1、高三数学 第 1 页 共 22 页 20192020 学年度高三年级第二学期期初调研测试 数数 学学 试试 题题 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分，请把答案填写在答题卡相应位置上分，请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知(1 i)z1 i （i为虚数单位） ，则复数z的模为 2 已知集合 2 12,ABa a，-，若1AB I,则实数a的值为 3 已知某校高一、高二、高三年级分别有 1000、800、600 名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽 取 120 名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取 名学生
2、 4 从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概 率为 5 某程序框图如右图所示，当输入7x 时，输出的y 6 已知双曲线 22 2 1 3 xy b 的两条渐近线与直线3x 围成正三角形， 则双曲线的离心率 为 7 已知变量, x y满足约束条件 0, 0 2 x y xy ， ， 则2yx的最大值为 8 已知为锐角，且 1 cos() 63 ，则sin 9 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中 1 2,3ABAA，O为上底面中心设正四棱柱 1111 ABCDABC D与正 四棱锥 1111 OABC D的侧面积分别为 12 ,S S，则
3、 2 1 S S 10已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且 43432 2+1,2232SSaaa，则 1 a 11已知圆 22 420Cxyxy：，过点(6,0)P的直线l与圆C在x轴上方交于,A B两点，且3PAPB， 高三数学 第 2 页 共 22 页 则直线l的斜率为 12若2,0xy，且 21 1 xy ，则 11 21xy 最小值为 高三数学 第 3 页 共 22 页 13已知ABC中，2,1ABAC，平面ABC上一点D满足3BC AD uuu r uuu r ，则 ()BCBDCD uuu ruuu ruuu r 14已知 32 ( )3f xxa xa，若存在1,1x
4、，使得( )0f x 成立，则实数a的取值范围 为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答解答时应写出文字说明、证明过内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤 15(本小题满分 14 分) 已知 2 ( )4sin sin ()cos2 42 x f xxx （1）求函数的最小正周期； （2）求函数( )(2),0, 62 g xfxx 的值域 16(本小题满分 14 分) 如图， 在四棱锥 P- ABCD 中， 底面ABCD为平行四边形，面 PADABCD面，三角形PAD为正三角形
5、 （1）若,E F为,PB CD中点，证明：/ /EFPAD面； （2）若90PAB，证明：面PADPAB面 F E P D C BA 高三数学 第 4 页 共 22 页 17 (本小题满分 14 分) 过椭圆 22 1 82 xy 上一点( 2, 1)P 作两条直线 12 ,l l与椭圆另交于, A B点，设它们的斜率分别为 12 ,k k （1）若 12 1,1kk ，求PAB的面积 PAB S； （2）若,OAOB PAPB，求直线AB的方程 18 (本小题满分 16 分) 从秦朝统一全国币制到清朝末年， 圆形方孔铜钱 （简称“孔方兄”） 是我国使用时间长达两千多年的货币。 如图 1，这
6、是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心 与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”。某模具厂计划仿制这样的铜钱作为 纪念品，其小圆内部图纸设计如图 2 所示，小圆直径 1 厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等 的小正方形（边长比孔的边长小） ，每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正 方形内用于刻铜钱上的字设OAB，五个正方形的面积和为S （1）求面积S关于的函数表达式，并求tan的范围； （2）求面积S最小值 O BA 高三数学 第 5 页 共 22 页 图 1 图 2 高三数学 第 6 页 共 22 页 19
7、 (本小题满分 16 分) 若函数( )yf x的图像上存在两个不同的点关于y轴对称，则称函数( )yf x图像上存在一对“偶点” （1）写出函数( )sinf xx图像上一对“偶点”的坐标； （不需写出过程） （2）证明：函数g( )ln(2)2xxx图像上有且只有一对“偶点”； （3）若函数h( )e2(R) x xmxm图像上有且只有一对“偶点”，求m的取值范围 20 (本小题满分 16 分) 已知数列 , nnn abc满足： 2nnn baa ， 12 32 nnnn caaa （1）若 n b是等差数列，且公差 112 1dbaa，求数列 n c的通项公式 n c； （2）若 n
8、b、 n c均是等差数列，且数列 n c的公差 11 36,19dac，求数列 n a的通项公式 高三数学 第 7 页 共 22 页 20192020 学年度高三年级第二学期期初调研测试 数学数学（附加题）（附加题） 21 (本小题满分 10 分) 已知Rx，向量 1 1 u r 是矩阵 1 0 2 x A 的属于特征值的一个特征向量，求 1 A 22 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系直线l的参数方 高三数学 第 8 页 共 22 页 程为 2 1 2 2 2 xt yt ， (t为参数)， 曲线C的极坐标方程为2 2sin
9、 4 ， 求直线l被曲线C所截的弦长 23 (本小题满分 10 分) 如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14， 2 5 ADAB uuu ruuu r ， 1 BC与 1 B C交于点 高三数学 第 9 页 共 22 页 E （1）求异面直线 1 AC与 1 DB所成角的余弦值； （2）求二面角 1 ADEA的余弦值 24 (本小题满分 10 分) 若排列 12 , n a aaL中存在 i a使得 11iii aaa （2,1inL） ，则称 i a为排列 12 , n a aaL的一个“极小 值”，例如：排列 2，1，4，3，5 中有两个极小值 1
10、和 3记正整数1,2,nL的所有排列中有且仅有一 个“极小值”的排列的个数为 * ( )(3,N )f n nn （1）求(3)f，(4)f； （2）求( )f n 高三数学 第 10 页 共 22 页 20192020 学年度高三年级第二学期期初调研测试 数数 学学试题参考答案试题参考答案 一、填空题一、填空题：本大题共本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 70 分分 1. 1 2. 1 3. 50 4. 3 1 5. 5 6. 2 3 3 7. 2 8. 2 61 6 9. 10 6 10. 1 11. 8 15 12. 2 13. 3 14. 1312 , 62 U
11、 二、解答题：二、解答题：本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分 15. . 解： 1 cos 2 4sincos2 2 x f xxx 2 2sin1 sin1 2sin2sin1xxxx 5 分 所以函数 yf x的最小正周期为2 7 分 高三数学 第 11 页 共 22 页 ( )(2)2sin 21,0, 662 g xfxxx 8 分 因为0, 2 x ， 所以 5 2, 666 x ， 所以 1 sin 2,1 62 x 11 分 所以函数 yg x的值域为0,3 14 分 16. .证明：取PA的中点G，连接,GD GE. 在PAB中，因为,E G分别为,PB PA中
12、点， 所以GE/AB且 1 2 GEAB2 分 因为底面ABCD为平行四边形，所以DC/AB， F为DC的中点，所以 1 2 DFAB4 分 所以GE/DF且GEDF， 所以四边形GEFD为平行四边形, 所以GD/EF 因为EF 平面PAD，GD平面PAD， 所以EF/ 平面PAD 7 分 取AD的中点H,连接PH. 因为侧面PAD为正三角形，所以PHAD9 分 因为平面PAD平面ABCD，PH 平面PAD， 平面PADI平面ABCDAD, 所以PH 平面ABCD 11 分 因为AB 平面ABCD，所以PHAB， 高三数学 第 12 页 共 22 页 因为 0 90PAB，所以ABAP, 因为
13、PHPAPI，,PA PH 平面PAD， 所以AB 平面PAD 13 分 因为AB 平面PAB，所以平面PAD平面PAB 14 分 17. .解：因为 12 1,1kk ， 所以直线 12 ,l l方程分别为10,30xyxy 由 22 1 82 1 xy yx 得： 2 5840xx， 由此解得 2 5 x ， 所以 7 5 y ， 所以 2 7 , 5 5 A 2 分 同理可得： 141 , 55 B 4 分 所以直线AB的方程为510120xy 所以 22 22 1214711248 2555525 510 PAB S 6 分 设AB的中点为H点 当直线AB过原点时，点H与点O重合. 因
14、为PAPB， 所以POAB， 所以直线AB的方程为20xy8 分 当直线AB不过原点时. 设 00 ,H x y 在OABV中，因为OAOB， 所以OHAB， 高三数学 第 13 页 共 22 页 在PABV中，因为PAPB， 所以PHAB， 所以点,P H O三点共线， 因为直线OP的斜率为 1 2 ，所以直线AB的斜率为2 10 分 设直线AB的方程为20yxm m， 由 22 1 82 2 xy yxm 得： 22 1716480xmxm，所以 0 8 17 m x ， 0 17 m y 所以直线OH斜率为 1 8 ，所以直线OP的斜率与直线OH斜率不相等， 点,P H O三点不共线（与
15、上面的结论矛盾）. 综上：所求直线AB的方程为20xy 14 分 18. . 解：过点O分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为E，F 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合， 所以点,E F分别为小正方形和大正方形边的中点. 所以小正方形的边长为 1 sin2sin 2 ， 大正方形的边长为 1 cossin2cos2sin 2 2 分 所以五个正方形的面积和为 2 2 4sincos2sinS 22 8sincos4sincos4 分 因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长， 所以sincos2sin，所以 1 tan 3 ， 高三数学 第 14 页 共 22 页 所以的取
16、值范围为 0 0,， 00 1 tan,0, 32 6 分 答：面积S关于的函数表达式为 22 8sincos4sincosS， 的取值范围为 0 0,， 00 1 tan,0, 32 7 分 法一： 22 8sincos4sincosS 1 cos21 cos2 82sin2 22 97 2sin2cos2 22 965 sin 2 22 ，其中 7 tan,0, 42 10 分 所以 min 965 2 S , 此时sin 21， 因为 0 0,，所以 0 3 022 22 ， 所以2 2 12 分 所以 14 tan2tan 2tan7 2 2tan4 71 tan ，化简得： 2 2t
17、an7tan20 由此解得： 765 tan 4 ， 因为 1 0tan 3 ，所以 765 tan 4 15 分 高三数学 第 15 页 共 22 页 答：面积S最小值为 965 2 16 分 法二： 22 8sincos4sincosS 222 222 8sincos4sincos8tan4tan1 sincostan1 9 分 令tant，则 2 2 8t41 t1 t S ， 设 2 2 8t411 ,0, t13 t f tt 令 2 2 2 2 272 0 1 tt ft t 得： 7651 43 t 11 分 所以 765 4 t 时，面积S最小值为 965 2 15 分 答：面
18、积S最小值为 965 2 16 分 19. .函数( )sinf xx图像上一对“偶点”的坐标为,0,0 2 分 设 ln2ln22Q xg xgxxxx ， t 765 0, 4 765 4 765 1 , 43 ft 0 f t 极小值 Z 高三数学 第 16 页 共 22 页 因为 yQ x的定义域为2,2，且 QxQ x， 所以函数 yQ x为奇函数 4 分 要证：函数g( )ln(2)2xxx图像上有且只有一对“偶点”， 只需证： yQ x在0,2上有且只有一个零点， 令 2 2 22 0 4 x Q x x ，得 2x ， 所以，函数 Q x在 0,2上为单调减函数，在 2,2上为
19、单调增函数 2ln 32 22 20Q， 444 112 2ln 40Q eee 所以函数 Q x在 4 1 2,2 e 上有且只有一个零点 所以函数g( )ln(2)2xxx图像上有且只有一对“偶点” 7 分（3）设 2 xx F xh xhxeemx ， 00F 因为 yF x的定义域为R，且 FxF x 所以函数 yF x为奇函数. 因为函数h( )e2() x xmxmR图像上有且只有一对“偶点”， 所以函数 yF x在0,有且只有一个零点 9 分 1 2 ,0, x x Fxem x e 0 1当1m时，因为 220Fxm， 高三数学 第 17 页 共 22 页 所以函数 yF x在
20、0,上为单调增函数，所以 00F xF 所以函数 F x在0,无零点 11 分 0 2当1m时， 由 2 121 20 xx x xx eme Fxem ee 得： 2 0 ln1xmm， 所以函数 yF x在 0 0,x上单调减函数，在 0, x 上单调增函数 所以 0 00F xF， 设 lnH xxx 1x Hx x ，所以函数 H x在0,1上单调增函数，在1,上单调减函数 所以 110H xH ， 所以ln xx 所以 2 ln1ln22mmmm 设 2 11 x m xexx，设 2 x M xm xex， 因为 220 x Mxee，所以函数 M x在1,单调增函数 所以 120
21、M xMe ，所以函数 m x在1,单调增函数 所以 120m xme ，所以当1x 时， 2 1 x ex 2222 2 1 241 40 mm m Fmemem e 因为函数 yF x在 0, x 上单调增函数， 所以函数 F x在 0,2 xm上有且仅有一个 1 x，使得 1 0F x 15 分 高三数学 第 18 页 共 22 页 综上：m的取值范围为1, 16 分 20. .因为 n b是等差数列，且公差 1 1db， 2nnn baa ， 所以 2nn aan 2 分 所以 31 1 nn aan ， 3 2a ， 1 8c ， 因为 112312 3232 nnnnnnnn cc
22、aaaaaa 312 232 nnnn aaaan 4 分 所以 21 32 1 3 12 3 22 312,2 nn cc cc ccnn L 上面1n 式子相加得： 1 31 2121 n ccnn L 1 322 2 n n n 所以 2 31 62 22 n cnnn 6 分 当1n 时也满足上面 n c的通项 综上：数列 n c的通项公式 2 31 6 22 n cnn7 分 因为 n c是等差数列，且数列 n c的公差19d ， 所以 12 32613 nnnn caaan ， 1123 32619 nnnn caaan ， -得： 312 26 nnnn aaaa ， 即 1 2
23、6 nn bb 9 分 所以 2132 26,26bbbb， 高三数学 第 19 页 共 22 页 因为 n b是等差数列，设等差数列 n b的公差为 d ， 所以 11 326,356bdbd，由此解得： 1 2,0b d 所以2 n b ，满足 1 26 nn bb ， 即 2 2 nn aa 12 分 因为 1123 3219caaa， 所以 2 232 2219a，所以 2 3a ， 0 1当 * 21nkkN时， 21 2212 k akk ， 所以1 n an 0 2当 * 2nk kN时， 2 3 2121 k akk ， 所以1 n an 15 分 综上：数列 n a的通项公式
24、1 n an16 分 数学附加题数学附加题 高三数学 第 20 页 共 22 页 21. 解：因为向量 u r 是矩阵A的属于特征值的一个特征向量 所以 111 0211 x ， 得： 1 2 x ， 所以1x 4 分 若 ab A cd ，且0A , 则 1 db AA A ca AA 所以 1 1 1 2 1 0 2 A 10 分 22. .因为直线l 的参数方程为 2 1 2 2 2 xt yt 所以直线l的直角坐标方程为10xy 2 分 因为曲线C的极坐标方程是2 2sin 4 ，所以 2 2 sin2 cos， 因为cos ,sinxy， 所以 22 112xy 所以曲线C的直角坐标
25、方程为 22 112xy 5 分 曲线C的圆心到直线l的距离 1 1 12 22 d 所以直线l被曲线C截得弦长为 22 1 22 26 2 Rd 10 分 高三数学 第 21 页 共 22 页 23. .因为 AC3，BC4，AB5，所以 222 ABACBC，所以ACBC 以C为坐标原点，射线 1 ,CA CB CC分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 则 11 3,0,0 ,0,0,4 ,0,4,4 ,0,4,0 ,0,2,2ACBBE，设 000 ,D x y z， 因为 2 5 ADAB uuu ruu u r ，所以 000 2 3,3,4,0 5 xyz， 所以
26、9 8 ,0 5 5 D 2 分 所以 11 9 12 3,0,4 ,4 5 5 ACDB uuuruuur 设异面直线 1 AC与 1 DB所成角为,0, 2 ， 所以 11 11 22 11 27 16 107 5 coscos, 125 912 516 55 ACDB AC DB ACDB uuur uuur uuur uuur uuuruuur 所以异面直线 1 AC与 1 DB所成角的余弦值为107 125 5 分 设平面ADE的一个法向量为 1111 ,nx y z u r ，平面 1 ADE的一个法向量为 2222 ,nxyz u u r . 6 8 ,0 ,3,2,2 5 5
27、ADAE uuu ruuu r ， 所以 11 111 68 0 55 3220 xy xyz ，令 1 3y ，得： 11 4,3xz， 所以 1 4,3,3n u r ，同理可得： 2 2,4,1n u u r 所以 12 12 11 2323 cos,714 7143421 nn n n nn u r u u r u r u u r u ru r， 高三数学 第 22 页 共 22 页 由图可知二面角 1 ADEA的平面角为锐角， 二面角 1 ADEA的余弦值为 23 714 714 10 分 24. .解： （1）若将 1,2,3 排成满足题意的排列，只需将 1 排中间即可，所以(3)
28、2f. 若将 1,2,3,4 排成满足题意的排列，可分成两类： 1）1 排在首位或末位，此时 2 必须排在 3、4 之间，共有 12 22 4C A 个； 2）1 不排在首位也不在末端，共有 13 23 12C A 个. 所以(4)16f. 3 分 （2）一般地， 1）若 1 排在两端，1 必不为“极小值” ，则余下1n个数中必须有且只有一个“极小值” ，此时满 足题意的排列共有 1 2 (1)C f n个；5 分 2）若 1 排在第(2,1)i in号位，1 必为极小值，则余下1n个数中不得再有“极小值”出 现，从余下1n个数中抽取1i个数排在 1 的左侧，这1i个数中的最小数必须排在首位或紧 靠 1 的左侧，否则它即为极小值，矛盾.依次类推，这1i个数共有 12 12 ii n C 种排法. 故， 此时满足题意的排列共有 12113 11 222 iin iin nn CC 个 7 分所以 1 不排在两 端的排列个数为 1 1331 1 2 22(22) n innn n i C 所以 2422242522 ( )2 (1)222(2)2222 nnnnnn f nf nf n = 3242 2(3)(22 )2(3) nnnn fn = 21 2(2) nn n .(4)n ，特别地，当3n时，也适合 所以 21 ( )2(2) nn f nn 10 分
