1、 1 山东省济宁市山东省济宁市 2020 届高三届高三 3 月线上自我检测数学试题月线上自我检测数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1已知集合 Ax|x2x20，集合 Bx|y= 2，则 AB（ ） A2，+） B （2，+） C1，+） D （1，+） 2已知复数 z 在复平面上对应的点为（1，1） ，则（ ） Az+1 是实数 Bz+1 是纯虚数 Cz+i 是实数 Dz+i 是纯虚数 3“xy0”是“ln（
2、x+1）ln（y+1）”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4甲，乙，丙三人报考志愿，有 A，B，C 三所高校可供选择，每人限报一所，则每一所学校都有人报考的 概率为（ ） A1 3 B1 9 C 1 27 D2 9 5下列说法正确的是（ ） A回归直线 = x+ 至少经过其样本数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn）中的一个点 B从独立性检验可知有 99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃地沟油， 那么他有 99%可能患胃肠癌 C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D将一
3、组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差也要加上或减去这个常数 6过点（2，3）的直线将圆（x3）2+y225 分成两段圆弧，当两段圆弧中的劣弧所对圆心角最小时， 该直线的斜率为（ ） A3 B3 C 3 3 D 3 3 7已知实数 a，b 满足 ab0，则 : :2的最大值为（ ） A22 B2+2 C322 D3+22 8已知 lnx1x1y1+20，x2+2y242ln20，记 M（x1x2）2+（y1y2）2，则（ ） AM 的最小值为2 5 BM 的最小值为4 5 CM 的最小值为8 5 DM 的最小值为12 5 2 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，
4、每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9已知函数 f（x）2sin（2x+） （0） ，若将函数 f（x）的图象向右平移 6个单位后关于 y 轴对称， 则下列结论中正确的是（ ） A = 5 6 B( 12，0)是 f（x）图象的一个对称中心 Cf（）2 D = 6是 f（x）图象的一条对称轴 10在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此 六日过
5、其关则下列说法正确的是（ ） A此人第二天走了九十六里路 B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C此人第三天走的路程占全程的1 8 D此人后三天共走了 42 里路 11设抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点若ABD90 ，且ABF 的面积为 93，则（ ） A|BF|3 BABF 是等边三角形 C点 F 到准线的距离为 3 D抛物线 C 的方程为 y26x 12设函数 f（x）= |，0 ( + 1)， 0，若函数 g（x）f（x）b 有三个零点，则实数 b 可取的值可能是 （ ） A0 B
6、1 2 C1 D2 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （1 1） （ +1）5的展开式中，x 的系数为 （用数字作答） 14如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，BAD60 ，E 为 CD 的中点，则 的值为 3 15设双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0）的左焦点为 F，直线 4x3y+200 过点 F 且与双曲线 C 在第二 象限的交点为 P，O 为原点，|OP|OF|，则双曲线 C 的右焦点的坐标为 ，离心率为 16如图所示，某几何体由底面半径和高均为 1 的圆柱与半径为 1 的半球对接而成，在该封闭几
7、何体内部 放入一个小圆柱体， 且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行， 则小圆柱体积的最大值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17现给出两个条件：2c3b2acosB，（2b3c）cosA= 3acosC从中选出一个条件补充在下面 的问题中，并以此为依据求解问题： 在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边， ， （）求 A； （）若 a= 3 1，求ABC 面积的最大值 18已知数列an为公差不为 0 的等差数列，且 a1，a3，a9成等比数列，a2+
8、a46 （）求数列an的通项 an； （）设 bnancos(2:1) 3 ，求数列bn的前 2020 项的和 S2020 19如图，在三棱锥 PABCD 中，PAC 为等腰直角三角形，PAPC，AC2，ABC 为正三角形，D 为 AC 的中点 （）证明：平面 PDB平面 PAC； （）若二面角 PACB 的平面角为锐角，且三棱锥 PABC 的体积为 3 6 ，求直线 PA 与平面 PCB 所成 角的正弦值 4 20 公元 2020 年春， 我国湖北武汉出现了新型冠状病毒， 人感染后会出现发热、 咳嗽、 气促和呼吸困难等， 严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在
9、研究新型冠状病毒某 种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决 定对小白鼠进行做接种试验该试验的设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4， 假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无 关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试 验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X
10、的分布列及数学期望 21已知函数 f（x）（1ax）ex（aR） （）求函数 f（x）的单调区间； （）是否存在一个正实数 a，满足当 xR 时，f（x）1 恒成立若存在，求出 a 的值；若不存在，请 说明理由 22已知椭圆 E1： 2 2 + 2 2 =1（ab0）与抛物线 E2：y24x 在第一象限的交点为 P，椭圆 E1的左、右焦 点分别为 F1，F2，其中 F2也是抛物线 E2的焦点，且|PF2|= 5 3 （）求椭圆 E1的方程； （）过 F2的直线 l（不与 x 轴重合）交椭圆 E1于 M、N 两点，点 A 为椭圆 E1的左顶点，直线 AM、AN 分别交直线 x4 于点 B、C，求
11、证：BF2C 为定值 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. 1集合 Ax|x2x20x|x1 或 x2，集合 Bx|y= 2x|x2， ABx|x2， 故选：B 2由题意可得，z1+i，则 z+1i 为纯虚数，z+i1+2i 是虚数，但不是纯虚数， 故选：B 3由 xy0，得 x+1y+10，则 ln（x+1）ln（y+1） ， 5 反之，由 ln（x+1）ln（y+1） ，得 + 10 + 10 + 1 + 1 ，即 x
12、y1 “xy0”是“ln（x+1）ln（y+1）”成立的充分不必要条件 故选：A 4甲，乙，丙三人报考志愿，有 A，B，C 三所高校可供选择，每人限报一所， 基本事件个数 n3327， 每一所学校都有人报考包含的基本个数 m= 3 3 =6， 每一所学校都有人报考的概率为 p= = = 6 27 = 2 9 故选：D 5对于选项 A：回归直线 = x+ 不一定经过其样本数据（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn）中的一个点， 故错误 对于选项 B：从独立性检验可知有 99%的把握认为吃地沟油与患胃肠癌有关系时，我们就说如果某人吃 地沟油，那么他有 99%可能患胃肠癌，故错误 对于
13、选项 C：在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，正确 对于选项 D：将一组数据的每一个数据都加上或减去同一个常数后，其方差还是这个常数，故错误 故选：C 6如图所示， 设圆心 C（3，0） ， （2，3）则当 CPl 时，劣弧所对的圆心角最小 kPC= ;3 3;2 = 3，kCPkl1， kl= 3 3 直线的斜率为 3 3 故选：D 6 7ab0， 则 : :2 = (:2;) (:)(:2) = 2:3:22 = 1 : 2 :3 1 22:3 =322， 当且仅当 = 2 时取等号，此时取得最大值为 322 故选：C 8设 A（x1，y1） ，B（x2，y
14、2） ， 点 A 在函数 ylnxx+2 的图象上，点 B 在直线 x+2y42ln20 上， M（x1x2）2+（y1y2）2的最小值转化为函数 ylnxx+2 的图象上的点与直线 x+2y42ln20 上 点距离最小值的平方 由 ylnxx+2，得 y= 1 1，与直线 x+2y42ln20 平行的直线的斜率为 k= 1 2 令1 1 = 1 2，得 x2，则切点坐标为（2，ln2） ， 切点（2，ln2）到直线 x+2y42ln20 的距离 d= |2:22;4;22| 5 = 25 5 即 M（x1x2）2+（y1y2）2的最小值为4 5 故选：B 二、多项选择题：本题共二、多项选择题
15、：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全全 部选对的得部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9f（x）2sin（2x+）向右平移 6得 y2sin2（x 6）+2sin（2x+ 3） ， y2sin（2x+ 3）的图象关于 y 轴对称，所以 3 =k+ 2，kZ， k+ 5 6 ，kZ又 0，k0，= 5 6 f（x）2sin（2x+ 5 6 ） f（ 12）0f（ 6）2， 故选：ABD 10 【解答】解：设此人第 n 天
16、走 an里路，则an是首项为 a1，公比为 q= 1 2的等比数列， 由等比数列前 n 项和公式得 S6= 1(1; 1 26) 1;1 2 = 378，解得 a1192， 在 A 中，a2= 192 1 2 =96，此人第二天走了九十六里路，故 A 正确； 在 B 中，378192186，1921866，此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，故 B 正确； 在 C 中，a3192 1 4 =48， 48 378 1 8，故 C 错误； 在 D 中，a4+a5+a6192 （1 8 + 1 16 + 1 32）42，故 D 正确 7 故选：ABD 11因为|FA|为半径的圆交 l 于 B，
17、D 两点，所以 FAFB，若ABD90 可得 FAAB，所以可得ABF 为 等边三角形，所以 B 正确； 过F作FCAB交于C， 则C为AB的中点， C的横坐标为 2， B的横坐标为 2， 所以A的横坐标为： 3 2 ， 代入抛 物线可得 y23p2，|yA|= 3， ABF 的面积为 93，即1 2（xAxB）|yA|= 1 2（ 3 2 + 2） 3 =93，解得：p3， 所以抛物线的方程为：y26x，所以 D 正确 焦点坐标为： （3 2，0） ，所以焦点到准线的距离为： 3 2 23，所以 C 正确； 此时 A 的坐标：9 2，所以 BFAFAB= 9 2 + 3 2 =6，所以 A
18、不正确， 故选：BCD 12函数 g（x）f（x）b 有三个零点，则函数 g（x）f（x）b0，即 f（x）b 有三个根， 当 x0 时，f（x）ex（x+1） ，则 f（x）ex（x+1）+exex（x+2） ， 由 f（x）0 得 x+20，即 x2，此时 f（x）为减函数， 由 f（x）0 得 x+20，即2x0，此时 f（x）为增函数， 即当 x2 时，f（x）取得极小值 f（2）= 1 2， 作出 f（x）的图象如图： 要使 f（x）b 有三个根， 则 0b1， 故选：BC 8 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13（
19、1 1） （ +1）5（1 1） （ 5 2+5x2+10 3 2+10x+5 1 2+1） ， 故展开式中，x 的系数为 5105， 故答案为：5 14E 为 CD 的中点， = + = + 1 2 = + 1 2 ， = ， = ( + 1 2 ) ( ) = 2 1 2 2 1 2 ， 边长为 4 的菱形 ABCD 中，BAD60 ， = | | 600= 4 4 1 2 = 8， = 42 1 2 42 1 2 8 = 16 8 4 = 4 故答案为：4 15如图，双曲线 C： 2 2 2 2 =1（a0，b0） （a0，b0）的右焦点为 N |OP|OF|ON|c，则PFN 是以 F
20、N 为斜边的直角三角形， 直线 4x3y+200 过点 F，c5， 则双曲线 C 的右焦点的坐标为（5，0） 在 RtPFN 中，PFPN，kPF= 4 3，tanPFN= 4 3，FN10 PN8，PF6，则 2a2，a1， 则 C 的离心率为 e= =5， 故答案为： （5，0） ，5 9 16设小圆柱体底面半径为 cos，则高为 1+sin，（0， 2） 小圆柱体积 V（cos）2（1+sin） ， 设 sint，t（0，1） ，则 V（t3t2+t+1） ， V（3t+1） （t+1） ，t= 1 3时，小圆柱体积的最大值为 32 27 ， 故答案为：32 27 四、解答题：本题共四、
21、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17选择条件：2c3b2acosB， （）由余弦定理可得 2c3b2acosB2a 2:2;2 2 ， 整理可得 c2+b2a2= 3bc，可得 cosA= 2:2;2 2 = 3 2 = 3 2 ， A（0，） ， A= 6 （）a= 3 1，A= 6， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得（3 1）2b2+c22bc 3 2 ， 423 =b2+c23bc2bc3bc，可得 bc2， SABC= 1 2bcsinA 1 2 2 1 2 = 1 2，即A
22、BC 面积的最大值为 1 2 10 选择条件：（2b3c）cosA= 3acosC （）由题意可得 2bcosA= 3acosC+3ccosA， 2sinBcosA= 3（sinAcosC+sinCcosA）= 3sin（A+C）= 3sinB， sinB0， 可得 cosA= 3 2 ， A（0，） ， A= 6 （）a= 3 1，A= 6， 由余弦定理 a2b2+c22bccosA，可得（3 1）2b2+c22bc 3 2 ， 423 =b2+c23bc2bc3bc，可得 bc2， SABC= 1 2bcsinA 1 2 2 1 2 = 1 2，即ABC 面积的最大值为 1 2 18 （）
23、设数列an为公差 d 不为 0 的等差数列，a1，a3，a9成等比数列， 可得 a32a1a9，即（a1+2d）2a1（a1+8d） ，化为 da1， a2+a46，即为 2a1+4d6， 解方程可得 da11，可得 an1+n1n，nN*； （）bnancos(2:1) 3 =ncos(2:1) 3 ， 由 cos(2:1) 3 的最小正周期为 3， 可得bn的每隔 3 项均为等差数列，公差分别为 3，3 2， 3 2， 且前三项为1，1，3 2，且 2020673 3+1， 则 S20201 673+ 1 2 673 672 3+（1 673+ 1 2 673 672 3 2）+（ 3 2
24、 673+ 1 2 673 672 3 2）2020 = 2021 2 19 （）证明：PAPC，D 为 AC 的中点， ACPD， 又ABC 为等边三角形，BABC， ACBD， 又 BDPDD，且都在平面 PDB 内， AC平面 PDB， 11 又 AC 在平面 PAC 内， 平面 PDB平面 PAC； （）由（）知点 P 在平面 ABC 内的射影 O 在直线 BD 上，又二面角 PACB 的平面角为锐角， O 在射线 DB 上，= 3 4 4 = 3，;= 1 3 = 3 6 ， = 1 2， 又 PD1， = 3 2 ，即 O 为 BD 的中点，取 AB 中点 E，连接 OE，则 OE
25、AD， OE平面 POB， OE，OB，OP 两两互相垂直， 以 O 为坐标原点，OE，OB，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 (0，0，0)，(0， 3 2 ，0)，(1， 3 2 ，0)，(1， 3 2 ，0)，(0，0， 1 2) ， = (0， 3 2 ， 1 2)， = (1， 3，0)， 设平面 PCB 的一个法向量为 = (，)，则 = 3 2 1 2 = 0 = 3 = 0 ，可取 = (3，1，3)， 12 又 = (1， 3 2 ， 1 2)， 设直线 PA 与平面 PCB 所成角为 ， 则 = | ， | = 23 72 =
26、42 7 20 （）连续接种三天为一个接种周期，每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4， 假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验， 由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得： 一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为： P1= 1 4 + 3 4 1 4 + 3 4 3 4 1 4 = 37 64 （）随机变量 1，2，3，设事件 C 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状”， P（X1）P（C）= 3 2(1 4) 2(3 4) + 3 3(1 4) 3 = 5 32， P（X2）1P（C） P（
27、C）（1 5 32） 5 32 = 135 1024， P（X3）1P（C）1P（C） 1（1 5 32） （1 5 32） 1= 729 1024， 所以 X 的分布列为： 1 2 3 P 5 32 135 1024 729 1024 X 的数学期望 E（X）= 1 5 32 + 2 135 1024 + 3 729 1024 = 2617 1024 21 （I）f（x）aex+（1ax）ex（1aax）ex a0 时，f（x）ex0，此时函数 f（x）在 R 上单调递增 a0 时，f（x）a（x 1; ）ex， a0 时，函数 f（x）在（，1; ）上单调递增，在（1; ，+）上单调递减
28、a0 时，函数 f（x）在（，1; ）上单调递减，在（1; ，+）上单调递增 （II）假设存在一个正实数 a，满足当 xR 时，f（x）1 恒成立 即 1ax 1 0 恒成立，当 xR 时 令 g（x）1ax 1 ，g（x）a+ 1 ，在 R 上单调递减 令 g（x）a+ 1 =0，解得 a= 1 ，xlna 则 xlna 时，函数 g（x）取得极大值即最大值 g（lna）1+alnaah（a） ， 13 h（a）lna0，解得 a1 a1 时，h（a）取得极小值即最小值因此只有 a1 时，g（lna）1+alnaah（a）0，恒成 立 存在一个正实数 a1，满足当 xR 时，f（x）1 恒成
29、立 22 （I）抛物线 y24x 的焦点为（1，0） ， |PF2|= + 1 = 5 3， = 2 3， 所以= 2 3 6 ， (2 3， 2 36)， 又 F2（1，0） ，F1（1，0） ， 所以|1| + |2| = 7 3 + 5 3 = 4 = 2， = 2， 又 c1，b23， 所以椭圆 E1的方程 2 4 + 2 3 = 1； （II）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，B（4，yB） ，C（4，yC） ， 当直线 l 与 x 轴垂直时，易得 B（4，3） ，C（4，3）或 B（4，3） ，C（4，3） ，不妨设 B（4，3） ，C （4，3） ， 所以2 = (3，
30、3)，2 = (3， 3)， 有2 2 = 9 9 = 0，得BF 2 = 2， 当直线 l 与 x 轴不垂直，设 yk（x1） ， 由 = ( 1) 2 4 + 2 3 = 1 ，消去 y 得， （3+4k2）x28k2x+4k2120， 所以1+ 2= 82 3:42，12 = 42;12 3:42 ， 由 A，M，B 共线，得1;0 1:2 = ;0 4:2 ，= 61 1:2，同理 = 62 2:2， 所以2 2 = 9 + = 9 + 3612 (1:2)(2:2) 3612= 9(1+ 2)(2+ 2) + 362（1+ 1)(2+ 1) + 362+ 36（x2+1） （36k2+9）12+ (18 362)(1+ 2) + 362+ 36 （36k 2 + 9) 42;12 3:42 + (18 362) 82 3:42 42;12 3:42 + (18 362) 82 3:42 +36k2+360， 故 F2BF2C， 综上，2 = 2
