1、第 1 页 共 11 页 中考总复习：中考总复习：分式与二次根式分式与二次根式知识讲解（知识讲解（提高提高） 【考纲要求】【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运 算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二 次根式的运算 【知识网络】【知识网络】 第 2 页 共 11 页 【考点梳理】【考点梳理】 考点考点一、分式的有关概念及性质一、分式的有关概念及性质 1 1分式分式 设 A、B 表示两个
2、整式如果 B 中含有字母，式子就叫做分式注意分母 B 的值不能为零，否则 分式没有意义. 2 2. .分式的基本性质分式的基本性质 （M 为不等于零的整式）. 3 3最简分式最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释：要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还 含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为 0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断 （4）分式有无
3、意义的条件：在分式中， 当B0 时，分式有意义；当分式有意义时，B0 当B=0 时，分式无意义；当分式无意义时，B=0 当B0 且A = 0 时，分式的值为零 考点考点二、分式的运算二、分式的运算 1 1基本运算法则基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 = 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相
4、乘. （4）乘方运算 （分式乘方） 第 3 页 共 11 页 分式的乘方，把分子分母分别乘方 2 2零指数零指数 . 3 3负整数指数负整数指数 4 4分式的混合运算顺序分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 5 5约分约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等； (2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公 因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积
5、 6 6通分通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 通分注意事项： (1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次 幂的积 (2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉 (3)确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 要点诠释：要点诠释： 分式运算的常用技巧 （1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如 果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减
6、,顺序运算下去,极为简便. (2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为 1 的整式看做一个整体进行通 分,依此方法计算,运算简便. (3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较 多的，无法进行通分，因此，常用分式 111 (1)1n nnn 进行裂项. (4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能 出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便. (5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简， 再相加减. （6）倒数法求值（取
7、倒数法）. （7）活用分式变形求值. (8)设k求值法(参数法) (9)整体代换法. 第 4 页 共 11 页 (10)消元代入法. 考点考点三、分式方程及其应用三、分式方程及其应用 1 1分式方程的概念分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2 2分式方程的解法分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 3 3分式方程的增根问题分式方程的增根问题 (1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程 中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会
8、 出现不适合原方程的根-增根； (2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根验根的方法是将所得的根带 入到最简公分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程的解 4 4分式方程的应用分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些解题时应抓住“找等 量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而 正确列出方程，并进行求解另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的 合理性 要点诠释：要点诠释： 解分式方程注意事项： （1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；
9、 （2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为 0， 如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程的解 列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审仔细审题，找出等量关系； (2)设合理设未知数； (3)列根据等量关系列出方程； (4)解解出方程； (5)验检验增根； (6)答答题 考点考点四、四、二次根式的主要性质二次根式的主要性质 1.0 (0)aa； 2. 2 (0)aa a； 第 5 页 共 11 页 3. 2 (0) | (0) aa aa a a ； 4. 积的算术平方根的性质：(00)abab ab，； 5. 商的算术平方根的性质：(00) aa
10、 ab b b ，. 6.若0ab，则ab. 要点诠释：要点诠释： 与与的异同点： （1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实 数但与都是非负数，即，因而它的运算的结果是有差别的， ，而 （2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义， 而. 考点考点五、二次根式的运算五、二次根式的运算 1 1二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广： 1231
11、23123 (0000) nnn aaaaaaaaaaaa， 2 2二次根式的加减运算二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3 3二次根式的混合运算二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括 号，应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法 则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释：要点诠释： 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 第 6 页 共 11 页 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除
12、，最后算加减，有括号先算括号里面的； 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径， 往往能收到事半功倍的效果. (1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难 点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达 到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如 8 26 27 ，没有必要先对 8 27 进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行 乘法运算， 884 266262 3 27273
13、 ，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如： 22 3232321，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4 4分母有理化分母有理化 把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的 积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式： （1）aa与互为有理化因式； （2）abab与互为有理化因式；一般地ac bac b与互为有理化因式； （3）abab与互为有理化因式；一般地c ad bad b与c互为有理化因式. 【典型例题】【
14、典型例题】 类型一、分式的意义类型一、分式的意义 1若分式 2 1 1 x x 的值为 0，则x的值等于 【答案】1； 【解析】由分式的值为零的条件得 2 x1=0，x+10， 由 2 x1=0，得x=1 或x=1， 由x+10，得x1， x=1， 故答案为 1 【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件： （1）分子为 0； （2）分母不为 0这两个条件缺 一不可 举一反三：举一反三： 第 7 页 共 11 页 【变式变式 1 1】如果分式 2 327 3 x x 的值为 0，则 x 的值应为 . 【答案】由分式的值为零的条件得 3x 2-27=0 且 x-30， 由 3x 2-27=0
15、，得 3（x+3） （x-3）=0， x=-3 或 x=3， 由 x-30，得 x3 综上，得 x=-3，分式 2 327 3 x x 的值为 0故答案为：-3 【变式变式 2 2】若分式 mxx2 1 2 不论x取何实数总有意义，则m的取值范围是 【答案】若分式 mxx2 1 2 不论x取何实数总有意义，则分母 2 2xxm0， 设 2 2yxxm，当0 即可，440,1mm. 答案 m1. 类型二、分式的性质类型二、分式的性质 2已知, bccaab abc 求 () abc abbcca 的值. 【答案与解析】 设 bccaab k abc , 所以,bcak cabk abck 所以,
16、bccaabakbkck 所以2()(),()(2)0,abck abcabck 即2k 或()0,abc 当2k ,所求代数式 33 11 8 abc abckk , 当0abc ,所求代数式1 . 即所求代数式等于 1 8 或1. 【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k法求解. 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知 111 111 111 , 6915abbcac 求 abc abbcac 的值. 第 8 页 共 11 页 【答案】 因为 111 111 111 , 6915abbcac 各式可加得 111111 2, 6915abc 所以 11131 180abc ， 所以 (
17、)1180 . 111 ()()31 abcabcabc abbcacabbcacabc cab 类类型三、分式的运算型三、分式的运算 3已知1, xyz yzzxxy 且0xyz,求 222 xyz yzxzxy 的值. 【答案与解析】 因为0xyz, 所以原等式两边同时乘以xyz,得: ()() . x xyzy xyzz xyz xyz yzzxxy ） 即 222 ()()() , xx yzyy zxzz xy xyz yzyzzxzxxyxy 所以 222 (), xyz xyzxyz yzzxxy 所以 222 0. xyz yzzxxy 【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知
18、条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这 样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想. 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】已知, xyz abc yzxzxy 且abco,求 111 abc abc 的值. 【答案】 由已知得 1 , yz ax 第 9 页 共 11 页 所以 1 11, yzxyz axx 即 1axyz ax , 所以 1 ax axyz , 同理, 11 bycz bxyz cxyz 所以1 111 abcxyzxyz abcxyzxyzxyzxyz . 【变式变式 2 2】已知xy=4，xy=12，求 1 1 x
19、y 1 1 y x 的值 【答案】原式 ) 1)(1( ) 1() 1( 22 yx xy = = 1 1212 22 yxxy xxyy 1)( 2)(22)( 2 yxxy yxxyyx 将xy4，xy12 代入上式， 原式 15 34 1412 2)4(224)4( 2 类型四、分式方程及应用类型四、分式方程及应用 4a何值时,关于x的方程 2 23 242 ax xxx 会产生增根? 【答案与解析】 方程两边都乘以(2)(2)xx,得2(2)3(2).xaxx 整理得(1)10ax . 当a = 1 时,方程无解. 当1a 时, 10 1 x a . 如果方程有增根,那么(2)(2)0
20、xx,即2x或2x. 当2x时, 10 2 1a ,所以4a ; 当2x时, 10 2 1a ,所以a = 6 . 所以当4a 或a = 6 原方程会产生增根. 【总结升华】 因为所给方程的增根只能是2x或2x，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出 其根，然后求a的值. 第 10 页 共 11 页 5甲乙两人准备整理一批新到的实验器材若甲单独整理需要 40 分钟完工：若甲乙 共同整 理 20 分钟后，乙需再单独整理 20 分钟才能完工 （1）问乙单独整理多少分钟完工？ （2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过 30 分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？ 【答案与解析】 （1）设乙单独整理x分
21、钟完工，根据题意得： 1 2020 40 20 x 解得x80， 经检验x80 是原分式方程的解 答：乙单独整理 80 分钟完工 （2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得 1 4080 30 y 解得：y25 答：甲至少整理 25 分钟完工 【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键此题等量关系比较 多，主要用到公式：工作总量工作效率工作时间 （1）将总的工作量看作单位 1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可； （2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过 30 分钟，列出一次不等式解之即可 举一反三：举一反三： 【变式变式】小明乘出租车去体育场，有两条路
22、线可供选择：路线一的全程是 25 千米，但交通比较拥堵， 路线二的全程是 30 千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高 80%，因此能比走路线一少 用 10 分钟到达若设走路线一时的平均速度为 x 千米/小时，根据题意，得（ ） A 00 253010 (1 8060xx ） B 00 2530 10 (1 80xx ） C 00 302510 (1 8060xx ） D 00 3025 10 (1 80xx ） 【答案】 设走路线一时的平均速度为x千米/小时， 00 253010 (1 8060xx ） 故选 A 类型五、二次根式的定义及性质类型五、二次根式的定义及性质 6要使式子 a
23、a2 有意义，则 a 的取值范围为 【答案】a2 且 a0 第 11 页 共 11 页 【解析】根据题意得：a+20 且 a0， 解得：a2 且 a0 故答案为：a2 且 a0 【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数可以求出 x 的范围 类型六、二次根式的运算类型六、二次根式的运算 7 22019 (2 33 2)(52 6)(52 6) 【答案与解析】 原式 19 (12 12 618)(52 6)(5+2 6 ）(52 6) =30-126+5-26 . 61435 【总结升华】此题关键是 2019 (52 6)(52 6)变为 19 (52 6)(5+2 6 ）(52 6)=5-26.
