1、第 1 页 共 9 页 中考中考冲刺冲刺：代数综合问题代数综合问题知识讲解（基础）知识讲解（基础） 【中考展望中考展望】 初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元 二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的 关键在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的 方法找到解决问题的突破口通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领 悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力 【方法点拨方法点拨】 (1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；
2、(2)认识综合题的结构是解综合题的前提； (3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键； (4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心 * 审题(读题、断句、找关键)； * 先宏观(题型、知识块、方法)； 后微观(具体条件，具体定理、公式) * 由已知，想可知(联想知识)； 由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合； * 观察挖掘题目结构特征； 联想联系相关知识网络； 突破抓往关键实现突破； 寻求学会寻求解题思路 (5)准确计算，严密推理是解综合题的保证 【典型例题】【典型例题】 类型一、方程与不等式综合类型一、方程与不等式综合 1已知方程组 2323 , 3421. xya xya 的解满
3、足 0, 0. x y 求 a 的取值范围 【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题 【答案与解析】 解： 2323 3421 xya xya 32 得：y13a4 43 得：x18a5 由题意令 x0，y0 得： 1850, 1340. a a 54 1813 a. 【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解 第 2 页 共 9 页 2m 为何值时， 22 2(2)21xmxmm是完全平方式？ 【思路点拨】 本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以 完全平方式形式在方
4、程和函数中又被赋予了独有的含义因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平 方式不同角度的理解 【答案与解析】 解：解法 1：待定系数法 设原式x-(m-2) 2x2-2(m-2)x+m2-4m+4 所以 m 2+2m+lm2-4m+4， 1 2 m ； 解法 2：配方法 原式 2222 2(2)(2)(2)21xmxmmmm x-(m-2) 2+6m-3，6m-30， 1 2 m ； 解法 3：判别式法 因为是完全平方式，所以方程 22 2(2)210xmxmm 有两等根， -2(m-2) 24(m2+2m+1)0， 1 2 m ； 解法 4：因为是完全平方式， 所以令 22 2(2)21yxm
5、xmm， 所以抛物线顶点在 x 轴上， 2 4 0 4 acb a ， 22 4(21)4(2) 0 4 mmm ，630m ， 1 2 m 【总结升华】 对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不 定，从函数的角度解决问题解决问题的角度不同，但结果是相同的 类型二类型二、方程与函数综合方程与函数综合 3请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题： 第 3 页 共 9 页 (1)分别写出 1 l， 2 l中变量 y 随 x 变化而变化的情况； (2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件 【思路点拨】 本题是一次函数与二元一次方程组的综合题本题
6、考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交 点与方程组的解的关系 【答案与解析】 解：(1) 1: ly的值随 x 的增大而增大； 2: ly的值随 x 的增大而减小 (2)设直线 1 l， 2 l的函数表达式分别为 11 ya xb， 22 ya xb， 由题意得 11 1 1 1 ab b ， 22 22 1 30 ab ab 解得： 1 1 2 1 a b ， 2 2 1 2 3 2 a b 直线 1 l， 2 l的函数表达式分别为21yx， 13 22 yx 所求的方程组为 21 13 22 yx yx 【总结升华】 利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想 举一反三：
7、举一反三： 【变式变式】已知：如图，平行于 x 轴的直线 ya(a0)与函数 yx 和函数 x y 1 的图象分别交于点 A 和点 B，又有定点 P(2，0) 第 4 页 共 9 页 (1)若 a0，且 9 1 tanPOB，求线段 AB 的长； (2)在过 A，B 两点且顶点在直线 yx 上的抛物线中，已知线段 3 8 AB，且在它的对称轴左边时，y 随着 x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式； (3)已知经过 A，B，P 三点的抛物线，平移后能得到 2 5 9 xy 的图象，求点 P 到直线 AB 的距离 【答案】 解：解： （1）设第一象限内的点 B（m,n） ，则 1 tan
8、9 n POB m ，得 m=9n，又点 B 在函数 1 y x 的图象上， 得 1 n m ，所以 m=3（3 舍去） ，点 B 为 1 (3, ) 3 ， 而 ABx 轴，所以点 A 1 1 ( , ) 3 3 ，所以 18 3 33 AB （2）由条件可知所求抛物线开口向下，设点 A（a ,a） ， B（ 1 ,a a ），则 18 3 ABa a , 所以0383 2 aa，解得 3 1 3aa或 . 当 a =3 时，点 A（3，3） ，B 1 (, 3) 3 ，因为顶点在 y = x 上，所以顶点为 55 (,) 33 ， 所以可设二次函数为 2 55 () 33 yk x，点 A
9、 代入，解得 3 4 k , 所以所求函数解析式为 2 355 () 433 yx . 同理，当 1 3 a 时，所求函数解析式为 2 355 () 433 yx ； （3）设 A（a , a） ，B（ 1 ,a a ），由条件可知抛物线的对称轴为 1 22 a x a . 设所求二次函数解析式为： 91 (2)()2 5 yxxa a . 第 5 页 共 9 页 点 A(a,a)代入，解得3 1 a， 13 6 2 a ，所以点 P 到直线 AB 的距离为 3 或 6 13 4 已知关于 x 的方程 03) 13( 2 xmmx. （1）求证: 不论 m 为任何实数, 此方程总有实数根； （
10、2）若抛物线 2 313ymxmx与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线 的解析式； （3）若点 P),( 11 yx与 Q),( 21 ynx 在（2）中抛物线上 (点 P、Q 不重合), 且 y1=y2, 求代数式 8165124 2 1 2 1 nnnxx的值. 【思路点拨】 （1）分别讨论当 m=0 和 m0 的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断； （2）令 y=0，则 mx 2+（3m+1）x+3=0，求出两根，再根据抛物线 y=mx2+（3m+1）x+3 与 x 轴交于两个 不同的整数点，且 m 为正整数，求出 m 的值； （3）点 P（x1，
11、y1）与 Q（x1+n，y2）在抛物线上，求出 y1和 y2，y1和 y2相等，求出 n（2x1+n+4）=0， 然后整体代入求出代数式的值 【答案与解析】 解：解：（1）当 m=0 时，原方程化为 x+3=0，此时方程有实数根 x=-3 当 m0 时，原方程为一元二次方程 =（3m+1） 2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）20 此时方程有两个实数根 综上，不论 m 为任何实数时，方程 mx 2+（3m+1）x+3=0 总有实数根 （2）令 y=0，则 mx 2+（3m+1）x+3=0 解得 x1=-3，x2= 1 m 抛物线 y=mx 2+（3m+1）x+3 与 x 轴交于两个不同的
12、整数点，且 m 为正整数， m=1 抛物线的解析式为 y=x 2+4x+3 （3）点 P（x1，y1）与 Q（x1+n，y2）在抛物线上， y1=x1 2+4x 1+3，y2=(x1+n) 2+4(x 1+n)+3 y1=y2， x1 2+4x 1+3=(x1+n) 2+4(x 1+n)+3 可得 2x1n+n 2+4n=0 即 n（2x1+n+4）=0 点 P，Q 不重合， n0 2x1=-n-4 4 2 1 x+12x1n+5n 2+16n+8=(2x 1) 2+2x 16n+5n 2+16n+8=（n+4）2+6n（-n-4）+5n2+16n+8=24 第 6 页 共 9 页 【总结升华
13、】 本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题 难度不大，第三问需要整体代入 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知关于 x 的一元二次方程 x 2(m3)xm10 (1)求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若 x1、x2是原方程的两根，且|x1x2|22，求 m 的值和此时方程的两根 【答案】 解： （1）证明：由关于 x 的一元二次方程 x 2(m3)xm10 得 =（m+3） 24（m+1）=（m+1）2+4， 无论 m 取何值， （m+1） 24 恒大于 0， 原方程总有两个不相等的实数根. （2）x1，x2是原方程的
14、两根，x1+x2=（m+3） ，x1x2=m+1. |x1x2|22， （x1x2） 2=8，即（x 1x2） 24x 1x2=8. （m+3） 24（m+1）=8，即 m22m3=0. 解得：m1=3，m2=1. 当 m=3 时，原方程化为：x 22=0，解得：x 1=2 ，x2=2. 当 m=1 时，原方程化为：x 24x2=0，解得：x 1=2+2 ，x2=22. 类型三、类型三、以代数为主的综合题以代数为主的综合题 5如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为 C(1，0)，直线 yx+m 与该二次函数的图象交于 A， B 两点，其中 A 点的坐标为(3，4)，B 点在 y 轴上 (1)求
15、 m 的值及这个二次函数的解析式； (2)P 为线段 AB 上的一个动点(点 P 与 A，B 不重合)，过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于 第 7 页 共 9 页 E 点，设线段 PE 的长为 h，点 P 的横坐标为 x，求 h 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范 围； (3)D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 AB 上是否存在一点 P，使得四边形 DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时 P 点的坐标；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 本题是一道函数综合题，考查二次函数、一次函数解析式的求法，函数关系式的建立 【答案与解析】 解：(1
16、)点 A(3，4)在直线 yx+m 上， 43+m m1 设所求二次函数的关系式为 2 (1)ya x 点 A(3，4)在二次函数 2 (1)ya x的图象上， 4a(3-1) 2 a1 所求二次函数的关系式为 2 (1)yx即 2 21yxx (2)设 P，E 两点的纵坐标分别为 p y和 E y |() PEPE PEhyyyy (x+1)(x 22x+1) x 2+3x 即 2 3 (03)hxxx (3)存在 要使四边形 DCEP 是平行四边形，必有 PEDC 点 D 在直线 yx+1 上， 点 D 的坐标为(1，2)， 2 32xx 即 2 320xx 解之，得 1 2x ， 2 1
17、x ( 2 x不合题意，舍去) 当 P 点的坐标为(2，3)时，四边形 DCEP 是平行四边形 【总结升华】 若两点在平行于 x 轴或平行于 y 轴的直线上，则这两点间的距离可用它们的横坐标或纵坐标的差的 绝对值来表示 举一反三：举一反三： 【变式变式】如图，已知二次函数 2 4yaxxc的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点B（0，-5） （1）求该二次函数的解析式； 第 8 页 共 9 页 （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长最小请求出点P的坐标 【答案】 解： （1）根据题意，得 .0405 ,) 1(4) 1(0 2 2 ca ca 解得 . 5 , 1 c a
18、 二次函数的表达式为54 2 xxy （2）令y=0，得二次函数54 2 xxy的图象与x轴的另一个交点坐标C（5, 0）. 由于P是对称轴2x上一点， 连结AB，由于26 22 OBOAAB， 要使ABP的周长最小，只要PBPA最小. 由于点A与点C关于对称轴2x对称，连结BC交对称轴于点P， 则PBPA= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PBPA的最小值为BC. 因而BC与对称轴2x的交点P就是所求的点. 第 9 页 共 9 页 设直线BC的解析式为bkxy，根据题意，可得 .50 , 5 bk b 解得 . 5 , 1 b k 所以直线BC的解析式为5 xy 因此直线BC与对称轴2x的交点坐标是方程组 5 , 2 xy x 的解，解得 . 3 , 2 y x 所求的点P的坐标为（2，-3）.
