著名机构数学讲义春季12-八年级基础版-特殊的平行四边形-教师版

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资源描述

1、教师姓名 学生姓名 年 级 初二 上课时间 学 科 数学 课题名称 特殊的平行四边形 知识模块:知识模块:矩形矩形 1、 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 特殊的平行四边形 C D A B O P O A B C D 2、 性质定理: (1)矩形的四个角都是直角. (2)矩形的对角线相等. (3)矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴是每组对边的垂直平分线. 3、判定定理: (1)有三个角是直角的四边形是矩形. (2)对角线相等的平行四边形是矩形. 【例 1】如图所示,在矩形 ABCD 中, 1 4 ODAOADBOC ,求证:OB=OC=AB. 【答案】通过AOBD0C 得出

2、:OB=OC 根据角的关系可得出: BAOAOBCODDOC 从而可证 OB=OC=AB. 【例 2】如图所示,在矩形 ABCD 中,POBD,交 BC 于点 P, 2AB ,6BC 求证:PD 垂直平分 OC. 【答案】根据勾股定理易得: OCD 是等边三角形 易证点 D 在 OC 的垂直平分线上 点 P 在 OC 的垂直平分线上 从而 PD 垂直平分 OC. 【例 3】如图所示,在ABC 中,AB=AC,AD 是BAC 的平分线,交 BC 于点 D,AN 是ABC 外角 CAM 的平分线,CEAN,垂足为点 E.求证:四边形 ADCE 是矩形. E D C B A M N C A B E

3、D 【答案】根据有三个角是直角的四边形是矩形可证. 【例 4】如图所示:在四边形 ABCD 中,AD/BC,点 E 在 BC 上,AE/DC,BD=DC,DE 平分BDC. 求证:四边形 ABED 是矩形. 【答案】根据对角线相等的平行四边形是矩形可证. 知识模块:菱形知识模块:菱形 1、 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. F E C D B A O C D A B G D E F A B C 2、 性质定理: (1)菱形的四条边都相等. (2)菱形的对角线互相垂直,并且没一条对角线平分一组对角. (3)菱形既是中心对称图形,也是轴对称图形,对称轴是对角线所在的直线. 3、判定定理:

4、 (1)四条边都相等的四边形是菱形. (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 【例 5】如图所示:在菱形 ABCD 中,DEAB,DFBC,垂足分别为点 E、F,BF=FC,求EDF 的 度数. 【答案】60. 【例 6】如图所示:在菱形 ABCD 中,AB=13cm,AC=24cm,求菱形 ABCD 的面积. 【答案】120. 【例 7】 如图所示: 在ABC 中, BD 平分ABC, AFBD 于点 F, 延长 AF 交 BC 于点 E, GAF=DAF, 联结 EG、ED.求证:四边形 AGED 是菱形. 【答案】通过两次全等得出四边相等 从而四边形 AGED 是菱形. F E O D

5、 A C B 【例 8】如图所示:在ABCD中,对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 O 作直线 EFBD,分别交 AD、 BC 于点 E 和点 F.求证:四边形 BEDF 是菱形. 【答案】根据全等证平行四边形, 然后对角线垂直证全等 知识模块:正方形知识模块:正方形 1、 定义:有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 2、 性质定理: (1)正方形的四条边相等,四个角都是直角. F G E 0 B C A D DC AB M N FE A D CB (2)正方形的对角线相等,并且互相垂直,每条对角线平分一组对角. 【例 9】如图所示:在正方形 ABCD 中,对角线 AC、

6、BD 交于点 O,点 E 是 BO 的中点,DGCE 于点 G,交 OC 于点 F.若正方形 ABCD 边长为 10cm,求 EF 的长度. 【答案】5cm 提示:先证EOCFOD,再利用勾股定理. 【例 10】如图所示:点 M、N 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上,MCN 的周长等于正方形 ABCD 周长的一半,求MAN 的度数. 【答案】45 延长 ND 至点 E,使 DE=BM,联结 AE. 通过ADEABM, 通过ANEANM 即可求出. 【例 11】如图所示:在 RtABC 中,A=90,点 D 是 BC 边上的中点,DEAB,DFAC,垂足分 别是点 E、F,且 BE=

7、CF.求证:四边形 AEDF 是正方形. 【答案】先证矩形再证正方形. B C A D E G F B C A D E H 【例 12】如图所示:在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,点 E 是 BD 延长线上的点, 且ACE 是等边三角形,AED=2EAD.求证:四边形 ABCD 是正方形. 【答案】通过ACE 是等边三角形,证 ACBD, 然后可得出 ABCD 是菱形,再证ADO 为 45, 即ADC=90,即可证四边形 ABCD 是正方形. 【习题 1】下列命题中真命题是( ) A对角线互相垂直的四边形是矩形 B对角线相等的四边形是矩形; C四条边都相等的四边形是矩

8、形; D四个内角都相等的四边形是矩形; 【答案】D 【习题 2】 (1)菱形的两条对角线长的比是3:4,边长为 10 厘米,菱形的面积是_; (2)菱形的两条对角线长的比是 2:3,面积是 12cm2,则它的两条对角线的长分别是_cm、 _cm,该菱形的周长是_cm 【答案】(1)96 平方厘米;(2)4、6、134 【习题 3】如图所示,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,BEAC于点 E,CFBD 于点 F,求证:BE=CF 【答案】矩形 ABCD,OCOB OCOB ,CFOBEO,COFBOE COFBOE,BE=CF 【习题 4】如图所示,在矩形 ABCD 中,BC=8

9、,AB=6,把矩形折叠使点 C 与点 A 重合, 求折叠 EF 的长 【答案】联结 AC 交 EF 于 O,连接 CE 矩形折叠使点 C 与点 A 重合,CEAE 设xCEAE,则xDE8 在直角EDC中, 222 68xx,解得: 4 25 x 由勾股定理可得:10AC 矩形 ABCD,5 2 1 ACAO 在直角AOE中, 222 AOOEAE,解得: 4 15 OE 2 15 2 OEEF 【习题 5】如图,矩形纸片ABCD中,=4AB,8AD ,将纸片折叠,使得点B与点D重合, 折痕为EF (1)求证:四边形BEDF是菱形; (2)求菱形BEDF的边长 【答案】(1)设EF与AB的交点

10、为O 将纸片折叠,使得点B与点D重合,折痕为EF BDEF ,DOBO CDAB,FBOEDO OBFODE, OEOF DOBO ,四边形BEDF是平行四边形 BDEF ,四边形BEDF是菱形; (2)设xDFBF,则xFC8, A B C D E F O O O 在直角CFD中,由勾股定理,得: 222 48xx,解得:5x, 菱形BEDF的边长为 5 【习题 6】如图,在ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于 点E、F 求证: (1)AOECOF; (2)四边形AFCE是菱形 【答案】(1)BCAD,FCAEAC OCOA,COFAOE,AOECOF;

11、 (2)AOECOF, OFOE , OCOA,四边形AFCE是平行四边形 EFAC ,四边形AFCE是菱形 【习题 7】如图,正方形 ABCD 的对角线 AC 上截取 CE=CD,作 EFAC 交 AD 于点 F 求证:AE=EF=FD 【答案】正方形 ABCD,EFAC, 90DEFC CECD ,CFCF ,CEFCDF EFDF 45DAE,AEEF ,45AFEFAE EFAE ,FDFEAE 【习题 8】 如图, 已知 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上的任意一点, BFAE, 垂足为 G, 交 CD 于点 F 求 O F E D C B A A B C D E F A D F G 证:AE=BF 【答案】BFAE,90GBAEAB 90FBCGBA,FBCEAB FBCEAB,BCFEBA,BCAB BCFABE, BFAE

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