北京四中数学中考总复习:分式与二次根式---知识讲解(提高)

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1、第 1 页 共 11 页 中考总复习:中考总复习:分式与二次根式分式与二次根式知识讲解(知识讲解(提高提高) 【考纲要求】【考纲要求】 1. 了解分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行分式的加、减、乘、除、乘方运 算;能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程,会解简单的可化为一元一次方程的分式方程; 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简,运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二 次根式的运算 【知识网络】【知识网络】 第 2 页 共 11 页 【考点梳理】【考点梳理】 考点考点一、分式的有关概念及性质一、分式的有关概念及性质 1 1分式分式 设 A、B 表示两个

2、整式如果 B 中含有字母,式子就叫做分式注意分母 B 的值不能为零,否则 分式没有意义. 2 2. .分式的基本性质分式的基本性质 (M 为不等于零的整式). 3 3最简分式最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式,要进行约分化简. 要点诠释:要点诠释: 分式的概念需注意的问题: (1)分式是两个整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分数线则可以理解为除号,还 含有括号的作用; (2)分式中,A和B均为整式,A可含字母,也可不含字母,但B中必须含有字母且不为 0; (3)判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形,只根据它的原有形式进行判断 (4)分式有无

3、意义的条件:在分式中, 当B0 时,分式有意义;当分式有意义时,B0 当B=0 时,分式无意义;当分式无意义时,B=0 当B0 且A = 0 时,分式的值为零 考点考点二、分式的运算二、分式的运算 1 1基本运算法则基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: (1)加减运算 = 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减. ; 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法则进行计算. (2)乘法运算 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. (3)除法运算 两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相

4、乘. (4)乘方运算 (分式乘方) 第 3 页 共 11 页 分式的乘方,把分子分母分别乘方 2 2零指数零指数 . 3 3负整数指数负整数指数 4 4分式的混合运算顺序分式的混合运算顺序 先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的 5 5约分约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分 约分需明确的问题: (1)对于一个分式来说,约分就是要把分子与分母都除以同一个因式,使约分前后分式的值相等; (2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式,其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公 因式的思考过程相似;在此,公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积

5、 6 6通分通分 根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分 通分注意事项: (1)通分的关键是确定最简公分母;最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次 幂的积 (2)不要把通分与去分母混淆,本是通分,却成了去分母,把分式中的分母丢掉 (3)确定最简公分母的方法: 最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数; 最简公分母的字母,取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 要点诠释:要点诠释: 分式运算的常用技巧 (1)顺序可加法:有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如 果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减

6、,顺序运算下去,极为简便. (2)整体通分法:当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为 1 的整式看做一个整体进行通 分,依此方法计算,运算简便. (3)巧用裂项法:对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减,分式的项数是比较 多的,无法进行通分,因此,常用分式 111 (1)1n nnn 进行裂项. (4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能 出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便. (5)化简分式法:有些分式的分子、分母都异常时如果先通分,运算量很大.应先把每一个分别化简, 再相加减. (6)倒数法求值(取

7、倒数法). (7)活用分式变形求值. (8)设k求值法(参数法) (9)整体代换法. 第 4 页 共 11 页 (10)消元代入法. 考点考点三、分式方程及其应用三、分式方程及其应用 1 1分式方程的概念分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2 2分式方程的解法分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 3 3分式方程的增根问题分式方程的增根问题 (1)增根的产生:分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件,当把分式方程转化为整式方程后,方程 中未知数允许取值的范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0,那么就会

8、 出现不适合原方程的根-增根; (2)验根:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根验根的方法是将所得的根带 入到最简公分母中,看它是否为 0,如果为 0,即为增根,不为 0,就是原方程的解 4 4分式方程的应用分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些解题时应抓住“找等 量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而 正确列出方程,并进行求解另外,还要注意从多角度思考、分析、解决问题,注意检验、解释结果的 合理性 要点诠释:要点诠释: 解分式方程注意事项: (1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆;

9、 (2)解完分式方程必须进行检验,验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为 0, 如果为 0,即为增根,不为 0,就是原方程的解 列分式方程解应用题的基本步骤: (1)审仔细审题,找出等量关系; (2)设合理设未知数; (3)列根据等量关系列出方程; (4)解解出方程; (5)验检验增根; (6)答答题 考点考点四、四、二次根式的主要性质二次根式的主要性质 1.0 (0)aa; 2. 2 (0)aa a; 第 5 页 共 11 页 3. 2 (0) | (0) aa aa a a ; 4. 积的算术平方根的性质:(00)abab ab,; 5. 商的算术平方根的性质:(00) aa

10、 ab b b ,. 6.若0ab,则ab. 要点诠释:要点诠释: 与与的异同点: (1)不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数 a 的算术平方根的平方,而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根;在中,而中 a 可以是正实数,0,负实 数但与都是非负数,即,因而它的运算的结果是有差别的, ,而 (2)相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义, 而. 考点考点五、二次根式的运算五、二次根式的运算 1 1二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求:应为最简二次根式或有理式;分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理; (3)乘法公式的推广: 1231

11、23123 (0000) nnn aaaaaaaaaaaa, 2 2二次根式的加减运算二次根式的加减运算 先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质; 3 3二次根式的混合运算二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,如有括 号,应先算括号里面的; (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处,整式、分式中的运算律、运算法 则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释:要点诠释: 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 第 6 页 共 11 页 1.明确运算顺序,先算乘方,再算乘除

12、,最后算加减,有括号先算括号里面的; 2.在二次根式的混合运算中,原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用; 3.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径, 往往能收到事半功倍的效果. (1)加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算,使难 点分散,易于理解和掌握.在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简,可以先乘除,进行约分,达 到化简的目的,但最后结果一定要化简. 例如 8 26 27 ,没有必要先对 8 27 进行化简,使计算繁琐,可以先根据乘法分配律进行 乘法运算, 884 266262 3 27273

13、 ,通过约分达到化简目的; (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如: 22 3232321,利用了平方差公式. 所以,在进行二次根式的混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化. 4 4分母有理化分母有理化 把分母中的根号化去,分式的值不变,叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的 积不含二次根式,则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式: (1)aa与互为有理化因式; (2)abab与互为有理化因式;一般地ac bac b与互为有理化因式; (3)abab与互为有理化因式;一般地c ad bad b与c互为有理化因式. 【典型例题】【

14、典型例题】 类型一、分式的意义类型一、分式的意义 1若分式 2 1 1 x x 的值为 0,则x的值等于 【答案】1; 【解析】由分式的值为零的条件得 2 x1=0,x+10, 由 2 x1=0,得x=1 或x=1, 由x+10,得x1, x=1, 故答案为 1 【总结升华】若分式的值为零,需同时具备两个条件: (1)分子为 0; (2)分母不为 0这两个条件缺 一不可 举一反三:举一反三: 第 7 页 共 11 页 【变式变式 1 1】如果分式 2 327 3 x x 的值为 0,则 x 的值应为 . 【答案】由分式的值为零的条件得 3x 2-27=0 且 x-30, 由 3x 2-27=0

15、,得 3(x+3) (x-3)=0, x=-3 或 x=3, 由 x-30,得 x3 综上,得 x=-3,分式 2 327 3 x x 的值为 0故答案为:-3 【变式变式 2 2】若分式 mxx2 1 2 不论x取何实数总有意义,则m的取值范围是 【答案】若分式 mxx2 1 2 不论x取何实数总有意义,则分母 2 2xxm0, 设 2 2yxxm,当0 即可,440,1mm. 答案 m1. 类型二、分式的性质类型二、分式的性质 2已知, bccaab abc 求 () abc abbcca 的值. 【答案与解析】 设 bccaab k abc , 所以,bcak cabk abck 所以,

16、bccaabakbkck 所以2()(),()(2)0,abck abcabck 即2k 或()0,abc 当2k ,所求代数式 33 11 8 abc abckk , 当0abc ,所求代数式1 . 即所求代数式等于 1 8 或1. 【总结升华】当已知条件以此等式出现时,可用设k法求解. 举一反三:举一反三: 【变式变式】已知 111 111 111 , 6915abbcac 求 abc abbcac 的值. 第 8 页 共 11 页 【答案】 因为 111 111 111 , 6915abbcac 各式可加得 111111 2, 6915abc 所以 11131 180abc , 所以 (

17、)1180 . 111 ()()31 abcabcabc abbcacabbcacabc cab 类类型三、分式的运算型三、分式的运算 3已知1, xyz yzzxxy 且0xyz,求 222 xyz yzxzxy 的值. 【答案与解析】 因为0xyz, 所以原等式两边同时乘以xyz,得: ()() . x xyzy xyzz xyz xyz yzzxxy ) 即 222 ()()() , xx yzyy zxzz xy xyz yzyzzxzxxyxy 所以 222 (), xyz xyzxyz yzzxxy 所以 222 0. xyz yzzxxy 【总结升华】 条件分式的求值,如需把已知

18、条件或所示条件分式变形,必须依据题目自身的特点,这 样才能到事半功倍的效果,条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想. 举一反三:举一反三: 【变式变式 1 1】已知, xyz abc yzxzxy 且abco,求 111 abc abc 的值. 【答案】 由已知得 1 , yz ax 第 9 页 共 11 页 所以 1 11, yzxyz axx 即 1axyz ax , 所以 1 ax axyz , 同理, 11 bycz bxyz cxyz 所以1 111 abcxyzxyz abcxyzxyzxyzxyz . 【变式变式 2 2】已知xy=4,xy=12,求 1 1 x

19、y 1 1 y x 的值 【答案】原式 ) 1)(1( ) 1() 1( 22 yx xy = = 1 1212 22 yxxy xxyy 1)( 2)(22)( 2 yxxy yxxyyx 将xy4,xy12 代入上式, 原式 15 34 1412 2)4(224)4( 2 类型四、分式方程及应用类型四、分式方程及应用 4a何值时,关于x的方程 2 23 242 ax xxx 会产生增根? 【答案与解析】 方程两边都乘以(2)(2)xx,得2(2)3(2).xaxx 整理得(1)10ax . 当a = 1 时,方程无解. 当1a 时, 10 1 x a . 如果方程有增根,那么(2)(2)0

20、xx,即2x或2x. 当2x时, 10 2 1a ,所以4a ; 当2x时, 10 2 1a ,所以a = 6 . 所以当4a 或a = 6 原方程会产生增根. 【总结升华】 因为所给方程的增根只能是2x或2x,所以应先解所给的关于x的分式方程,求出 其根,然后求a的值. 第 10 页 共 11 页 5甲乙两人准备整理一批新到的实验器材若甲单独整理需要 40 分钟完工:若甲乙 共同整 理 20 分钟后,乙需再单独整理 20 分钟才能完工 (1)问乙单独整理多少分钟完工? (2)若乙因工作需要,他的整理时间不超过 30 分钟,则甲至少整理多少分钟才能完工? 【答案与解析】 (1)设乙单独整理x分

21、钟完工,根据题意得: 1 2020 40 20 x 解得x80, 经检验x80 是原分式方程的解 答:乙单独整理 80 分钟完工 (2)设甲整理y分钟完工,根据题意,得 1 4080 30 y 解得:y25 答:甲至少整理 25 分钟完工 【总结升华】分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键此题等量关系比较 多,主要用到公式:工作总量工作效率工作时间 (1)将总的工作量看作单位 1,根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可; (2)设甲整理y分钟完工,根据整理时间不超过 30 分钟,列出一次不等式解之即可 举一反三:举一反三: 【变式变式】小明乘出租车去体育场,有两条路

22、线可供选择:路线一的全程是 25 千米,但交通比较拥堵, 路线二的全程是 30 千米,平均车速比走路线一时的平均车速能提高 80%,因此能比走路线一少 用 10 分钟到达若设走路线一时的平均速度为 x 千米/小时,根据题意,得( ) A 00 253010 (1 8060xx ) B 00 2530 10 (1 80xx ) C 00 302510 (1 8060xx ) D 00 3025 10 (1 80xx ) 【答案】 设走路线一时的平均速度为x千米/小时, 00 253010 (1 8060xx ) 故选 A 类型五、二次根式的定义及性质类型五、二次根式的定义及性质 6要使式子 a

23、a2 有意义,则 a 的取值范围为 【答案】a2 且 a0 第 11 页 共 11 页 【解析】根据题意得:a+20 且 a0, 解得:a2 且 a0 故答案为:a2 且 a0 【总结升华】本题考查的考点为:分式有意义,分母不为 0;二次根式的被开方数是非负数可以求出 x 的范围 类型六、二次根式的运算类型六、二次根式的运算 7 22019 (2 33 2)(52 6)(52 6) 【答案与解析】 原式 19 (12 12 618)(52 6)(5+2 6 )(52 6) =30-126+5-26 . 61435 【总结升华】此题关键是 2019 (52 6)(52 6)变为 19 (52 6)(5+2 6 )(52 6)=5-26.

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