1、4 逻辑联结词逻辑联结词“且且”“”“或或”“”“非非” 4.1 逻辑联结词逻辑联结词“且且” 4.2 逻辑联结词逻辑联结词“或或” 学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些 数学命题，并判断其命题的真假. 知识点一 “且” 1.定义： 一般地， 用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来， 就得到一个新命题“p 且 q”. 2.当 p，q 都是真命题时，p 且 q 是真命题；当 p，q 两个命题中有一个命题是假命题时，p 且 q 是假命题. 将命题 p 和命题 q 以及 p 且 q 的真假情况绘制为命题“p 且 q”的真值表如下： p q p
2、且 q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假 命题“p 且 q”的真值表可简单归纳为“同真则真”. 知识点二 “或” 1.定义： 一般地， 用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来， 就得到一个新命题“p 或 q”. 2.当 p， q 两个命题有一个命题是真命题时， p 或 q 是真命题； 当 p， q 两个命题都是假命题时， p 或 q 是假命题. 将命题 p 和命题 q 以及 p 或 q 的真假情况绘制为命题“p 或 q”的真值表如下： p q p 或 q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 命题“p 或 q”的真值表可简单归纳为“同假则假”. 1.逻辑联结词“
3、且”“或”只能出现在命题的结论中.( ) 2.“p 且 q 为假命题”是“p 为假命题”的充分条件.( ) 3.当 p，q 都为假命题时，p 且 q 才为假命题.( ) 4.若 p：sin x2，q：任意 xR，x2x10，则 p 或 q 为假命题.( ) 题型一 含有“且”“或”命题的构成 命题角度 1 简单命题与复合命题的区分 例 1 指出下列命题的形式及构成它的命题. (1)向量既有大小又有方向； (2)矩形有外接圆或有内切圆； (3)22. 考点 “且”“或”的概念 题点 把命题写成“p 且 q”或“p 或 q”的形式 解 (1)是 p 且 q 形式命题. 其中 p：向量有大小，q：向
4、量有方向. (2)是 p 或 q 形式命题. 其中 p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆. (3)是 p 或 q 形式命题. 其中 p：22，q：22. 反思感悟 不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构 成的命题是复合命题. 判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑 联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题. 跟踪训练 1 命题“菱形对角线垂直且平分”为_形式复合命题. 考点 “且”的概念 题点 把命题写成“p 且 q”的形式 答案 p 且 q 命题角度 2 用逻辑联结词构造新命题 例 2 分别写出下列命题的
5、“p 且 q”“p 或 q”形式的命题. (1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等； (2)p：1 是方程 x24x30 的解，q：3 是方程 x24x30 的解. 考点 “且”“或”的概念 题点 把命题写成“p 且 q”或“p 或 q”的形式 解 (1)p 或 q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等. p 且 q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等. (2)p 或 q：1 或3 是方程 x24x30 的解. p 且 q：1 和3 是方程 x24x30 的解. 反思感悟 用逻辑联结词“或”“且”联结 p，q 构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可 以把 p，q 中的条件或结论合并.
6、 跟踪训练 2 指出下列命题的形式及构成它的简单命题. (1)96 是 48 与 16 的倍数； (2)12 能被 3 或 4 整除. 考点 “且”“或”的概念 题点 把命题写成“p 且 q”或“p 或 q”的形式 解 (1)p 且 q，p：96 是 48 的倍数；q：96 是 16 的倍数. (2)这个命题是“p 或 q”形式的命题，其中 p：12 能被 3 整除，q：12 能被 4 整除. 题型二 “p 且 q”和“p 或 q”形式命题的真假判断 例 3 分别指出“p 或 q”“p 且 q”的真假. (1)p：函数 ysin x 是奇函数；q：函数 ysin x 在 R 上是增加的； (2
7、)p：直线 x1 与圆 x2y21 相切；q：直线 x1 2与圆 x 2y21 相交. 考点 “p 且 q”和“p 或 q”形式命题真假性判断 题点 判断“p 且 q”和“p 或 q”形式命题的真假 解 (1)p 真，q 假，“p 或 q”为真，“p 且 q”为假. (2)p 真，q 真，“p 或 q”为真，“p 且 q”为真. 反思感悟 形如 p 或 q，p 且 q 命题的真假根据真值表判定. 跟踪训练 3 分别指出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”形式的命题的真假. (1)p： 3是无理数，q： 不是无理数； (2)p：集合 AA，q：AAA； (3)p：函数 yx23x4
8、的图像与 x 轴有公共点，q：方程 x23x40 没有实数根. 考点 “p 且 q”和“p 或 q”形式命题真假性判断 题点 判断“p 且 q”和“p 或 q”形式命题的真假 解 (1)p 真，q 假，“p 或 q”为真，“p 且 q”为假. (2)p 真，q 真，“p 或 q”为真，“p 且 q”为真. (3)p 假，q 假，“p 或 q”为假，“p 且 q”为假. 题型三题型三 已知复合命题的真假求参数范围已知复合命题的真假求参数范围 例 4 已知 p：方程 x2mx10 有两个不相等的负根，q：方程 4x24(m2)x10 无实 数根，若 p 或 q 为真，p 且 q 为假，求 m 的取
9、值范围. 考点 “p 或 q”“p 且 q”形式命题真假性的判断 题点 由“p 或 q”“p 且 q”形式命题的真假求参数的取值范围 解 因为 p：方程 x2mx10 有两个不相等的负根， 所以 m240， m0， 所以 m2. 因为 q：方程 4x24(m2)x10 无实数根， 所以 0，即 16(m2)2160， 所以 16(m24m3)0，所以 1m3. 因为 p 或 q 为真，p 且 q 为假， 所以 p 为真，q 为假或者 p 为假，q 为真. 即 m2， m1或m3 或 m2， 1m3， 解得 m3 或 1m2. 所以 m 的取值范围为m|m3 或 1m2. 引申探究 本例中若将“
10、p 且 q 为假”改为“p 且 q 为真”，求实数 m 的取值范围. 解 同例得当 p 为真命题时，m2，当 q 为真命题时， 1m3. 因为 p 或 q 为真，p 且 q 为真，所以 p，q 均为真命题， 即 m2， 1m3， 解得 2m3，所以 m 的取值范围为(2，3). 反思感悟 应用逻辑联结词求参数范围的四个步骤 (1)分别求出命题 p，q 为真时对应的参数集合 A，B； (2)讨论 p，q 的真假； (3)由 p，q 的真假转化为相应的集合的运算； (4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围. 跟踪训练 4 已知 p：(x2)(x3)0，q：|x1|2，若“p 且 q”为真，则实
11、数 x 的取值范 围是_. 考点 “p 且 q”形式命题真假性的判断 题点 由“p 且 q”形式命题的真假求参数的取值范围 答案 1，3 解析 由(x2)(x3)0，解得2x3. 由|x1|2，解得 x1 或 x3. “p 且 q”为真， 2x3， x1或x3， 解得 1x3，则实数 x 的取值范围是1，3. 1.已知 p：235，q：54，则下列判断正确的是( ) A.p 为假命题 B.q 为真命题 C.p 或 q 为真命题 D.p 且 q 为真命题 考点 “p 且 q”“p 或 q”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 且 q”“p 或 q”形式命题的真假 答案 C 解析 由题意，知 p
12、为真命题，q 为假命题. 2.由下列各组命题构成的新命题“p 或 q”“p 且 q”都为真命题的是( ) A.p：449，q：74 B.p：aa，b，c，q：aa，b，c C.p：15 是质数，q：8 是 12 的约数 D.p：2 是偶数，q：2 不是质数 考点 “p 且 q”“p 或 q”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 且 q”“p 或 q”形式命题的真假 答案 B 3.已知命题 p，q，若 p 为真命题，则( ) A.p 且 q 必为真 B.p 且 q 必为假 C.p 或 q 必为真 D.p 或 q 必为假 考点 “p 且 q”“p 或 q”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 且
13、q”“p 或 q”形式命题的真假 答案 C 解析 p 或 q，一真则真，故必有 p 或 q 为真. 4.已知 p：函数 ysin x 的最小正周期为 2，q：函数 ysin 2x 的图像关于直线 x 对称，则 p 且 q 是_命题.(填“真”或“假”) 考点 “p 且 q”形式命题真假性的判断 题点 判断“p 且 q”形式命题的真假 答案 假 解析 由题意，知命题 p 为假命题，命题 q 也是假命题，故 p 且 q 是假命题. 5.已知命题 p：函数 f(x)(xm)(x4)为偶函数；命题 q：方程 x2(2m1)x42m0 的 一个根大于 2，一个根小于 2，若 p 且 q 为假，p 或 q 为真，求实数 m 的取值范围. 考点 “p 且 q”“p 或 q”形式命题真假性的判断 题点 由“p 且 q”“p 或 q”形式命题的真假求参数的取值范围 解 若命题 p 为真，则由 f(x)x2(m4)x4m，得 m40，解得 m4. 设 g(x)x2(2m1)x42m，其图像开口向上， 若命题 q 为真，则 g(2)0，即 22(2m1)242m0，解得 m3. 由 p 且 q 为假，p 或 q 为真，得 p 假 q 真或 p 真 q 假. 若 p 假 q 真，则 m3 且 m4； 若 p 真 q 假，则 m 无解. 所以实数 m 的取值范围为(，4)(4，3).
