1、 9.6 双曲线双曲线 最新考纲 考情考向分析 了解双曲线的定义、几何图 形和标准方程，知道其简单 的几何性质(范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线). 主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参 数 a，b，c 及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线 是重点以选择、填空题为主，难度为中低档一般不再 考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容 及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质. 1双曲线定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲 线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 集合 PM|MF
2、1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0. (1)当 2a|F1F2|时，P 点不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(a0，b0) y2 a2 x2 b21(a0，b0) 图形 性 质 范围 xa 或 xa，yR xR，ya 或 ya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0) A1(0，a)，A2(0，a) 渐近线 y b ax y a bx 离心率 ec a，e(1，)，其中 c a 2b2 实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a，线段 B1B2叫做双曲线的 虚轴，它
3、的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半 轴长 a，b，c 的关系 c2a2b2 (ca0，cb0) 知识拓展 巧设双曲线方程 (1)与双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为 x2 a2 y2 b2t(t0) (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2 m y2 n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线( ) (3)双曲线方程x 2 m2 y2 n2(m0，n0，0)的渐近线方程是 x2 m2 y2 n20，即 x m y n0.( ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (5)若双曲线x 2 a2 y2 b
4、21(a0， b0)与 x2 b2 y2 a21(a0， b0)的离心率分别是 e1， e2， 则 1 e21 1 e221(此 条件中两条双曲线称为共轭双曲线)( ) 题组二 教材改编 2P61T1若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线 的离心率为( ) A. 5 B5 C. 2 D2 答案 A 解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长， 双曲线的渐近线方程为x a y b0， 即 bx ay 0， 2a bc a2b2b.又 a 2b2c2，5a2c2. e2c 2 a25，e 5. 3P62A 组 T6经过点 A(3，1)，且对称
5、轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 答案 x2 8 y2 81 解析 设双曲线的方程为x 2 a2 y2 a2 1(a0)， 把点 A(3，1)代入，得 a28(舍负)， 故所求方程为x 2 8 y2 81. 题组三 易错自纠 4 (2016 全国)已知方程 x2 m2n y2 3m2n1 表示双曲线， 且该双曲线两焦点间的距离为 4， 则 n 的取值范围是( ) A(1,3) B(1， 3) C(0,3) D(0， 3) 答案 A 解析 方程 x2 m2n y2 3m2n1 表示双曲线， (m2n) (3m2n)0，解得m20)的一条渐近线经过点(3， 4)， 则此双曲线的离心率为( ) A
6、. 7 3 B.5 4 C. 4 3 D. 5 3 答案 D 解析 由条件知 yb ax 过点(3，4)， 3b a 4， 即 3b4a，9b216a2，9c29a216a2， 25a29c2，e5 3.故选 D. 6已知双曲线过点(4， 3)，且渐近线方程为 y 1 2x，则该双曲线的标准方程为_ 答案 x2 4y 21 解析 由双曲线的渐近线方程为 y 1 2x，可设该双曲线的标准方程为 x2 4y 2(0)，已知 该双曲线过点(4， 3)，所以4 2 4 ( 3)2，即 1，故所求双曲线的标准方程为x 2 4y 21. 题型一题型一 双曲线的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程 命题点
7、1 利用定义求轨迹方程 典例 (2018 大连调研)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_ 答案 x2y 2 81(x1) 解析 如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点 M 到两定点 C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|6. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的
8、左支(点 M 与 C2的距离大，与 C1的距离 小)， 其中 a1，c3，则 b28. 故点 M 的轨迹方程为 x2y 2 81(x1) 命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程 典例 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为5 4； (2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)； (3)经过两点 P(3,2 7)和 Q(6 2，7) 解 (1)设双曲线的标准方程为 x2 a2 y2 b21 或 y2 a2 x2 b21(a0，b0) 由题意知，2b12，ec a 5 4， b6，c10，a8. 双曲线的标准方程为x 2 64 y2 361 或 y2 64 x2 361
9、. (2)双曲线经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12. 又 2c26，c13，b2c2a225. 双曲线的标准方程为 y2 144 x2 251. (3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0) 9m28n1， 72m49n1， 解得 m 1 75， n 1 25. 双曲线的标准方程为y 2 25 x2 751. 命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题 典例 已知F1， F2为双曲线C： x2y22的左、 右焦点， 点P在C上， |PF1|2|PF2|， 则cosF1PF2 _. 答案 3 4 解析 由双曲线的定义有 |PF1|PF2|PF2
10、|2a2 2， |PF1|2|PF2|4 2， 则 cosF1PF2|PF1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2 2|PF1| |PF2| 4 2 22 2242 24 22 2 3 4. 引申探究 1本例中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260 ”，则F1PF2的面积是多少？ 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|PF2|2a2 2， 在F1PF2中，由余弦定理，得 cosF1PF2|PF1| 2|PF 2| 2|F 1F2| 2 2|PF1| |PF2| 1 2， |PF1| |PF2|8， 12 F PF S1 2|PF1| |PF2| sin 60 2
11、 3. 2本例中，若将条件“|PF1|2|PF2|”改为“PF1 PF2 0”，则F1PF2的面积是多少？ 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上， 则|PF1|PF2|2a2 2， PF1 PF2 0，PF1 PF2 ， 在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|216， |PF1| |PF2|4， 12 F PF S1 2|PF1| |PF2|2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要 求可求出双曲线方程 (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1PF2|2a，运用平方 的方法，
12、建立与|PF1| |PF2|的联系 (3)利用待定系数法求双曲线方程要先定形，再定量，如果已知双曲线的渐近线方程，可设有 公共渐近线的双曲线方程为x 2 a2 y2 b2(0)，再由条件求出 的值即可 跟踪训练 (1)(2018 沈阳调研)设椭圆 C1的离心率为 5 13，焦点在 x 轴上且长轴长为 26，若曲线 C2上的点到椭圆 C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C2的标准方程为 _ 答案 x2 16 y2 91 解析 由题意知椭圆 C1的焦点坐标为 F1(5,0)，F2(5，0)，设曲线 C2上的一点 P，则|PF1| |PF2|8. 由双曲线的定义知，a4，b3. 故曲线
13、 C2的标准方程为x 2 42 y2 321. 即x 2 16 y2 91. (2)(2016 天津)已知双曲线x 2 4 y2 b21(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆 与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方 程为( ) A.x 2 4 3y2 4 1 B.x 2 4 4y2 3 1 C.x 2 4 y2 41 D.x 2 4 y2 121 答案 D 解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 y b 2x，圆的方程为 x 2y24， 联立 x2y24， yb 2x， 解得 x 4 4b2， y 2b 4b2 或 x 4 4
14、b2， y 2b 4b2， 即第一象限的交点为 4 4b2， 2b 4b2 . 由双曲线和圆的对称性得四边形 ABCD 为矩形， 其相邻两边长为 8 4b2， 4b 4b2， 故 84b 4b2 2b，得 b212. 故双曲线的方程为x 2 4 y2 121.故选 D. 题型二题型二 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 典例 (1)已知 F1，F2是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两个焦点，P 是 C 上一点，若|PF1| |PF2|6a，且PF1F2最小内角的大小为 30 ，则双曲线 C 的渐近线方程是( ) A. 2x y0 Bx 2y0 Cx 2y0 D2x y0 答
15、案 A 解析 由题意，不妨设|PF1|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2| 6a，解得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|F1F2|2c，而 ca，所以有|PF2|0，b0) 中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k b a满足关系式 e 21k2. 跟踪训练 (2016 全国)已知 F1，F2是双曲线 E：x 2 a2 y2 b21 的左、右焦点，点 M 在 E 上， MF1与 x 轴垂直，sinMF2F11 3，则 E 的离心率为( ) A. 2 B.3 2 C. 3 D2 答案 A 解析 离心率 e |F1F2| |MF2|MF1|
16、， 由正弦定理得 e |F1F2| |MF2|MF1| sin F1MF2 sinMF1F2sinMF2F1 2 2 3 11 3 2. 故选 A. 题型三题型三 直线与双曲线的综合问题直线与双曲线的综合问题 典例 (2018 福州模拟)已知直线 ykx1 和双曲线 x2y21 的右支交于不同两点， 则 k 的取 值范围是_ 答案 (1， 2) 解析 由直线 ykx1 和双曲线 x2y21 联立方程组，消 y 得(1k2)x22kx20， 因为该方程有两个不等且都大于 1 的根， 所以 1k20， 4k281k20， k 1k21， 1k22k21k20， 解得 10， 16k2401k20， 解得 k 15 3 ，1 . 故选 D. 答案 D 纠错心得 (1)“判别式 0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法 (2)直线与圆锥曲线的交点问题往往需考虑圆锥曲线的几何性质，数形结合求解
