1、 13.3 数学归纳法数学归纳法 最新考纲 考情考向分析 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归 纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式 或不等式在高考中以解答题形式出现，属 高档题. 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设当 nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立 题组一 思考辨析 1判断下列结论
2、是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n1 时结论成立( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 nk 到 nk1 时，项数都增加了一 项( ) (5)用数学归纳法证明等式“12222n 22n31”，验证 n1 时，左边式子应为 1 22223.( ) (6)用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时，n03.( ) 题组二 教材改编 2P99B 组 T1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为1 2n(n3)条时，
3、第一步检验 n 等 于( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 凸 n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验 n3. 3 P96A 组 T2已知an满足 an1a2nnan1， nN*， 且 a12， 则 a2_， a3_， a4_，猜想 an_. 答案 3 4 5 n1 题组三 易错自纠 4用数学归纳法证明 1aa2an 11a n2 1a (a1，nN*)，在验证 n1 时，等式左 边的项是( ) A1 B1a C1aa2 D1aa2a3 答案 C 解析 当 n1 时，n12， 左边1a1a21aa2. 5对于不等式 n2n1，nN*. (1)证明：当 x1 且 x0 时，(1x)p
4、1px； (2)数列an满足 a1 1 p c，an1p1 p anc pa 1p n .证明：anan1 1 p c. 证明 (1)当 p2 时，(1x)212xx212x，原不等式成立 假设当 pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx 成立 则当 pk1 时， (1x)k 1(1x)(1x)k(1x) (1kx) 1(k1)xkx21(k1)x. 所以当 pk1 时，原不等式也成立 综合可得，当 x1，且 x0 时， 对一切整数 p1，不等式(1x)p1px 均成立 (2)方法一 当 n1 时，由题设知 a1 1 p c成立 假设当 nk(k1，kN*)时，不等式 ak 1 p c成
5、立 由 an1p1 p anc pa 1p n 易知 an0，nN*. 则当 nk1 时， ak1 ak p1 p c pa p k11 p c p k a 1 . 由 ak 1 p c0 得1c，即 ak1 1 p c. 所以当 nk1 时，不等式 an 1 p c也成立 综合可得，对一切正整数 n，不等式 an 1 p c均成立 再由an 1 an 11 p c apn1 可得 an1 an 1 p c，nN*. 方法二 设 f(x)p1 p xc px 1p，x 1 p c， 则 xpc， 并且 f(x)p1 p c p(1p)x p p1 p 1 c xp 0，x 1 p c. 由此可
6、得，f(x)在 1 p c，)上单调递增， 因而，当 x 1 p c时，f(x)f( 1 p c) 1 p c. 当 n1 时，由 a1 1 p c0， 即 1 p ac 可知 a2p1 p a1 1 1 p c a p a1 11 p c 1 p a 1 1 p c，从而 a1a2 1 p c. 故当 n1 时，不等式 anan1 1 p c成立 假设当 nk(k1，kN*)时， 不等式 akak1 1 p c成立， 则当 nk1 时，f(ak)f(ak1)f( 1 p c)， 即有 ak1ak2 1 p c. 所以当 nk1 时，原不等式也成立 综合可得，对一切正整数 n，不等式 anan
7、1 1 p c均成立 思维升华 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围：当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应 用数学归纳法 (2)关键：由 nk 时命题成立证 nk1 时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、 综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧， 使问题得以简化 跟踪训练 (2018 衡水调研)若函数 f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点 P(4,5)，Qn(xn，f(xn)(nN*)的直线 PQn与 x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明： 2xn0，使 (x)0(nN
8、*)猜想 an的通项公式，并用数学归纳法加以证明 解 分别令 n1,2,3，得 2a1a211， 2a1a2a222， 2a1a2a3a233， an0，a11，a22，a33， 猜想：ann. 由 2Sna2nn， 可知，当 n2 时，2Sn1a2n1(n1)， ，得 2ana2na2n11，即 a2n2ana2n11. ()当 n2 时，a222a2121， a20，a22. ()假设当 nk(k2，kN*)时，akk，那么当 nk1 时， a2k12ak1a2k12ak1k21， 即ak1(k1)ak1(k1)0， ak10，k2，ak1(k1)0， ak1k1，即当 nk1 时也成立
9、ann(n2)，显然当 n1 时，也成立， 故对于一切 nN*，均有 ann. 命题点 3 存在性问题的证明 典例 设 a11，an1 a2n2an2b(nN*) (1)若 b1，求 a2，a3及数列an的通项公式； (2)若 b1，问：是否存在实数 c 使得 a2nf(1)a2，即 1ca2k2a2. 再由 f(x)在(，1上为减函数，得 cf(c)a2n2， 所以 a2n1 a22n12a2n121. 解得 a2n11 4. 综上，由知存在 c1 4使得 a2n0，ana2n0， 0an1， 故数列an中的任何一项都小于 1. (2)由(1)知 0a111 1， 那么 a2a1a21 a1
10、1 2 21 4 1 4 1 2， 由此猜想 an1 n. 下面用数学归纳法证明：当 n2，且 nN*时猜想正确 当 n2 时已证； 假设当 nk(k2，且 kN*)时，有 ak1 k成立， 那么1 k 1 2，ak1aka 2 k ak1 2 21 4 1 k 1 2 21 4 1 k 1 k2 k1 k2 k1 k21 1 k1， 当 nk1 时，猜想正确 综上所述，对于一切 nN*，都有 an1 n. 归纳猜想证明问题 典例 (12 分)数列an满足 Sn2nan(nN*) (1)计算 a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式 an； (2)证明(1)中的猜想 思维点拨 (1)由 S1
11、a1算出 a1；由 anSnSn1算出 a2，a3，a4，观察所得数值的特征猜出 通项公式 (2)用数学归纳法证明 规范解答 (1)解 当 n1 时，a1S12a1，a11； 当 n2 时，a1a2S222a2，a23 2； 当 n3 时，a1a2a3S323a3，a37 4； 当 n4 时，a1a2a3a4S424a4， a415 8 .2 分 由此猜想 an2 n1 2n 1(nN*)4 分 (2)证明 当 n1 时，a11，结论成立5 分 假设当 nk(k1 且 kN*)时，结论成立， 即 ak2 k1 2k 1， 那么当 nk1 时，7 分 ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak 2akak1， 2ak12ak.9 分 ak12ak 2 22 k1 2k 1 2 2 k11 2k . 当 nk1 时，结论成立11 分 由知猜想 an2 n1 2n 1(nN*)成立12 分 归纳猜想证明问题的一般步骤 第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论； 第二步：验证一般结论对第一个值 n0(n0N*)成立； 第三步：假设当 nk(kn0，kN*)时结论成立，证明当 nk1 时结论也成立； 第四步：下结论，由上可知结论对任意 nn0，nN*成立
