著名机构数学讲义暑假17-八年级培优 版-几何证明基础(1)-学生版

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1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 几何证明基础(1) 几何证明基础(1) F E D CB A CB A 知识模块:知识模块:演绎证明的概念演绎证明的概念 1、演绎证明是指:从已知的概念、条件出发,依据已被确认的事实和公认的逻辑规则,推 导出某结论为正确的过程。演绎证明就是常说的“证明” ,是一种严格的数学说理,核心 是由因导果,言必有据。 2、证明一个几何问题的方法常用综合法或分析法。 3、综合法:由题设逐步推导到结论的一种证明方法。 若 A 则 N,ABCDEMN. 4、分析法:由结论逐步追溯到题设的一种方法。分析法容易找到思路,然后改用综合法写 出证明。

2、 【例 1】课本指出:公认的真命题称为公理,除了公理外,其他的真命题(如推论、定理等)的正确性 都需要通过推理的方法证实 (1)叙述三角形全等的判定方法中的推论 AAS; (2)证明推论 AAS 要求:叙述推论用文字表达;用图形中的符号表达已知、求证,并证明,证明对各步骤要注明依据 【例 2】 写出下列命题的已知、求证,并完成证明过程 命题:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:“等角对等边”) 已知:如图,_ 求证:_ CB A O F E D C B A 证明: 知识模块:知识模块:定义、命题、真假命题的概念定义、命题、真假命题的概念 1、定义:能界定某个对象含义的

3、句子叫做定义。 2判断一件事情的句子叫做命题;其判断为正确的命题叫做真命题;其判断为错误的命题 叫做假命题 3数学命题通常由题设、结论两部分组成。 4命题可以写成“如果那么”的形式, “如果”是题设, “那么”是结论。 5、有些命题表述简洁,经分析才能找到题设和结论。 6、真命题、假命题的证明(反例) 。 【例3】下列命题中,为真命题的是( ) A对顶角相等 B同位角相等 C若 22 ab,则ab D若ab,则22ab 【例4】 已知线段AC与BD相交于点O, 连接ABDC、,E为OB的中点,F为OC的中点, 连接EF (如图所示) (1)添加条件AD ,OEFOFE,求证:ABDC (2)分

4、别将“AD ”记为, “OEFOFE”记为, “ABDC”记为,若添加条件 、,以为结论构成另一个命题,则该命题是_命题(选择“真”或“假”填入空格,不必 证明) 知识模块:知识模块:公理和定理的概念公理和定理的概念 1.公理:人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理(判断真假命题原始依据) 。 2.定理:从公理或其他真命题出发,用推理方法证明为正确的、并进一步作为判断其他命题 真假的依据的真命题。 E D CB A C1 A1 C B A 知识模块:知识模块:证明中的分析证明中的分析 1.分析的过程:执果索因。一般来说,分析的过程不必在证明中表达。 2.证明步骤: (1)仔细审题 (2)探

5、索证明方法:从头到尾,从尾到头,从两头到中间。 (3)写出证明过程。 【例 5】 如图,ABC是等边三角形,D是AB边上的一点, 以CD为边作等边三角形CDE, 使点EA、 在直线DC的同侧,连接AE求证:/AEBC 【例 6】如图,将一个钝角ABC(其中120ABC)绕点B顺时针旋转得 111 ABC,使得C点落 在AB的延长线上的点 1 C处,连接 1 AA (1)写出旋转角的度数; (2)求证: 11 A ACC 知识模块:知识模块:几何证明常用方法几何证明常用方法 1.证两线平行:利用平行线性质和判定。 2.证两线段相等:利用三角形全等性质和判定、利用等腰三角形的性质和判定。 (1)两

6、个三角形中,证全等;不全等,构造全等(辅助线:平行线、垂线、连接线段) (2)一个三角形中,证对角相等; F E D C B A F E D E D C B A A B C (3)证明两线段等于第三线段(媒介) 。 3.证两角相等:三角形全等性质与判定、平行线性质、等腰三角形性质和判定。 4.证两直线互相垂直:垂直定义(90 度) 、直角三角形两角互余等腰三角形三线合一。 5.证一线段等于另一线段的两倍(或一半):倍长、截取等方法,常需辅助线。 1. .证两线平行证两线平行 【例 7】如图,已知30B ,55BCD,45CDE,20E ,求证:/ABCD 2. .证两线相等证两线相等 【例8】

7、如图,在ABC中,AD平分BAC,BEAD,BE交AD的延长线于点E,点F在AB 上,且/EFAC求证:点F是AB的中点 【例 9】如图 1,在ABC中,ABAC,点D是 BC 的中点,点E在AD上 (1)求证:BECE; (2)如图 2,若BE的延长线交AC于点F,且BFAC,垂足为F,45BAC,原题设其它条件不变求 证:AEFBCF E D CB A ED CB A N M D E C B A 3. .倍长中线倍长中线 【例10】如图,点E是BC中点,BAECDE,求证:ABCD 【例11】如图,在ABC中,CDAB,BADBDA ,AE是BD边的中线.求证:2ACAE 4. .截长补短

8、截长补短 【例 12】 如图,/AMBN , MAB与NBA的平分线交于点E, 过点E的直线交AM于D, 交BN 于C,求证: (1)DECE;(2)ADBCAB F E D A B C 【习题 1】下列命题是真命题的是( ) A相等的角是对顶角 B全等三角形的对应角相等 C如果 2 1x 那么1x D4是无理数 【习题 2】下列命题中,属于真命题的是( ) A相等的两个角是对顶角 B三角形的一个外角等于它的两个内角和 C互补的两个角不一定相等 D有一个角对应相等的两个等腰三角形是全等三角形 【习题 3】下列命题中,假命题是( ) A有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 B有三边对

9、应相等的两个三角形全等 C有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等 D有两边和一角对应相等的两个三角形全等 【习题 4】如图,ABC中,D是BC的中点,过点D的直线交AB于E, 交AC的延长线于F , 且BECF.求证:AEAF D A B C F E D A B C D E A B C 【习题5】如图,ABC中,2ABAC,AD平分BAC,且ADBD,求证:CDAC 【习题 6】如图,已知ABC为等腰三角形,ACBC, 90C,点D在AC上,BDAE , 垂足为E ,且2BDAE.求证:ABEEBF 【习题 7】如图,在ABC中,BDCE、相交于点O, 1 2 DBCBCEA .求证

10、:BECD. 图3 图2 图1 F mED C B A A B C DEm m E D C B A 【习题8】如图,在ABC中,ABAC,ADBC于点D,将ADC绕点A顺时针旋转,使AC 与AB重合,点D落在点E处,AE的延长线交CB的延长线于点M,EB的延长线交AD的延长线 于点N求证:AMAN 【习题9】 (1)如图(1) ,已知:在ABC中,90BAC,ABAC,直线m经过点A,BD 直线m,CE直线m,垂足分别为点DE、证明:DEBD CE (2)如图(2) ,将(1)中的条件改为:在ABC中,ABAC,DA E、 、三点都在直线m上,并 且有BDAAECBAC, 其中为任意锐角或钝角 请问结论DEBD CE是否成立? 如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由 (3)拓展与应用:如图(3) ,DE、是DA E、 、三点所在直线m上的两动点(DA E、 、三点互不 重合) ,点F为BAC平分线上的一点,且ABF和ACF均为等边三角形,连接BDCE、,若 BDAAECBAC,试判断DEF的形状

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