1、 1 广东省广州市番禺区广东省广州市番禺区 2020 年高三年高三 3 月线上检测数学（文）试题月线上检测数学（文）试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合 UN，Ax|x2n+1，nN，Bx|1x6，xN，则（UA）B（ ） A 2，3，4，5，6 B 2，4，6 C 1，3，5 D3，5 2设 = 2; 1:，则 + =（ ） A1 B1 C3i D3 3设 = 2， = 1 2， = ;1，则（ ） Aabc B
2、bac Cacb Dcba 4已知向量 =（1，3） ， =（3，2） ，则向量 在向量 上的投影等于（ ） A910 10 B9 C3 D913 13 5如果数据 x1，x2，xn的平均数为，方差为 82，则 5x1+2，5x2+2，5xn+2 的平均数和方差分别为 （ ） A，82 B5 + 2，82 C5 + 2，25 82 D，25 82 6如图，在圆心角为直角半径为 2 的扇形 OAB 区域中，M，N 分别为 OA，OB 的中点，在 M，N 两点处各 有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以 OA，OB 为直径的圆，在扇形 OAB 内随机取一点，则能够 同时收到两个基站信号的概率是（
3、 ） A1 2 B1 2 1 C2 4 D1 7已知 (0， 2)，22 1 = 2，则 cos（ ） A1 5 B 5 5 C 3 3 D25 5 8若1= 4 ，2= 3 4 是函数 f（x）sin（x+） （0）两个相邻的零点，则 （ ） A2 B3 2 C1 D1 2 2 9若抛物线 y24x 的焦点为 F，抛物线的准线与 x 轴相交于一点 K，P 为抛物线上一点且KFP= 2 3 ，则 KFP 的面积为（ ） A83 B43 C23 D4 33或 23 10已知函数() = 2020(2+ 1 + )，则关于 x 的不等式 f（12x）+f（1）0 的解集为（ ） A （，1） B
4、（1，+） C （1，2 ） D （1，4） 11已知直线 ya 与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线交于点 P，双曲线 C 的左、右顶点 分别为 A1，A2，若|2| = 5 2 |12|，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 12在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 BC 的中点，点 P 是面 DCC1D1所在的平面内的动点， 且满足APDMPC，则三棱锥 PBCD 的体积最大值是（ ） A36 B123 C24 D183 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5
5、分，共分，共 20 分分 13若变量 x，y 满足约束条件 2 + 3 6 0 + 3 0 2 0 ，则 z3xy 的最小值是 14曲线 ya（x2+x）ex（aR）在点（0，0）处的切线方程为 y3x 则实数 a 15 设 a， b， c 分别为ABC 内角 A， B， C 的对边 已知 asinA2bcosAcosC+2ccosAcosB， 则 tanA 16已知ABC 是边长为 4 的正三角形，点 D 是 AC 的中点，沿 BD 将 ABCD 折起使得二面角 ABDC 为 2，则三棱锥 CABD 外接球的体积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答第生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17设数列an是公差不为零的等差数列，其前 n 项和为 Sn，a11若 a1，a2，a5成等比数列 （1）求 an及 Sn； （2）设= 1 +1 2 ;1 + 2（nN*） ，求数列bn前 n 项和 Tn 18某大学就业部从该校 2018 年毕业的且已就业的大学本科生中随机抽取 100 人进行问卷调查，其中有一 项是他们的月薪情况经调查发现，他们
7、的月薪在 3000 元到 10000 元之间，根据统计数据得到如下频率 分布直方图： 3 若月薪在区间( 2， + 2)的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人， 咨询月薪过低的原因，从而为本科生就业提供更好的指导意见其中，s 分别为样本平均数和样本标准 差计，计算可得 s1500 元（同一组中的数据用该区间的中点值代表） （1） 现该校2018届大学本科生毕业生张铭的月薪为3600元， 试判断张铭是否属于“就业不理想”的学生？ （2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前 3 组中抽取 6 人，各赠 送一份礼品，并从这 6 人中再抽取 2
8、人，各赠送某款智能手机 1 部，求获赠智能手机的 2 人中恰有 1 人 月薪不超过 5000 元的概率 19如图所示，有公共边的两个矩形 ABCD 与 ABE1F1，现将矩形 ABE1F1沿 AB 翻折至 ABEF 处，使二面角 CABE 为直二面角，若 AD2AB2AF12a （1）证明：平面 BFD平面 ADE； （2）若点 G 在直线 AE 上运动，当 DG 与 BC 所成的角为 30 时，求三棱锥 BADG 的体积 20已知点 P 在圆 O：x2+y29 上运动，点 P 在 x 轴上的投影为 Q，动点 M 满足 4 = 32 （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2）设 G（3，0
9、） ，H（3，0） ，过点 F（1，0）的动直线 l 与曲线 E 交于 A、B 两点问：直线 AG 与 BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由 21已知函数() = + (0)的图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 yx1函数 g（x）f（x） lnx （1）求 ab 的值，并求函数 g（x）在区间1，+）的最小值； （2）证明： 1 2: 4 ( 1， ) 4 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选选 修修 4-4：坐标系
10、与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程是 = 8 1:2 = 3(1;2) 1:2 （k 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为( + 4) = 32 （1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|2x1|+|2xa|，xR （1）当 a4 时，求不等式 f（x）9 的解集； （2）对任意 xR，恒有 f（x）5a，求实数 a 的取值范围 一、选择题：本题共一、选择题：
11、本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1集合 UN，Ax|x2n+1，nN，Bx|1x6，xN， 则（UA）Bx|x2n，nNB2，4，6， 故选：B 2 = 2; 1: = (2;)(1;) (1:)(1;) = 1 2 3 2， = 1 2 + 3 2，则 + =1 故选：B 3log2elog221，a1， log1 2elog 2e，b1， ce 1=1 ，0c1， acb， 故选：C 4 在 方向上的投影为| | ， = | | | | | = | |
12、 = 3:6 13 = 913 13 故选：D 5数据 x1，x2，xn的平均数为，方差为 82， 5x1+2，5x2+2，5xn+2 的平均数为：5 +2， 5 5x1+2，5x2+2，5xn+2 的方差分别 S25 82 故选：C 6OA 的中点是 M，则CMO90 ，半径 r2， 则扇形 OAB 的面积 S= 1 2 2 22=， 半圆 OAC 的面积 s1= 1 2 42，SOAC= 1 2 4 2 =4， S弓形OC= 1 2(2 4) =2， 两个圆的弧 OC 围成的阴影部分的面积为 24， 能够同时收到两个基站信号的概率 P= 2;4 =2 4 故选：C 7 (0， 2)，22
13、1 = 2， 4sincos12cos21，可得 2sincoscos2， cos0， 可得 sin= 1 2cos， sin2+cos2（1 2cos） 2+cos2=5 4cos 21， 解得：cos= 25 5 故选：D 8由于1= 4 ，2= 3 4 是函数 f（x）sin（x+） （0）两个相邻的零点， 所以 2 = 3 4 4 = 2，解得 T， 所以 = 2 = 2 故选：A 9如图，设 PF2m，则 P（1+m，3） (3)2=4（1+m） ，m2， 6 PKF 中，KF2，PF4，PFK120 SPKF= 1 2 1200= 1 2 2 4 3 2 = 23 故选：C 10因
14、为() = 2020(2+ 1 + )单调递增， 又因为 f（x）= 2020(2+ 1 ) = 2020 1 :2:1 = f（x） ， 则关于 x 的不等式 f（12x）+f（1）0 可转化为 f（12x）f（1）f（1） ， 所以 12x1， 解可得 x1 故选：A 11双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线：y= ，则 P（ 2 ，a） ， 因为|2| = 5 2 |12|，所以（ 2 a）2+a25a2，可得（ 1）24， 所以 =3，从而 e= 1 + 2 2 = 10 3 ， 双曲线的渐近线为：y= x， 则 p（ 2 ，a） ，|2| = 5 2 |12|，所以
15、（ 2 a）2+a25a2，可得（ +1）24， 所以 =1，可得 e= 2 则双曲线 C 的离心率为：2或 10 3 故选：D 12 在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， M 是 BC 的中点， 点 P 是面 DCC1D1所在的平面内的动点， 7 且满足APDMPC， RtADPRtPMC， = =2， 即 PD2PC， 设 DOx，POh，作 POCD， 2+ 2= 2(6 )2+ 2，化简得：3h23x2+48x144，0x6， 根据函数单调性判断：x6 时，3h2最大值为 36， h大= 23， 在正方体中 PO面 BCD， 三棱锥 PBCD 的体积最大值：1 3 1
16、2 6 6 23 =123， 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13作出变量 x，y 满足约束条件 2 + 3 6 0 + 3 0 2 0 表示的平面区域， 得到如图的ABC 及其内部，其中 A（0，2） ，设 zF（x，y）3xy，将直线 l：z3xy 进行平移， 观察 x 轴上的截距变化，可得 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值， z最小值F（0，2）2 故答案为：2 8 14ya（x2+x+2x+1）ex，y（0）a， 由切线为 y3x， 故 a3， 故答案为：3 15因为 asinA2bcosAco
17、sC+2ccosAcosB， 所以 sin2A2cosA（sinBcosC+sinCcosB）2cosAsin（B+C）2sinAcosA， 又 sinA0， 所以 sinA2cosA，即 tanA2 故答案为：2 16由题意折起的二面角 ABDC 为 2，放在长方体中，由正三角形边长为 4 可得， D 为 AC 的中点可得，ADDC2，BD23， 长方体中同一个顶点的三条棱长分别为 2，2，23， 又由于长方体的对角线为外接球的直径 2R，所以 2R= 4 + 4 + 12 =25，所以 R= 5， 所以外接球的体积 V= 43 3 = 4 3 (5)3= 205 3 ， 故答案为：205
18、3 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 9 生都必须作答第生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （1）设数列an是公差为 d，且不为零的等差数列， a11若 a1，a2，a5成等比数列，可得 a1a5a22， 即有 1（1+4d）（1+d）2，解得 d2， 则 an1+2（n1）2n1； Sn= 1 2n（1+2n1）n 2； （2）= 1 +1 2 ;
19、1 + 2= 1 (2:1)2;1 +22n 1=1 4（ 1 1 :1）+2 2n1， 可得前 n 项和 Tn= 1 4（1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 :1）+（2+8+2 2n1） = 1 4（1 1 :1）+ 2(1;4) 1;4 = 4:4 + 2 3（4 n1） 18（1） = 3500 1000 0.00005+4500 1000 0.00010+5500 1000 0.00015+6500 1000 0.00030+7500 1000 0.000 20+8500 1000 0.00015+9500 1000 0.000056650， 2s665030003650
20、3600，所以张茗不属于“就业不理想“的学生 （2）第一组有 1000 0.00005 1005 人，第二组有 1000 0.00010 10010 人， 第三组有 1000 0.00015 10015 人，所以按照分层抽样抽 6 人时， 第一组抽 1 人，记为 A，第二组抽 2 人，记为 B，C，第三组抽 3 人，记为 D，E，F， 从这 6 人中抽 2 人共有 15 种： （A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E） ， （A，F） ， （B，C） ， （B，D） ， （B，E） ， （B，F） ， （C，D） ， （C，E） ， （C，F） ， （D，E） ， （D，F）
21、， （E，F） 其中恰有一人月薪不超过 5000 元的有 9 种： （A，D） ， （A，E） ， （A，F） ， （B，D） ， （B，E） ， （B，F） ， （C，D） ， （C，E） ， （C，F） 根据古典概型概率公式可得 P= 9 15 = 3 5 19 （1）若 AD2AB2AF12a，故 ABEF，ABE1F1为正方形， 所以 BFAE，又直二面角 CABE，ADAB， 平面 ABEFABCDAB，所以 ADAB， 故 ADBF，又 AEADA， 故 BF平面 ADE，由 BF平面 ADF， 故平面 ADE平面 ADF； （2）设 AE 与 BF 交于 H，由（1）BH平面 A
22、DG， 10 故 BH 为三棱锥 BADG 的高，BH= 2 2 ， 因为 ADBC，DG 与 BC 所成角为 30 ，所以ADG30 ， 由（1）知，ADAG，AD2a， AGADtan30 = 23 3 ， 故;= 1 3 1 2 2 23 3 2 2 = 6 9 3 20 （1）设 M（x，y） ，P（x0，y0） ，Q（x0，0） ， 则由 4 = 32 ，得 4（0，y0）= 32（x0x，y） ， x0x，y032 4 y， 代入圆 O：x2+y29，可得 2 9 + 2 8 = 1 动点 M 的轨迹 E 的方程为 2 9 + 2 8 = 1； （2）直线 AG 与 BH 的斜率之
23、比为定值1 2 证明如下： 设直线 l 为 xmy+1，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 联立 = + 1 2 9 + 2 8 = 1 ，得（8m2+9）y2+16my640 则1+ 2= ;16 82:9，12 = ;64 82:9 my1y24（y1+y2） ， 则 = 1 1:3 2;3 2 = 1(2;2) (1:4)2 = 12;21 12:42 = 4(1:2);21 4(1:2):42 = 21:42 41:82 = 1 2 11 21 （1）() = 2， 由题意可得，f（1）ab1，f（1）a+b0， 解可得 a= 1 2， = 1 2，ab1， 所以 g（x）= 1 2
24、 1 2 lnx，() = 1 2 + 1 22 1 = 2;2:1 22 = (;1)2 22 0， 故 g（x）在1，+）上单调递增，当 x1 时，g（x）取得最小值 g（1）0， （II）由（I）可知1 2 1 2 lnx0 即1 2 1 2 lnx，当 x1 时取等号， 故 lnx 1 2在 x1 时恒成立， 因此有 ln1 1 2，ln2 1 2 2，lnn 1 2， 故 1 =ln1+ln2+lnn 1 2(1 + 2 + + ) = 1 2 (1:) 2 = :2 4 即证 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则
25、按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （1）曲线 C 的参数方程是 = 8 1:2 = 3(1;2) 1:2 （k 为参数） ，平方后得 2 16 + 2 9 = 1， 又 = 3 + 6 2:1 (3，3，曲线 C 的普通方程为 2 16 + 2 9 = 1( 3) 直线 l 的极坐标方程为 cos（+ 4）32，转换为直角坐标方程为 xy60 （2）将曲线 C 化成参数方程形式为 = 4 = 3 （ 为参数） ， 则 d= |4;3;6| 2 = |5(:);6| 2 ，其中 = 3 4， 所以 2 2 112 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （1）当 a4 时，f（x）|2x1|+|2x4|= 4 + 5， 1 2 3， 1 2 2 4 52 12 f（x）9，4 + 59 1 2 或4 59 2 ， x1 或 7 2， 不等式的解集为*| 1或 7 2+； （2）f（x）|2x1|+|2xa|（2x1）（2xa）|a1|，f（x）min|a1| 对任意 xR，恒有 f（x）5a， f（x）min5a，即|a1|5a，a3， a 的取值范围为3，+）
