1、 12.1 随机事件的概率随机事件的概率 最新考纲 考情考向分析 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳 定性，了解概率的意义及频率与概率的区别 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概 率为主，常与事件的频率交汇考查本节内 容在高考中三种题型都有可能出现，随机事 件的频率与概率的题目往往以解答题的形式 出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常 常以选择、填空题的形式出现. 1概率和频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验， 观察某一事件 A 是否出现， 称 n 次试验中事件 A 出现的 次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn
2、(A)nA n 为事件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件 A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率会在某 个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性的大小， 并把这个常数称为随机事件 A 的概率，记作 P(A) 2事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事 件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) BA(或 AB) 相等关系 若 BA 且 AB AB 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生， 称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)
3、AB(或 AB) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生， 则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) AB(或 AB) 互斥事件 若 AB 为不可能事件(AB)，则称事件 A 与 事件 B 互斥 AB 对立事件 若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么 称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB， P(A)P(B)1 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0P(A)1. (2)必然事件的概率 P(E)1. (3)不可能事件的概率 P(F)0. (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B) (5)对立事件的概率
4、 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)1P(B) 知识拓展 互斥事件与对立事件的区别与联系 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立 事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是 互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)事件发生的频率与概率是相同的( ) (2)随机事件和随机试验是一回事( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生( ) (5)对立事件一定是互斥事件，互斥
5、事件不一定是对立事件( ) (6)两互斥事件的概率和为 1.( ) 题组二 教材改编 2P121T5一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A至多有一次中靶 B两次都中靶 C只有一次中靶 D两次都不中靶 答案 D 解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶” 3P82B 组 T1有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下： 11.5,15.5)，2；15.5,19.5)，4；19.5,23.5)，9；23.5,27.5)，18；27.5,31.5)，11；31.5,35.5)， 12；35.5,39.5)，7；39.5,43.5，3. 根据样本的
6、频率分布估计，数据落在27.5,43.5内的概率约是_ 答案 1 2 解析 由条件可知，落在27.5,43.5内的数据有 11127333(个)，故所求概率约是33 66 1 2. 题组三 易错自纠 4将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中“正面向上恰有 5 次”是( ) A必然事件 B随机事件 C不可能事件 D无法确定 答案 B 解析 抛掷 10 次硬币正面向上的次数可能为 010，都有可能发生，正面向上 5 次是随机事 件 5 (2017 洛阳统考)安排甲、 乙、 丙、 丁四人参加周一至周六的公益活动， 每天只需一人参加， 其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概
7、率为( ) A. 1 15 B.1 5 C.1 4 D.1 2 答案 B 解析 由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第 13 天，第 24 天，第 35 天，第 46 天，共四种情况，所求概率 P 4 A33 C36 A33 1 5.故选 B. 6(2018 济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 A抽到一等品，事件 B抽 到二等品，事件 C抽到三等品，且已知 P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件“抽 到的产品不是一等品”的概率为_ 答案 0.35 解析 事件 A抽到一等品，且 P(A)0.65， 事件“抽到的产品不是一等品”的概率为 P1P(A)10.650
8、.35. 题型一题型一 事件关系的判断事件关系的判断 1从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取 2 个球，以下给出了四组事件： 至少有 1 个白球与至少有 1 个黄球； 至少有 1 个黄球与都是黄球； 恰有 1 个白球与恰有 1 个黄球； 恰有 1 个白球与都是黄球 其中互斥而不对立的事件共有( ) A0 组 B1 组 C2 组 D3 组 答案 B 解析 中“至少有 1 个白球”与“至少有 1 个黄球”可以同时发生，如恰好 1 个白球和 1 个黄球，故两个事件不是互斥事件；中“至少有 1 个黄球”说明可以是 1 个白球和 1 个黄 球或 2 个黄球，故两个事件不互斥；中“恰有 1 个白球”与“恰
9、有 1 个黄球”都是指有 1 个白球和 1 个黄球，故两个事件是同一事件；中两事件不能同时发生，也可能都不发生， 因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选 B. 2 在 5 张电话卡中， 有 3 张移动卡和 2 张联通卡， 从中任取 2 张， 若事件“2 张全是移动卡” 的概率是 3 10，那么概率是 7 10的事件是( ) A至多有一张移动卡 B恰有一张移动卡 C都不是移动卡 D至少有一张移动卡 答案 A 解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡， 一张联通卡”， “两张全是联通卡”两个事件， 它是“2 张全是移动卡”的对立事件 3口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状相同的小球，
10、从中取出两个球，事件 A“取出 的两个球同色”，B“取出的两个球中至少有一个黄球”，C“取出的两个球中至少有一 个白球”，D“取出的两个球不同色”，E“取出的两个球中至多有一个白球”下列判 断中正确的序号为_ A 与 D 为对立事件；B 与 C 是互斥事件；C 与 E 是对立事件；P(CE)1；P(B) P(C) 答案 解析 当取出的两个球中一黄一白时，B 与 C 都发生，不正确；当取出的两个球中恰有一 个白球时，事件 C 与 E 都发生，不正确；显然 A 与 D 是对立事件，正确；CE 不一定 为必然事件，P(CE)1，不正确；P(B)4 5，P(C) 3 5，不正确 思维升华 (1)准确把
11、握互斥事件与对立事件的概念 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生 对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发 生 (2)判断互斥、对立事件的方法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事 件若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件 题型二题型二 随机事件的频率与概率随机事件的频率与概率 典例 (2017 全国)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售 价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经 验， 每天需求量与
12、当天最高气温(单位： )有关 如果最高气温不低于 25， 需求量为 500 瓶； 如果最高气温位于区间20,25)， 需求量为 300 瓶； 如果最高气温低于 20， 需求量为 200 瓶 为 了确定六月份的订购计划， 统计了前三年六月份各天的最高气温数据， 得下面的频数分布表： 最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸
13、奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最 高气温低于 25 的频率为21636 90 0.6， 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的 估计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温不低于 25，则 Y64504450900； 若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300； 若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100， 所以，Y 的所有可能值为 900,30
14、0，100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为 362574 90 0.8. 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8. 思维升华 (1)概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用 概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值 (2)随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于 某一个常数，这个常数就是概率 跟踪训练 (2018 沈阳模拟)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁
15、四 种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买. 商品 顾客人数 甲 乙 丙 丁 100 217 200 300 85 98 (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 200 1 0000.2. (2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时
16、购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为100200 1 000 0.3. (3)与(1)同理，可得 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 200 1 0000.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100200300 1 000 0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 100 1 0000.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大 题型三题型三 互斥、对立事件的概率互斥、对立事件的概率 命题点 1 互斥事件的概率 典例 (2016 北京改编)A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体
17、育锻炼情况，通过 分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)： A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)试估计 C 班的学生人数； (2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取 1 人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为 乙假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 解 (1)由题意及分层抽样可知，C 班学生人数约为 100 8 578100 8 2040. (2)设事件 Ai为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人”，i1,2
18、，5， 事件 Cj为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人”，j1,2，8. 由题意可知 P(Ai)1 5，i1,2，5；P(Cj) 1 8，j1,2，8. P(AiCj)P(Ai)P(Cj)1 5 1 8 1 40，i1,2，5，j1，2，8. 设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知， E A1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C 3A5C4. 因此 P(E)P(A1C1)P(A1C2)P(A2C1)P(A2C2)P(A2C3)P(A3C1)P(A3C2)P(A3C3) P(A4C1)P(A4C2)P
19、(A4C3)P(A5C1)P(A5C2)P(A5C3)P(A5C4)15 1 40 3 8. 命题点 2 对立事件的概率 典例 一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球从中随机取出 1 球，求： (1)取出 1 球是红球或黑球的概率； (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率 解 方法一 (利用互斥事件求概率) 记事件 A1任取 1 球为红球， A2任取 1 球为黑球，A3任取 1 球为白球，A4任取 1 球为绿球， 则 P(A1) 5 12，P(A2) 4 12 1 3，P(A3) 2 12 1 6， P(A4) 1 12. 根据题意知，事件 A1，A2
20、，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出 1 球是红球或黑球的概率为 P(A1A2)P(A1)P(A2) 5 12 4 12 3 4. (2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3) 5 12 4 12 2 12 11 12. 方法二 (利用对立事件求概率) (1)由方法一知， 取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球， 即 A1A2的对 立事件为 A3A4，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3) P(A4)1 2 12 1 12 3 4. (2)因为 A1A2A3的
21、对立事件为 A4， 所以 P(A1A2A3)1P(A4)1 1 12 11 12. 思维升华 求复杂事件的概率的两种方法 求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率 (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分 类较少， 可考虑利用对立事件的概率公式， 即“正难则反” 它常用来求“至少”或“至多” 型事件的概率 跟踪训练 某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样， 样本车辆中每辆车的赔付 结果统计如下： 赔付金额(元) 0 1 000 2 000
22、3 000 4 000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 (1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是新 司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率 解 (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元”，B 表示事件“赔付金额为 4 000 元”，以频 率估计概率得 P(A) 150 1 0000.15，P(B) 120 1 0000.12. 由于投保金额为 2 800 元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔
23、付金额为 3 000 元和 4 000 元，所以其概率为 P(A)P(B)0.150.120.27. (2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元”，由已知，可得样本车辆中车主为新司 机的有 0.11 000100(辆)，而赔付金额为 4 000 元的车辆中，车主为新司机的有 0.2120 24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为 24 1000.24，由频率估计 概率得 P(C)0.24. 用正难则反思想求对立事件的概率 典例 (12 分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息， 安排一名员工随机收集了在该超 市购物的 100 位顾客的相关数据
24、，如下表所示. 一次购物量 1至4件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率) 思想方法指导 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用 “正难则反”思想求解 规范解答 解 (1)由已知得 25y1055，x3045， 所以 x15，y20.2 分
25、该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体， 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次 购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为 1151.5302252.520310 100 1.9(分钟)6 分 (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾 客一次购物的结算时间为 2.5 分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”，将频率视 为概率，得 P(A1) 20 100 1 5，P(A2) 10 100 1 10.9 分 P(A)1P(A1)P(A2)11 5 1 10 7 10.11 分 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 7 10.12 分
