广东省广州市番禺区2020届高三摸底测试文科数学试题(含答案解析)

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1、 1 广东省广州市番禺区广东省广州市番禺区 2020 年高三年高三 3 月线上检测数学(文)试题月线上检测数学(文)试题 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的要求的 1已知集合 UN,Ax|x2n+1,nN,Bx|1x6,xN,则(UA)B( ) A 2,3,4,5,6 B 2,4,6 C 1,3,5 D3,5 2设 = 2; 1:,则 + =( ) A1 B1 C3i D3 3设 = 2, = 1 2, = ;1,则( ) Aabc B

2、bac Cacb Dcba 4已知向量 =(1,3) , =(3,2) ,则向量 在向量 上的投影等于( ) A910 10 B9 C3 D913 13 5如果数据 x1,x2,xn的平均数为,方差为 82,则 5x1+2,5x2+2,5xn+2 的平均数和方差分别为 ( ) A,82 B5 + 2,82 C5 + 2,25 82 D,25 82 6如图,在圆心角为直角半径为 2 的扇形 OAB 区域中,M,N 分别为 OA,OB 的中点,在 M,N 两点处各 有一个通信基站,其信号的覆盖范围分别为以 OA,OB 为直径的圆,在扇形 OAB 内随机取一点,则能够 同时收到两个基站信号的概率是(

3、 ) A1 2 B1 2 1 C2 4 D1 7已知 (0, 2),22 1 = 2,则 cos( ) A1 5 B 5 5 C 3 3 D25 5 8若1= 4 ,2= 3 4 是函数 f(x)sin(x+) (0)两个相邻的零点,则 ( ) A2 B3 2 C1 D1 2 2 9若抛物线 y24x 的焦点为 F,抛物线的准线与 x 轴相交于一点 K,P 为抛物线上一点且KFP= 2 3 ,则 KFP 的面积为( ) A83 B43 C23 D4 33或 23 10已知函数() = 2020(2+ 1 + ),则关于 x 的不等式 f(12x)+f(1)0 的解集为( ) A (,1) B

4、(1,+) C (1,2 ) D (1,4) 11已知直线 ya 与双曲线: 2 2 2 2 = 1(0,0)的一条渐近线交于点 P,双曲线 C 的左、右顶点 分别为 A1,A2,若|2| = 5 2 |12|,则双曲线 C 的离心率为( ) A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 12在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 是 BC 的中点,点 P 是面 DCC1D1所在的平面内的动点, 且满足APDMPC,则三棱锥 PBCD 的体积最大值是( ) A36 B123 C24 D183 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5

5、分,共分,共 20 分分 13若变量 x,y 满足约束条件 2 + 3 6 0 + 3 0 2 0 ,则 z3xy 的最小值是 14曲线 ya(x2+x)ex(aR)在点(0,0)处的切线方程为 y3x 则实数 a 15 设 a, b, c 分别为ABC 内角 A, B, C 的对边 已知 asinA2bcosAcosC+2ccosAcosB, 则 tanA 16已知ABC 是边长为 4 的正三角形,点 D 是 AC 的中点,沿 BD 将 ABCD 折起使得二面角 ABDC 为 2,则三棱锥 CABD 外接球的体积为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

6、第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考题为必考题,每个试题考 生都必须作答第生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分分 17设数列an是公差不为零的等差数列,其前 n 项和为 Sn,a11若 a1,a2,a5成等比数列 (1)求 an及 Sn; (2)设= 1 +1 2 ;1 + 2(nN*) ,求数列bn前 n 项和 Tn 18某大学就业部从该校 2018 年毕业的且已就业的大学本科生中随机抽取 100 人进行问卷调查,其中有一 项是他们的月薪情况经调查发现,他们

7、的月薪在 3000 元到 10000 元之间,根据统计数据得到如下频率 分布直方图: 3 若月薪在区间( 2, + 2)的左侧,则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生,学校将联系本人, 咨询月薪过低的原因,从而为本科生就业提供更好的指导意见其中,s 分别为样本平均数和样本标准 差计,计算可得 s1500 元(同一组中的数据用该区间的中点值代表) (1) 现该校2018届大学本科生毕业生张铭的月薪为3600元, 试判断张铭是否属于“就业不理想”的学生? (2)为感谢同学们对这项调查工作的支持,该校利用分层抽样的方法从样本的前 3 组中抽取 6 人,各赠 送一份礼品,并从这 6 人中再抽取 2

8、人,各赠送某款智能手机 1 部,求获赠智能手机的 2 人中恰有 1 人 月薪不超过 5000 元的概率 19如图所示,有公共边的两个矩形 ABCD 与 ABE1F1,现将矩形 ABE1F1沿 AB 翻折至 ABEF 处,使二面角 CABE 为直二面角,若 AD2AB2AF12a (1)证明:平面 BFD平面 ADE; (2)若点 G 在直线 AE 上运动,当 DG 与 BC 所成的角为 30 时,求三棱锥 BADG 的体积 20已知点 P 在圆 O:x2+y29 上运动,点 P 在 x 轴上的投影为 Q,动点 M 满足 4 = 32 (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程; (2)设 G(3,0

9、) ,H(3,0) ,过点 F(1,0)的动直线 l 与曲线 E 交于 A、B 两点问:直线 AG 与 BH 的斜率之比是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由 21已知函数() = + (0)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为 yx1函数 g(x)f(x) lnx (1)求 ab 的值,并求函数 g(x)在区间1,+)的最小值; (2)证明: 1 2: 4 ( 1, ) 4 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分选选 修修 4-4:坐标系

10、与参数方程:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程是 = 8 1:2 = 3(1;2) 1:2 (k 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为( + 4) = 32 (1)曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的取值范围 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23设函数 f(x)|2x1|+|2xa|,xR (1)当 a4 时,求不等式 f(x)9 的解集; (2)对任意 xR,恒有 f(x)5a,求实数 a 的取值范围 一、选择题:本题共一、选择题:

11、本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的要求的 1集合 UN,Ax|x2n+1,nN,Bx|1x6,xN, 则(UA)Bx|x2n,nNB2,4,6, 故选:B 2 = 2; 1: = (2;)(1;) (1:)(1;) = 1 2 3 2, = 1 2 + 3 2,则 + =1 故选:B 3log2elog221,a1, log1 2elog 2e,b1, ce 1=1 ,0c1, acb, 故选:C 4 在 方向上的投影为| | , = | | | | | = | |

12、 = 3:6 13 = 913 13 故选:D 5数据 x1,x2,xn的平均数为,方差为 82, 5x1+2,5x2+2,5xn+2 的平均数为:5 +2, 5 5x1+2,5x2+2,5xn+2 的方差分别 S25 82 故选:C 6OA 的中点是 M,则CMO90 ,半径 r2, 则扇形 OAB 的面积 S= 1 2 2 22=, 半圆 OAC 的面积 s1= 1 2 42,SOAC= 1 2 4 2 =4, S弓形OC= 1 2(2 4) =2, 两个圆的弧 OC 围成的阴影部分的面积为 24, 能够同时收到两个基站信号的概率 P= 2;4 =2 4 故选:C 7 (0, 2),22

13、1 = 2, 4sincos12cos21,可得 2sincoscos2, cos0, 可得 sin= 1 2cos, sin2+cos2(1 2cos) 2+cos2=5 4cos 21, 解得:cos= 25 5 故选:D 8由于1= 4 ,2= 3 4 是函数 f(x)sin(x+) (0)两个相邻的零点, 所以 2 = 3 4 4 = 2,解得 T, 所以 = 2 = 2 故选:A 9如图,设 PF2m,则 P(1+m,3) (3)2=4(1+m) ,m2, 6 PKF 中,KF2,PF4,PFK120 SPKF= 1 2 1200= 1 2 2 4 3 2 = 23 故选:C 10因

14、为() = 2020(2+ 1 + )单调递增, 又因为 f(x)= 2020(2+ 1 ) = 2020 1 :2:1 = f(x) , 则关于 x 的不等式 f(12x)+f(1)0 可转化为 f(12x)f(1)f(1) , 所以 12x1, 解可得 x1 故选:A 11双曲线: 2 2 2 2 = 1(0,0)的一条渐近线:y= ,则 P( 2 ,a) , 因为|2| = 5 2 |12|,所以( 2 a)2+a25a2,可得( 1)24, 所以 =3,从而 e= 1 + 2 2 = 10 3 , 双曲线的渐近线为:y= x, 则 p( 2 ,a) ,|2| = 5 2 |12|,所以

15、( 2 a)2+a25a2,可得( +1)24, 所以 =1,可得 e= 2 则双曲线 C 的离心率为:2或 10 3 故选:D 12 在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中, M 是 BC 的中点, 点 P 是面 DCC1D1所在的平面内的动点, 7 且满足APDMPC, RtADPRtPMC, = =2, 即 PD2PC, 设 DOx,POh,作 POCD, 2+ 2= 2(6 )2+ 2,化简得:3h23x2+48x144,0x6, 根据函数单调性判断:x6 时,3h2最大值为 36, h大= 23, 在正方体中 PO面 BCD, 三棱锥 PBCD 的体积最大值:1 3 1

16、2 6 6 23 =123, 故选:B 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13作出变量 x,y 满足约束条件 2 + 3 6 0 + 3 0 2 0 表示的平面区域, 得到如图的ABC 及其内部,其中 A(0,2) ,设 zF(x,y)3xy,将直线 l:z3xy 进行平移, 观察 x 轴上的截距变化,可得 当 l 经过点 A 时,目标函数 z 达到最小值, z最小值F(0,2)2 故答案为:2 8 14ya(x2+x+2x+1)ex,y(0)a, 由切线为 y3x, 故 a3, 故答案为:3 15因为 asinA2bcosAco

17、sC+2ccosAcosB, 所以 sin2A2cosA(sinBcosC+sinCcosB)2cosAsin(B+C)2sinAcosA, 又 sinA0, 所以 sinA2cosA,即 tanA2 故答案为:2 16由题意折起的二面角 ABDC 为 2,放在长方体中,由正三角形边长为 4 可得, D 为 AC 的中点可得,ADDC2,BD23, 长方体中同一个顶点的三条棱长分别为 2,2,23, 又由于长方体的对角线为外接球的直径 2R,所以 2R= 4 + 4 + 12 =25,所以 R= 5, 所以外接球的体积 V= 43 3 = 4 3 (5)3= 205 3 , 故答案为:205

18、3 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题,每个试题考题为必考题,每个试题考 9 生都必须作答第生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分分 17 (1)设数列an是公差为 d,且不为零的等差数列, a11若 a1,a2,a5成等比数列,可得 a1a5a22, 即有 1(1+4d)(1+d)2,解得 d2, 则 an1+2(n1)2n1; Sn= 1 2n(1+2n1)n 2; (2)= 1 +1 2 ;

19、1 + 2= 1 (2:1)2;1 +22n 1=1 4( 1 1 :1)+2 2n1, 可得前 n 项和 Tn= 1 4(1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 :1)+(2+8+2 2n1) = 1 4(1 1 :1)+ 2(1;4) 1;4 = 4:4 + 2 3(4 n1) 18(1) = 3500 1000 0.00005+4500 1000 0.00010+5500 1000 0.00015+6500 1000 0.00030+7500 1000 0.000 20+8500 1000 0.00015+9500 1000 0.000056650, 2s665030003650

20、3600,所以张茗不属于“就业不理想“的学生 (2)第一组有 1000 0.00005 1005 人,第二组有 1000 0.00010 10010 人, 第三组有 1000 0.00015 10015 人,所以按照分层抽样抽 6 人时, 第一组抽 1 人,记为 A,第二组抽 2 人,记为 B,C,第三组抽 3 人,记为 D,E,F, 从这 6 人中抽 2 人共有 15 种: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (A,F) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (B,F) , (C,D) , (C,E) , (C,F) , (D,E) , (D,F)

21、, (E,F) 其中恰有一人月薪不超过 5000 元的有 9 种: (A,D) , (A,E) , (A,F) , (B,D) , (B,E) , (B,F) , (C,D) , (C,E) , (C,F) 根据古典概型概率公式可得 P= 9 15 = 3 5 19 (1)若 AD2AB2AF12a,故 ABEF,ABE1F1为正方形, 所以 BFAE,又直二面角 CABE,ADAB, 平面 ABEFABCDAB,所以 ADAB, 故 ADBF,又 AEADA, 故 BF平面 ADE,由 BF平面 ADF, 故平面 ADE平面 ADF; (2)设 AE 与 BF 交于 H,由(1)BH平面 A

22、DG, 10 故 BH 为三棱锥 BADG 的高,BH= 2 2 , 因为 ADBC,DG 与 BC 所成角为 30 ,所以ADG30 , 由(1)知,ADAG,AD2a, AGADtan30 = 23 3 , 故;= 1 3 1 2 2 23 3 2 2 = 6 9 3 20 (1)设 M(x,y) ,P(x0,y0) ,Q(x0,0) , 则由 4 = 32 ,得 4(0,y0)= 32(x0x,y) , x0x,y032 4 y, 代入圆 O:x2+y29,可得 2 9 + 2 8 = 1 动点 M 的轨迹 E 的方程为 2 9 + 2 8 = 1; (2)直线 AG 与 BH 的斜率之

23、比为定值1 2 证明如下: 设直线 l 为 xmy+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) 联立 = + 1 2 9 + 2 8 = 1 ,得(8m2+9)y2+16my640 则1+ 2= ;16 82:9,12 = ;64 82:9 my1y24(y1+y2) , 则 = 1 1:3 2;3 2 = 1(2;2) (1:4)2 = 12;21 12:42 = 4(1:2);21 4(1:2):42 = 21:42 41:82 = 1 2 11 21 (1)() = 2, 由题意可得,f(1)ab1,f(1)a+b0, 解可得 a= 1 2, = 1 2,ab1, 所以 g(x)= 1 2

24、 1 2 lnx,() = 1 2 + 1 22 1 = 2;2:1 22 = (;1)2 22 0, 故 g(x)在1,+)上单调递增,当 x1 时,g(x)取得最小值 g(1)0, (II)由(I)可知1 2 1 2 lnx0 即1 2 1 2 lnx,当 x1 时取等号, 故 lnx 1 2在 x1 时恒成立, 因此有 ln1 1 2,ln2 1 2 2,lnn 1 2, 故 1 =ln1+ln2+lnn 1 2(1 + 2 + + ) = 1 2 (1:) 2 = :2 4 即证 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则

25、按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分选选 修修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (1)曲线 C 的参数方程是 = 8 1:2 = 3(1;2) 1:2 (k 为参数) ,平方后得 2 16 + 2 9 = 1, 又 = 3 + 6 2:1 (3,3,曲线 C 的普通方程为 2 16 + 2 9 = 1( 3) 直线 l 的极坐标方程为 cos(+ 4)32,转换为直角坐标方程为 xy60 (2)将曲线 C 化成参数方程形式为 = 4 = 3 ( 为参数) , 则 d= |4;3;6| 2 = |5(:);6| 2 ,其中 = 3 4, 所以 2 2 112 2 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23 (1)当 a4 时,f(x)|2x1|+|2x4|= 4 + 5, 1 2 3, 1 2 2 4 52 12 f(x)9,4 + 59 1 2 或4 59 2 , x1 或 7 2, 不等式的解集为*| 1或 7 2+; (2)f(x)|2x1|+|2xa|(2x1)(2xa)|a1|,f(x)min|a1| 对任意 xR,恒有 f(x)5a, f(x)min5a,即|a1|5a,a3, a 的取值范围为3,+)

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