍，甲种款型每件的进价比 乙种款型每件的进价少 30 元 （1）甲、乙两种款型的 T 恤衫各购进多少件？ （2） 商店进价提高 60%标价销售， 销售一段时间后， 甲款型全部售完， 乙款型剩余一半， 商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批 T 恤衫商店共获 利
7、多少元？ 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分 ）分 ） 21 （9 分）仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式 x2+5x+m 有一个因式是 x+2，求另一个因式以及 m 的值 解：设另一个因式 x+n，得 x2+5x+m（x+2） （x+n） ， 则 x2+5x+mx2+（n+2）x+2n， n+25，m2n， 解得 n3，m6， 另一个因式为 x+3，m 的值为 6 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式 x27x+12 可分解为（x3） （x+a） ，则 a （2）若二次三项式 2x2+bx6 可分解为（2x
8、+3） （x2） ，则 b （3）已知二次三项式 2x2+9xk 有一个因式是 2x1，求另一个因式以及 k 的值 22 （9 分）在ABC 中，A40 （1）如图 1，若两内角ABC、ACB 的角平分线交于点 P，则P ，A 与 P 之间的数量关系是 为什么有这样的关系？请证明它； （2）如图 2，若内角ABC、外角ACE 的角平分线交于点 P，则P ，A 与P 之间的数量关系是 ； （3）如图 3，若两外角EBC、FCB 的角平分线交于点 P，则P ，A 与 P 之间的数量关系是 第 5 页（
9、共 23 页） 六、 （本大题六、 （本大题 1 小题，满分小题，满分 12 分 ）分 ） 23 （12 分）已知，ABC 是边长 3cm 的等边三角形动点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发， 沿线段 AB 向点 B 运动 （1）如图 1，设点 P 的运动时间为 t（s） ，那么 t （s）时，PBC 是直角三角 形； （2）如图 2，若另一动点 Q 从点 B 出发，沿线段 BC 向点 C 运动，如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发设运动时间为 t（s） ，那么 t 为何值时，PBQ 是直角三角形？ （3）如图 3，若另一动点 Q 从点 C 出发，沿射线 B
10、C 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D如 果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发设运动时间为 t（s） ，那么 t 为何值时，DCQ 是等腰三角形？ （4）如图 4，若另一动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D， 连接 PC如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发请你猜想：在点 P、Q 的运动过 程中，PCD 和QCD 的面积有什么关系？并说明理由 第 6 页（共 23 页） 2018-2019 学年江西省赣州市宁都县八年级（上）期末数学试卷学年江西省赣州市宁都县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择
11、题（本大题共一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）某多边形的内角和是其外角和的 4 倍，则此多边形的边数是（ ） A10 B9 C8 D7 【分析】任何多边形的外角和是 360，即这个多边形的内角和是 4360n 边形的内 角和是（n2） 180，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方 程就可以求出多边形的边数 【解答】解：设多边形的边数为 n，根据题意，得 （n2） 1804360， 解得 n10 则这个多边形的边数是 10 故选：A 【点评】本题考查了多边形的
12、内角与外角，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟 悉多边形的外角和为 360 2 （3 分）如图，点 D、E 分别在 AC、AB 上，已知 ABAC，添加下列条件，不能说明 ABDACE 的是（ ） ABC BADAE CBDCCEB DBDCE 【分析】要使ABDACE，则需对应边相等，夹角相等，可用两边夹一角，也可用 两角夹一边判定全等 【解答】解：已知条件中 ABAC，A 为公共角， A 中BC，满足两角夹一边，可判定其全等，A 正确； B 中 ADAE 两边夹一角，也能判定全等，B 也正确； C 中BDCCEB，即ADBAEC，又A 为公共角，BC，所以可得三 角形全等，C 对； 第
13、 7 页（共 23 页） D 中两边及一角，但角并不是夹角，不能判定其全等，D 错 故选：D 【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，是正确解题 的前提；做题时要按判定全等的方法逐个验证 3 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，CAB 的平分线交 BC 于 D，DE 是 AB 的垂 直平分线，垂足为 E若 BC3，则 DE 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得BCADDAB30， 【解答】解：DE 垂直平分 AB， DADB， BDAB， AD 平分CAB， CADDAB， C90， 3CAD90， CAD30，
14、 AD 平分CAB，DEAB，CDAC， CDDEBD， BC3， CDDE1， 故选：A 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端 点的距离相等是解题的关键 4 （3 分）若式子的值等于 0，则 x 的值为（ ） A2 B2 C2 D4 【分析】根据分式的值为 0 的条件即可求出答案 【解答】解：由题意可知： 解得：x2 故选：C 【点评】本题考查分式的值为 0，解题的关键是正确理解分式的值为 0 的条件，本题属于 基础题型 5 （3 分）下列各式运算正确的是（ ） A3y35y415y12 B （ab5）2ab10
15、;C （a3）2（a2）3 D （x）4 （x）6x10 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个 单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；同底数幂的乘法法则：同底 数幂相乘，底数不变，指数相加幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可 【解答】解：A、3y35y415y7，故原题计算错误； B、 （ab5）2a2b10，故原题计算错误； C、 （a3）2（a2）3故原题计算正确； D、 （x）4 （x）6x10故原题计算错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了单项式乘法和同底数幂的乘法、幂的乘方，关键是掌握各计算 法则 6 （3 分）已知关于
16、 x 的分式方程2+的解是负数，则 m 的取值范围是（ ） Am3 Bm3 第 9 页（共 23 页） Cm3 且 m2 Dm3 且 m2 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程， 由分式方程的解为负数确定出 m 的范围即可 【解答】解：分式方程去分母得：2x2mx2x2+2x+x+1， 整理得： （m+3）x1， 当 m+30，即 m3 时，x，1 且0， 由分式方程解为负数，得到0，且 m2，m3， 解得：m3 且 m2， 故选：C 【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本 题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6
17、小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分 ）分 ） 7 （3 分）我国医学界最新发现的一种病毒其直径仅为 0.000512mm，这个数字用科学记数 法可表示为 5.1210 4 mm 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解：0.000512mm，这个数字用科学记数法可表示为 5.1210 4mm， 故答案为：5.1210 4 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10 n，其中 1|a|10， n 为
18、由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 8 （3 分）一个三角形的两边长分别是 3 和 8，周长是偶数，那么第三边边长是 7 或 9 【分析】本题可先求出第三边的取值范围再根据 8+3 为奇数，周长为偶数，可知第三 边为奇数，从而找出取值范围中的奇数，即为第三边的长 【解答】解：设第三边长为 x， 则 83x8+3，即 5x11 又x 为奇数， x7 或 9， 故答案为 7 或 9 【点评】本题主要考查的是三角形的三边关系和特殊解，注意：偶数加偶数为偶数，奇 第 10 页（共 23 页） 数加奇数为偶数，难度适中 9 （3 分）如图，在ABC 中，B50，C70，A
19、D 是高，AE 是角平分线，则 EAD 10 度 【分析】根据三角形内角和定理求出BAC，再根据角平分线的定义求出BAD，根据 直角三角形两锐角互余求出BAE，然后求解即可 【解答】解：B50，C70， BAC180BC180507060， AD 是角平分线， BADBAC6030， AE 是高， BAE90B905040， DAEBAEBAD403010 故答案为：10 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角 形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键 10 （3 分）若 a+b5，ab3，则 2a2+2b2 38 【分析】2a2+2b22（a2
20、+b2） ，然后根据 a2+b2（a+b）22ab 进行计算即可 【解答】解：原式2（a2+b2）2（a+b）22ab2522338 故答案为：38 【点评】 本题主要考查的是完全平方公式的应用， 依据完全平方公式将a2+b2变形为 （a+b） 22ab 是解题的关键 11 （3 分）分解因式：m3n4mn mn（m2） （m+2） 【分析】先提取公因式 mn，再利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解：m3n4mn mn（m24） 第 11 页（共 23 页） mn（m2） （m+2） 故答案为：mn（m2） （m+2） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差
21、公式是解 题关键 12 （3 分）如图，已知ABC 为等边三角形，高 AH5cm，P 为 AH 上一动点，D 为 AB 的中点，则 PD+PB 的最小值为 5 cm 【分析】 连接 PC， 根据等边三角形三线合一的性质， 可得 PCBP， PD+PB 要取最小值， 应使 D、P、C 三点一线 【解答】解：连接 PC， ABC 为等边三角形，D 为 AB 的中点，AHBC， CDAH5cm， PD+PB 的最小值为：PD+PBPC+PDCDAH5cm 故答案为 5 【点评】此题主要考查有关轴对称最短路线的问题，注意灵活应用等边三角形的性 质 三、 （本大题共三、 （本大题共 5 小题，每小题小题
22、，每小题 6 分，共分，共 30 分） 分） 13 （6 分）已知：如图，点 B，E，C，F 在同一直线上，ABDE，且 ABDE，BECF 求证：ABCDEF 第 12 页（共 23 页） 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案 【解答】证明：ABDE， BDEF BEFC， BCEF， 在ABC 和DEF 中 ， ABCDEF（SAS） 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的 5 种判定方法中，选用哪一 种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边； 若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边
23、一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边 14 （6 分）先化简（a+2），再从2，2，4，0 中选择一个合适的数代入求 值 【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合分式有意义的 a 的值， 即 4 代入计算可得 【解答】解：原式（） ， 当 a4 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的顺序和运算法则是解 题的关键 15 （6 分）解方程：+3 【分析】因为 2x22（x1） ，1x（x1） ，所以方程最简公分母为：2（x1） ， 故方程同乘以最简公分母化为整式方程求解 【解答】解：方程两边同乘以 2（x1） ， 第 13 页（共 23 页
24、） 得：326（x1） ， 整理得：16x6， 解得：x 经检验：x是原方程的解 【点评】 （1）解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解 （2）解分式方程一定注意要验根 16 （6 分）已知 a、b、c 是ABC 的三边的长，且满足 a2+2b2+c22b（a+c）0，试判断 此三角形的形状 【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得 0 的形式， 求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状 【解答】解：a2+2b2+c22b（a+c）0 a22ab+b2+b22bc+c20 （ab）2+（bc）20 ab0 且 bc0 即 ab
25、c，故该三角形是等边三角形 【点评】当对多项式的局部因式分解后，变成了几个非负数的和为 0，则这几个非负数同 时为 0，从而判断出该三角形的形状 17 （6 分）已知：如图，ABC 和DBE 均为等腰直角三角形 （1）求证：ADCE； （2）猜想：AD 和 CE 是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论， 不用写理由 【分析】 （1）要证 ADCE，只需证明ABDCBE，由于ABC 和DBE 均为等腰 直角三角形，所以易证得结论 第 14 页（共 23 页） （2）延长 AD，根据（1）的结论，易证AFCABC90，所以 ADCE 【解答】解： （1）ABC 和DBE 均为等腰直
26、角三角形， ABBC，BDBE，ABCDBE90， ABCDBCDBEDBC， 即ABDCBE， ABDCBE， ADCE （2）垂直延长 AD 分别交 BC 和 CE 于 G 和 F， ABDCBE， BADBCE， BAD+ABC+BGABCE+AFC+CGF180， 又BGACGF， AFCABC90， ADCE 【点评】利用等腰三角形的性质，可以证得线段和角相等，为证明全等和相似奠定基础， 从而进行进一步的证明 四、 （本大题共四、 （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分） 分） 18 （8 分）在直角坐标系中，已知点 A（a+b，2a）与点 B（a5，b
27、2a）关于 y 轴对 称 （1）求 A、B 两点的坐标； （2）如果点 B 关于 x 轴的对称点是 C，在图中标出点 A、B、C，并求ABC 的面积 第 15 页（共 23 页） 【分析】 （1）根据在平面直角坐标系中，关于 y 轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不 变，得出方程组求出 a，b 即可解答本题； （2）根据点 B 关于 x 轴的对称的点是 C，得出 C 点坐标，进而利用三角形面积公式求出 即可 【解答】解： （1）点 A（a+b，2a）与点 B（a5，b2a）关于 y 轴对称 解得： 点 A、B 的坐标分别为： （4，1） 、 （4，1） ； （2） 点 B 关于 x 轴对称的点是
28、 C， C 点坐标为： （4，1） ABC 的面积为： 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及 三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键 第 16 页（共 23 页） 19 （8 分）如图，ABC 中，ACB90，ACBC，直线 l 过点 C，BDl，AEl，垂 足分别为 D、E （1）当直线 l 不与底边 AB 相交时，求证：EDAE+BD； （2）如图 2，将直线 l 绕点 C 顺时针旋转，使 l 与底边 AB 相交时，请你探究 ED、AE、 BD 三者之间的数量关系 【分析】 （1）根据垂直定义求出AECBDC90，求出EAC+ACE9
29、0， BCD+ACE90，求出EACBCD，根据 AAS 推出AECCDB，根据全等三 角形的性质推出 CEBD 和 AECD 即可； （2）根据垂直定义求出AECBDC90，求出EAC+ACE90，BCD+ ACE90，求出EACBCD，根据 AAS 推出AECCDB，根据全等三角形的 性质推出 CEBD 和 AECD 即可 【解答】 （1）证明：直线 l 过点 C，BDl，AEl， AECBDC90， ACB90， EAC+ACE90，BCD+ACE90， EACBCD， 在AEC 和CDB 中 AECCDB（AAS） ， CEBD，AECD， EDCE+CD， EDAE+BD； 第 17
30、 页（共 23 页） （2）解：EDBDAE， 理由是：直线 l 过点 C，BDl，AEl， AECBDC90， ACB90， EAC+ACE90，BCD+ACE90， EACBCD， 在AEC 和CDB 中 AECCDB（AAS） ， CEBD，AECD， EDCECD， EDBDAE 【点评】本题考查了垂直定义，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用， 能求出AECCDB（是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA， AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等 20 （8 分）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚 T 恤衫，甲种款型共用了 7800 元，乙种
31、 款型共用了 6400 元，甲种款型的件数是乙种款型件数的 1.5 倍，甲种款型每件的进价比 乙种款型每件的进价少 30 元 （1）甲、乙两种款型的 T 恤衫各购进多少件？ （2） 商店进价提高 60%标价销售， 销售一段时间后， 甲款型全部售完， 乙款型剩余一半， 商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批 T 恤衫商店共获 利多少元？ 【分析】 （1）可设乙种款型的 T 恤衫购进 x 件，则甲种款型的 T 恤衫购进 1.5x 件，根据 甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少 30 元，列出方程即可求解； 第 18 页（共 23 页） （2）先求出甲款型的利润，乙款型前
32、面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加 即可求解 【解答】解： （1）设乙种款型的 T 恤衫购进 x 件，则甲种款型的 T 恤衫购进 1.5x 件，依 题意有 +30， 解得 x40， 经检验，x40 是原方程的解，且符合题意， 1.5x60 答：甲种款型的 T 恤衫购进 60 件，乙种款型的 T 恤衫购进 40 件； （2）160， 16030130（元） ， 13060%60+16060%（402）1601（1+60%）0.5（402） 4680+1920640 5960（元） 答：售完这批 T 恤衫商店共获利 5960 元 【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解
33、法的运用，分析题意， 找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键 五、 （本大题共五、 （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分 ）分 ） 21 （9 分）仔细阅读下面例题： 例题：已知二次三项式 x2+5x+m 有一个因式是 x+2，求另一个因式以及 m 的值 解：设另一个因式 x+n，得 x2+5x+m（x+2） （x+n） ， 则 x2+5x+mx2+（n+2）x+2n， n+25，m2n， 解得 n3，m6， 另一个因式为 x+3，m 的值为 6 依照以上方法解答下面问题： （1）若二次三项式 x27x+12 可分解为（x3） （x+a） ，则 a
34、4 （2）若二次三项式 2x2+bx6 可分解为（2x+3） （x2） ，则 b 1 （3）已知二次三项式 2x2+9xk 有一个因式是 2x1，求另一个因式以及 k 的值 第 19 页（共 23 页） 【分析】 （1）将（x3） （x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出 a 的值； （2） （2x+3） （x2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出 b 的值； （3）设另一个因式为（x+n） ，得 2x2+9xk（2x1） （x+n） ，可知 2n19，k n，继而求出 n 和 k 的值及另一个因式 【解答】解： （1）（x3） （x+a）x2+（a3）x3ax27x+12， a37
35、， 解得：a4； 故答案是：4 （2）（2x+3） （x2）2x2x62x2+bx6， b1 故答案是：1 （3）设另一个因式为（x+n） ，得 2x2+9xk（2x1） （x+n） ， 则 2x2+9xk2x2+（2n1）xn， 2n19，kn， 解得 n5，k5， 另一个因式为 x+5，k 的值为 5 【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌 握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形 式 22 （9 分）在ABC 中，A40 （1）如图 1，若两内角ABC、ACB 的角平分线交于点 P，则P 110 ，A 与P 之间的
36、数量关系是 P90+A 为什么有这样的关系？请证明它； （2）如图 2，若内角ABC、外角ACE 的角平分线交于点 P，则P 20 ，A 与P 之间的数量关系是 PA ； （3）如图 3，若两外角EBC、FCB 的角平分线交于点 P，则P 70 ，A 与 P 之间的数量关系是 P90A 第 20 页（共 23 页） 【分析】 （1）根据三角形内角和定理求出B 和C，再根据角平分线的性质和三角形内 角和是 180求出P180（B+C） ； （2）根据三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和以及叫平分线的性质可求出P，可得A 与P 之间的数量关系； （3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的
37、两个内角的和求得：EBC+BCF A+ACB+ABC+A180+A， 在BCP 中根据角平分线的定义以及三角形内角和 定理即可求解 【解答】解： （1）ABC+C180A18040140 （ABC+C）14070， P180（ABC+C）110 A 与P 之间的数量关系是P90+A； （2）ACEABC+P， （A+ABC）ABC+P， （40+ABC）ABC+P， P20 A 与P 之间的数量关系是PA； （3）EBCA+ACB，BCFA+ABC， EBC+BCFA+ACB+ABC+A180+A， 第 21 页（共 23 页） PBC+PCB90+A 又PBC+PCB+P180， 90+A+
38、P180，即P90A 【点评】几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组） 求解的方法叫做方程的思想； 求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180”这一隐含的条件； 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 六、 （本大题六、 （本大题 1 小题，满分小题，满分 12 分 ）分 ） 23 （12 分）已知，ABC 是边长 3cm 的等边三角形动点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发， 沿线段 AB 向点 B 运动 （1）如图 1，设点 P 的运动时间为 t（s） ，那么 t （s）时，PBC 是直角三角 形； （2）如图 2，若另一动点 Q 从点 B 出发
39、，沿线段 BC 向点 C 运动，如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发设运动时间为 t（s） ，那么 t 为何值时，PBQ 是直角三角形？ （3）如图 3，若另一动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D如 果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发设运动时间为 t（s） ，那么 t 为何值时，DCQ 是等腰三角形？ （4）如图 4，若另一动点 Q 从点 C 出发，沿射线 BC 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D， 连接 PC如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发请你猜想：在点 P、Q 的运动过 程中，PCD 和QCD 的面积有
40、什么关系？并说明理由 【分析】 （1）当PBC 是直角三角形时，B60，所以 BP1.5cm，即可算出 t 的值； 第 22 页（共 23 页） （2）因为B60，可选取BPQ90或BQP90，然后根据勾股定理计算出 BP 长，即可算出 t 的大小； （3）因为DCQ120，当DCQ 是等腰三角形时，CDCQ，然后可证明APD 是 直角三角形，即可根据题意求出 t 的值； （4）面积相等可通过同底等高验证 【解答】解： （1）当PBC 是直角三角形时，B60， BPC90，所以 BP1.5cm， 所以 t（2 分） （2）当BPQ90时，BP0.5BQ， 3t0.5t，所以 t2；
41、 当BQP90时，BP2BQ， 3t2t，所以 t1； 所以 t1 或 2（s） （4 分） （3）因为DCQ120，当DCQ 是等腰三角形时，CDCQ， 所以PDACDQCQD30， 又因为A60， 所以 AD2AP，2t+t3， 解得 t1（s） ； （2 分） （4）相等，如图所示： 作 PEAD 于 E，QGAD 延长线于 G，则 PEQG，则易知GAEP，AACB QCG60， 在EAP 和GCQ 中， 第 23 页（共 23 页） 因为， 所以EAPGCQ（AAS） ， 所以 PEQG，所以，PCD 和QCD 同底等高，所以面积相等 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含 30角 的直角三角形，还要注意三角形面积的求法
