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2018-2019学年江西省赣州市宁都县八年级(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019 学年江西省赣州市宁都县八年级(上)期末数学试卷一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 18 分,每小题只有一个正确选项)分,每小题只有一个正确选项) 1 (3 分)某多边形的内角和是其外角和的 4 倍,则此多边形的边数是( ) A10 B9 C8 D7 2 (3 分)如图,点 D、E 分别在 AC、AB 上,已知 ABAC,添加下列条件,不能说明 ABDACE 的是( ) ABC BADAE CBDCCEB DBDCE 3 (3 分)如图,在 RtABC 中,C90,CAB 的平分线交 BC 于 D,DE 是 AB 的垂 直平分线,垂足为

2、E若 BC3,则 DE 的长为( ) A1 B2 C3 D4 4 (3 分)若式子的值等于 0,则 x 的值为( ) A2 B2 C2 D4 5 (3 分)下列各式运算正确的是( ) A3y35y415y12 B (ab5)2ab10  C (a3)2(a2)3 D (x)4 (x)6x10 6 (3 分)已知关于 x 的分式方程2+的解是负数,则 m 的取值范围是( ) Am3 Bm3  Cm3 且 m2 Dm3 且 m2 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分 )分 ) 7 (3 分)我国医学界最新发现的一种病

3、毒其直径仅为 0.000512mm,这个数字用科学记数 法可表示为   mm 8 (3 分)一个三角形的两边长分别是 3 和 8,周长是偶数,那么第三边边长是   第 2 页(共 23 页) 9 (3 分)如图,在ABC 中,B50,C70,AD 是高,AE 是角平分线,则 EAD   度 10 (3 分)若 a+b5,ab3,则 2a2+2b2   11 (3 分)分解因式:m3n4mn   12 (3 分)如图,已知ABC 为等边三角形,高 AH5cm,P 为 AH 上一动点,D 为 AB 的中点,则 PD+PB 的最小值为  

4、cm 三、 (本大题共三、 (本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 6 分,共分,共 30 分) 分) 13 (6 分)已知:如图,点 B,E,C,F 在同一直线上,ABDE,且 ABDE,BECF  求证:ABCDEF 14 (6 分)先化简(a+2),再从2,2,4,0 中选择一个合适的数代入求 值 15 (6 分)解方程:+3 16 (6 分)已知 a、b、c 是ABC 的三边的长,且满足 a2+2b2+c22b(a+c)0,试判断 此三角形的形状 17 (6 分)已知:如图,ABC 和DBE 均为等腰直角三角形 (1)求证:ADCE; (2)猜想:AD 和 CE 是否垂直?

5、若垂直,请说明理由;若不垂直,则只要写出结论, 第 3 页(共 23 页) 不用写理由 四、 (本大题共四、 (本大题共 3 小题,每小题小题,每小题 8 分,共分,共 24 分) 分) 18 (8 分)在直角坐标系中,已知点 A(a+b,2a)与点 B(a5,b2a)关于 y 轴对 称 (1)求 A、B 两点的坐标; (2)如果点 B 关于 x 轴的对称点是 C,在图中标出点 A、B、C,并求ABC 的面积 19 (8 分)如图,ABC 中,ACB90,ACBC,直线 l 过点 C,BDl,AEl,垂 足分别为 D、E (1)当直线 l 不与底边 AB 相交时,求证:EDAE+BD; (2)

6、如图 2,将直线 l 绕点 C 顺时针旋转,使 l 与底边 AB 相交时,请你探究 ED、AE、 BD 三者之间的数量关系 第 4 页(共 23 页) 20 (8 分)某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚 T 恤衫,甲种款型共用了 7800 元,乙种 款型共用了 6400 元,甲种款型的件数是乙种款型件数的 1.5 倍,甲种款型每件的进价比 乙种款型每件的进价少 30 元 (1)甲、乙两种款型的 T 恤衫各购进多少件? (2) 商店进价提高 60%标价销售, 销售一段时间后, 甲款型全部售完, 乙款型剩余一半, 商店决定对乙款型按标价的五折降价销售,很快全部售完,求售完这批 T 恤衫商店共获 利

7、多少元? 五、 (本大题共五、 (本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 9 分,共分,共 18 分 )分 ) 21 (9 分)仔细阅读下面例题: 例题:已知二次三项式 x2+5x+m 有一个因式是 x+2,求另一个因式以及 m 的值 解:设另一个因式 x+n,得 x2+5x+m(x+2) (x+n) , 则 x2+5x+mx2+(n+2)x+2n, n+25,m2n, 解得 n3,m6, 另一个因式为 x+3,m 的值为 6 依照以上方法解答下面问题: (1)若二次三项式 x27x+12 可分解为(x3) (x+a) ,则 a   (2)若二次三项式 2x2+bx6 可分解为(2x

8、+3) (x2) ,则 b   (3)已知二次三项式 2x2+9xk 有一个因式是 2x1,求另一个因式以及 k 的值 22 (9 分)在ABC 中,A40 (1)如图 1,若两内角ABC、ACB 的角平分线交于点 P,则P   ,A 与 P 之间的数量关系是   为什么有这样的关系?请证明它; (2)如图 2,若内角ABC、外角ACE 的角平分线交于点 P,则P   ,A 与P 之间的数量关系是   ; (3)如图 3,若两外角EBC、FCB 的角平分线交于点 P,则P   ,A 与 P 之间的数量关系是   第 5 页(

9、共 23 页) 六、 (本大题六、 (本大题 1 小题,满分小题,满分 12 分 )分 ) 23 (12 分)已知,ABC 是边长 3cm 的等边三角形动点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发, 沿线段 AB 向点 B 运动 (1)如图 1,设点 P 的运动时间为 t(s) ,那么 t   (s)时,PBC 是直角三角 形; (2)如图 2,若另一动点 Q 从点 B 出发,沿线段 BC 向点 C 运动,如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发设运动时间为 t(s) ,那么 t 为何值时,PBQ 是直角三角形? (3)如图 3,若另一动点 Q 从点 C 出发,沿射线 B

10、C 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D如 果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发设运动时间为 t(s) ,那么 t 为何值时,DCQ 是等腰三角形? (4)如图 4,若另一动点 Q 从点 C 出发,沿射线 BC 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D, 连接 PC如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发请你猜想:在点 P、Q 的运动过 程中,PCD 和QCD 的面积有什么关系?并说明理由 第 6 页(共 23 页) 2018-2019 学年江西省赣州市宁都县八年级(上)期末数学试卷学年江西省赣州市宁都县八年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择

11、题(本大题共一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 18 分,每小题只有一个正确选项)分,每小题只有一个正确选项) 1 (3 分)某多边形的内角和是其外角和的 4 倍,则此多边形的边数是( ) A10 B9 C8 D7 【分析】任何多边形的外角和是 360,即这个多边形的内角和是 4360n 边形的内 角和是(n2) 180,如果已知多边形的边数,就可以得到一个关于边数的方程,解方 程就可以求出多边形的边数 【解答】解:设多边形的边数为 n,根据题意,得 (n2) 1804360, 解得 n10 则这个多边形的边数是 10 故选:A 【点评】本题考查了多边形的

12、内角与外角,解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟 悉多边形的外角和为 360 2 (3 分)如图,点 D、E 分别在 AC、AB 上,已知 ABAC,添加下列条件,不能说明 ABDACE 的是( ) ABC BADAE CBDCCEB DBDCE 【分析】要使ABDACE,则需对应边相等,夹角相等,可用两边夹一角,也可用 两角夹一边判定全等 【解答】解:已知条件中 ABAC,A 为公共角, A 中BC,满足两角夹一边,可判定其全等,A 正确; B 中 ADAE 两边夹一角,也能判定全等,B 也正确; C 中BDCCEB,即ADBAEC,又A 为公共角,BC,所以可得三 角形全等,C 对; 第

13、 7 页(共 23 页) D 中两边及一角,但角并不是夹角,不能判定其全等,D 错 故选:D 【点评】本题考查了全等三角形的判定;熟练掌握全等三角形的判定方法,是正确解题 的前提;做题时要按判定全等的方法逐个验证 3 (3 分)如图,在 RtABC 中,C90,CAB 的平分线交 BC 于 D,DE 是 AB 的垂 直平分线,垂足为 E若 BC3,则 DE 的长为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得BCADDAB30, 【解答】解:DE 垂直平分 AB, DADB, BDAB, AD 平分CAB, CADDAB, C90, 3CAD90, CAD30,

14、 AD 平分CAB,DEAB,CDAC, CDDEBD, BC3, CDDE1, 故选:A 第 8 页(共 23 页) 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质,掌握线段垂直平分线上的点到线段两端 点的距离相等是解题的关键 4 (3 分)若式子的值等于 0,则 x 的值为( ) A2 B2 C2 D4 【分析】根据分式的值为 0 的条件即可求出答案 【解答】解:由题意可知: 解得:x2 故选:C 【点评】本题考查分式的值为 0,解题的关键是正确理解分式的值为 0 的条件,本题属于 基础题型 5 (3 分)下列各式运算正确的是( ) A3y35y415y12 B (ab5)2ab10  

15、;C (a3)2(a2)3 D (x)4 (x)6x10 【分析】根据单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个 单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式;同底数幂的乘法法则:同底 数幂相乘,底数不变,指数相加幂的乘方法则:底数不变,指数相乘进行计算即可 【解答】解:A、3y35y415y7,故原题计算错误; B、 (ab5)2a2b10,故原题计算错误; C、 (a3)2(a2)3故原题计算正确; D、 (x)4 (x)6x10故原题计算错误; 故选:C 【点评】此题主要考查了单项式乘法和同底数幂的乘法、幂的乘方,关键是掌握各计算 法则 6 (3 分)已知关于

16、 x 的分式方程2+的解是负数,则 m 的取值范围是( ) Am3 Bm3  第 9 页(共 23 页) Cm3 且 m2 Dm3 且 m2 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程, 由分式方程的解为负数确定出 m 的范围即可  【解答】解:分式方程去分母得:2x2mx2x2+2x+x+1, 整理得: (m+3)x1, 当 m+30,即 m3 时,x,1 且0, 由分式方程解为负数,得到0,且 m2,m3, 解得:m3 且 m2, 故选:C 【点评】此题考查了分式方程的解,以及解一元一次不等式,熟练掌握运算法则是解本 题的关键 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6

17、小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 18 分 )分 ) 7 (3 分)我国医学界最新发现的一种病毒其直径仅为 0.000512mm,这个数字用科学记数 法可表示为 5.1210 4 mm 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a10 n,与较大 数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数 字前面的 0 的个数所决定 【解答】解:0.000512mm,这个数字用科学记数法可表示为 5.1210 4mm, 故答案为:5.1210 4 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为 a10 n,其中 1|a|10, n 为

18、由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 8 (3 分)一个三角形的两边长分别是 3 和 8,周长是偶数,那么第三边边长是 7 或 9  【分析】本题可先求出第三边的取值范围再根据 8+3 为奇数,周长为偶数,可知第三 边为奇数,从而找出取值范围中的奇数,即为第三边的长 【解答】解:设第三边长为 x, 则 83x8+3,即 5x11 又x 为奇数, x7 或 9, 故答案为 7 或 9 【点评】本题主要考查的是三角形的三边关系和特殊解,注意:偶数加偶数为偶数,奇 第 10 页(共 23 页) 数加奇数为偶数,难度适中 9 (3 分)如图,在ABC 中,B50,C70,A

19、D 是高,AE 是角平分线,则 EAD 10 度 【分析】根据三角形内角和定理求出BAC,再根据角平分线的定义求出BAD,根据 直角三角形两锐角互余求出BAE,然后求解即可 【解答】解:B50,C70, BAC180BC180507060, AD 是角平分线, BADBAC6030, AE 是高, BAE90B905040, DAEBAEBAD403010 故答案为:10 【点评】本题考查了三角形的内角和定理,三角形的角平分线、高线的定义,直角三角 形两锐角互余的性质,熟记定理并准确识图是解题的关键 10 (3 分)若 a+b5,ab3,则 2a2+2b2 38 【分析】2a2+2b22(a2

20、+b2) ,然后根据 a2+b2(a+b)22ab 进行计算即可 【解答】解:原式2(a2+b2)2(a+b)22ab2522338 故答案为:38 【点评】 本题主要考查的是完全平方公式的应用, 依据完全平方公式将a2+b2变形为 (a+b) 22ab 是解题的关键 11 (3 分)分解因式:m3n4mn mn(m2) (m+2) 【分析】先提取公因式 mn,再利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解:m3n4mn mn(m24) 第 11 页(共 23 页) mn(m2) (m+2) 故答案为:mn(m2) (m+2) 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确运用平方差

21、公式是解 题关键 12 (3 分)如图,已知ABC 为等边三角形,高 AH5cm,P 为 AH 上一动点,D 为 AB 的中点,则 PD+PB 的最小值为 5 cm 【分析】 连接 PC, 根据等边三角形三线合一的性质, 可得 PCBP, PD+PB 要取最小值, 应使 D、P、C 三点一线 【解答】解:连接 PC, ABC 为等边三角形,D 为 AB 的中点,AHBC, CDAH5cm, PD+PB 的最小值为:PD+PBPC+PDCDAH5cm 故答案为 5 【点评】此题主要考查有关轴对称最短路线的问题,注意灵活应用等边三角形的性 质 三、 (本大题共三、 (本大题共 5 小题,每小题小题

22、,每小题 6 分,共分,共 30 分) 分) 13 (6 分)已知:如图,点 B,E,C,F 在同一直线上,ABDE,且 ABDE,BECF  求证:ABCDEF 第 12 页(共 23 页) 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案 【解答】证明:ABDE, BDEF BEFC, BCEF, 在ABC 和DEF 中 , ABCDEF(SAS) 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定,全等三角形的 5 种判定方法中,选用哪一 种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边; 若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边

23、一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边 14 (6 分)先化简(a+2),再从2,2,4,0 中选择一个合适的数代入求 值 【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将符合分式有意义的 a 的值, 即 4 代入计算可得 【解答】解:原式() , 当 a4 时,原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值,熟练掌握分式混合运算的顺序和运算法则是解 题的关键 15 (6 分)解方程:+3 【分析】因为 2x22(x1) ,1x(x1) ,所以方程最简公分母为:2(x1) , 故方程同乘以最简公分母化为整式方程求解 【解答】解:方程两边同乘以 2(x1) , 第 13 页(共 23 页

24、) 得:326(x1) , 整理得:16x6, 解得:x 经检验:x是原方程的解 【点评】 (1)解分式方程的基本思想是“转化思想” ,把分式方程转化为整式方程求解  (2)解分式方程一定注意要验根 16 (6 分)已知 a、b、c 是ABC 的三边的长,且满足 a2+2b2+c22b(a+c)0,试判断 此三角形的形状 【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解,整理为非负数相加得 0 的形式, 求出三角形三边的关系,进而判断三角形的形状 【解答】解:a2+2b2+c22b(a+c)0 a22ab+b2+b22bc+c20 (ab)2+(bc)20 ab0 且 bc0 即 ab

25、c,故该三角形是等边三角形 【点评】当对多项式的局部因式分解后,变成了几个非负数的和为 0,则这几个非负数同 时为 0,从而判断出该三角形的形状 17 (6 分)已知:如图,ABC 和DBE 均为等腰直角三角形 (1)求证:ADCE; (2)猜想:AD 和 CE 是否垂直?若垂直,请说明理由;若不垂直,则只要写出结论, 不用写理由 【分析】 (1)要证 ADCE,只需证明ABDCBE,由于ABC 和DBE 均为等腰 直角三角形,所以易证得结论 第 14 页(共 23 页) (2)延长 AD,根据(1)的结论,易证AFCABC90,所以 ADCE 【解答】解: (1)ABC 和DBE 均为等腰直

26、角三角形, ABBC,BDBE,ABCDBE90, ABCDBCDBEDBC, 即ABDCBE, ABDCBE, ADCE (2)垂直延长 AD 分别交 BC 和 CE 于 G 和 F, ABDCBE, BADBCE, BAD+ABC+BGABCE+AFC+CGF180, 又BGACGF, AFCABC90, ADCE 【点评】利用等腰三角形的性质,可以证得线段和角相等,为证明全等和相似奠定基础, 从而进行进一步的证明 四、 (本大题共四、 (本大题共 3 小题,每小题小题,每小题 8 分,共分,共 24 分) 分) 18 (8 分)在直角坐标系中,已知点 A(a+b,2a)与点 B(a5,b

27、2a)关于 y 轴对 称 (1)求 A、B 两点的坐标; (2)如果点 B 关于 x 轴的对称点是 C,在图中标出点 A、B、C,并求ABC 的面积 第 15 页(共 23 页) 【分析】 (1)根据在平面直角坐标系中,关于 y 轴对称时,横坐标为相反数,纵坐标不 变,得出方程组求出 a,b 即可解答本题; (2)根据点 B 关于 x 轴的对称的点是 C,得出 C 点坐标,进而利用三角形面积公式求出 即可 【解答】解: (1)点 A(a+b,2a)与点 B(a5,b2a)关于 y 轴对称 解得: 点 A、B 的坐标分别为: (4,1) 、 (4,1) ; (2) 点 B 关于 x 轴对称的点是

28、 C, C 点坐标为: (4,1) ABC 的面积为: 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中,各象限内点的坐标的符号的确定方法以及 三角形面积求法,熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键 第 16 页(共 23 页) 19 (8 分)如图,ABC 中,ACB90,ACBC,直线 l 过点 C,BDl,AEl,垂 足分别为 D、E (1)当直线 l 不与底边 AB 相交时,求证:EDAE+BD; (2)如图 2,将直线 l 绕点 C 顺时针旋转,使 l 与底边 AB 相交时,请你探究 ED、AE、 BD 三者之间的数量关系 【分析】 (1)根据垂直定义求出AECBDC90,求出EAC+ACE9

29、0, BCD+ACE90,求出EACBCD,根据 AAS 推出AECCDB,根据全等三 角形的性质推出 CEBD 和 AECD 即可; (2)根据垂直定义求出AECBDC90,求出EAC+ACE90,BCD+ ACE90,求出EACBCD,根据 AAS 推出AECCDB,根据全等三角形的 性质推出 CEBD 和 AECD 即可 【解答】 (1)证明:直线 l 过点 C,BDl,AEl, AECBDC90, ACB90, EAC+ACE90,BCD+ACE90, EACBCD, 在AEC 和CDB 中 AECCDB(AAS) , CEBD,AECD, EDCE+CD, EDAE+BD; 第 17

30、 页(共 23 页) (2)解:EDBDAE, 理由是:直线 l 过点 C,BDl,AEl, AECBDC90, ACB90, EAC+ACE90,BCD+ACE90, EACBCD, 在AEC 和CDB 中 AECCDB(AAS) , CEBD,AECD, EDCECD, EDBDAE 【点评】本题考查了垂直定义,三角形内角和定理,全等三角形的性质和判定的应用, 能求出AECCDB(是解此题的关键,注意:全等三角形的判定定理有:SAS,ASA, AAS,SSS,全等三角形的对应边相等,对应角相等 20 (8 分)某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚 T 恤衫,甲种款型共用了 7800 元,乙种

31、 款型共用了 6400 元,甲种款型的件数是乙种款型件数的 1.5 倍,甲种款型每件的进价比 乙种款型每件的进价少 30 元 (1)甲、乙两种款型的 T 恤衫各购进多少件? (2) 商店进价提高 60%标价销售, 销售一段时间后, 甲款型全部售完, 乙款型剩余一半, 商店决定对乙款型按标价的五折降价销售,很快全部售完,求售完这批 T 恤衫商店共获 利多少元? 【分析】 (1)可设乙种款型的 T 恤衫购进 x 件,则甲种款型的 T 恤衫购进 1.5x 件,根据 甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少 30 元,列出方程即可求解; 第 18 页(共 23 页) (2)先求出甲款型的利润,乙款型前

32、面销售一半的利润,后面销售一半的亏损,再相加 即可求解 【解答】解: (1)设乙种款型的 T 恤衫购进 x 件,则甲种款型的 T 恤衫购进 1.5x 件,依 题意有 +30, 解得 x40, 经检验,x40 是原方程的解,且符合题意, 1.5x60 答:甲种款型的 T 恤衫购进 60 件,乙种款型的 T 恤衫购进 40 件; (2)160, 16030130(元) , 13060%60+16060%(402)1601(1+60%)0.5(402) 4680+1920640 5960(元) 答:售完这批 T 恤衫商店共获利 5960 元 【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用,分式方程的解

33、法的运用,分析题意, 找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键 五、 (本大题共五、 (本大题共 2 小题,每小题小题,每小题 9 分,共分,共 18 分 )分 ) 21 (9 分)仔细阅读下面例题: 例题:已知二次三项式 x2+5x+m 有一个因式是 x+2,求另一个因式以及 m 的值 解:设另一个因式 x+n,得 x2+5x+m(x+2) (x+n) , 则 x2+5x+mx2+(n+2)x+2n, n+25,m2n, 解得 n3,m6, 另一个因式为 x+3,m 的值为 6 依照以上方法解答下面问题: (1)若二次三项式 x27x+12 可分解为(x3) (x+a) ,则 a

34、4 (2)若二次三项式 2x2+bx6 可分解为(2x+3) (x2) ,则 b 1 (3)已知二次三项式 2x2+9xk 有一个因式是 2x1,求另一个因式以及 k 的值 第 19 页(共 23 页) 【分析】 (1)将(x3) (x+a)展开,根据所给出的二次三项式即可求出 a 的值; (2) (2x+3) (x2)展开,可得出一次项的系数,继而即可求出 b 的值; (3)设另一个因式为(x+n) ,得 2x2+9xk(2x1) (x+n) ,可知 2n19,k n,继而求出 n 和 k 的值及另一个因式 【解答】解: (1)(x3) (x+a)x2+(a3)x3ax27x+12, a37

35、, 解得:a4; 故答案是:4 (2)(2x+3) (x2)2x2x62x2+bx6, b1 故答案是:1 (3)设另一个因式为(x+n) ,得 2x2+9xk(2x1) (x+n) , 则 2x2+9xk2x2+(2n1)xn, 2n19,kn, 解得 n5,k5, 另一个因式为 x+5,k 的值为 5 【点评】本题考查因式分解的意义,解题关键是对题中所给解题思路的理解,同时要掌 握因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆运算,二者是一个式子的不同表现形 式 22 (9 分)在ABC 中,A40 (1)如图 1,若两内角ABC、ACB 的角平分线交于点 P,则P 110 ,A 与P 之间的

36、数量关系是 P90+A 为什么有这样的关系?请证明它; (2)如图 2,若内角ABC、外角ACE 的角平分线交于点 P,则P 20 ,A 与P 之间的数量关系是 PA ; (3)如图 3,若两外角EBC、FCB 的角平分线交于点 P,则P 70 ,A 与 P 之间的数量关系是 P90A 第 20 页(共 23 页) 【分析】 (1)根据三角形内角和定理求出B 和C,再根据角平分线的性质和三角形内 角和是 180求出P180(B+C) ; (2)根据三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和以及叫平分线的性质可求出P,可得A 与P 之间的数量关系; (3)根据三角形的一个外角等于和它不相邻的

37、两个内角的和求得:EBC+BCF A+ACB+ABC+A180+A, 在BCP 中根据角平分线的定义以及三角形内角和 定理即可求解 【解答】解: (1)ABC+C180A18040140 (ABC+C)14070, P180(ABC+C)110 A 与P 之间的数量关系是P90+A; (2)ACEABC+P, (A+ABC)ABC+P, (40+ABC)ABC+P, P20 A 与P 之间的数量关系是PA; (3)EBCA+ACB,BCFA+ABC, EBC+BCFA+ACB+ABC+A180+A, 第 21 页(共 23 页) PBC+PCB90+A 又PBC+PCB+P180, 90+A+

38、P180,即P90A 【点评】几何计算题中,如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程(或方程组) 求解的方法叫做方程的思想; 求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180”这一隐含的条件; 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 六、 (本大题六、 (本大题 1 小题,满分小题,满分 12 分 )分 ) 23 (12 分)已知,ABC 是边长 3cm 的等边三角形动点 P 以 1cm/s 的速度从点 A 出发, 沿线段 AB 向点 B 运动 (1)如图 1,设点 P 的运动时间为 t(s) ,那么 t (s)时,PBC 是直角三角 形; (2)如图 2,若另一动点 Q 从点 B 出发

39、,沿线段 BC 向点 C 运动,如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发设运动时间为 t(s) ,那么 t 为何值时,PBQ 是直角三角形? (3)如图 3,若另一动点 Q 从点 C 出发,沿射线 BC 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D如 果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发设运动时间为 t(s) ,那么 t 为何值时,DCQ 是等腰三角形? (4)如图 4,若另一动点 Q 从点 C 出发,沿射线 BC 方向运动连接 PQ 交 AC 于 D, 连接 PC如果动点 P、Q 都以 1cm/s 的速度同时出发请你猜想:在点 P、Q 的运动过 程中,PCD 和QCD 的面积有

40、什么关系?并说明理由 【分析】 (1)当PBC 是直角三角形时,B60,所以 BP1.5cm,即可算出 t 的值;  第 22 页(共 23 页) (2)因为B60,可选取BPQ90或BQP90,然后根据勾股定理计算出 BP 长,即可算出 t 的大小; (3)因为DCQ120,当DCQ 是等腰三角形时,CDCQ,然后可证明APD 是 直角三角形,即可根据题意求出 t 的值; (4)面积相等可通过同底等高验证 【解答】解: (1)当PBC 是直角三角形时,B60, BPC90,所以 BP1.5cm, 所以 t(2 分) (2)当BPQ90时,BP0.5BQ, 3t0.5t,所以 t2;

41、 当BQP90时,BP2BQ, 3t2t,所以 t1; 所以 t1 或 2(s) (4 分) (3)因为DCQ120,当DCQ 是等腰三角形时,CDCQ, 所以PDACDQCQD30, 又因为A60, 所以 AD2AP,2t+t3, 解得 t1(s) ; (2 分) (4)相等,如图所示: 作 PEAD 于 E,QGAD 延长线于 G,则 PEQG,则易知GAEP,AACB QCG60, 在EAP 和GCQ 中, 第 23 页(共 23 页) 因为, 所以EAPGCQ(AAS) , 所以 PEQG,所以,PCD 和QCD 同底等高,所以面积相等 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,含 30角 的直角三角形,还要注意三角形面积的求法