1、2018 年湖南省永州市零陵区中考数学一模试卷年湖南省永州市零陵区中考数学一模试卷 一、选择题本大题共一、选择题本大题共 10 个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡 上，每小题上，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）2018 的相反数是（ ） A2018 B2018 C D 2 （4 分）下列计算正确的是（ ） A1a1 Ba3a 2a5 Ca（a1）a21 D 3 （4 分） 国产越野车 “BJ40” 中， 哪个数字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形 （ ） AB BJ C4 D0 4 （4 分
2、）如图所示，某同学的家在 P 处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择 P C 路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ） A两点确定一条直线 B垂直线段最短 C两点之间线段最短 D三角形两边之和大于第三边 5 （4 分）今年世界环境日，某校组织以保护环境为主题的演讲比赛，参加决赛的 6 名选手 成绩（单位：分）如下：8.5，8.8，9.4，9.0，8.8，9.5，这 6 名选手成绩的众数和中位数 分别是（ ） A8.8 分，8.8 分 B9.5 分，8.9 分 C8.8 分，8.9 分 D9.5 分，9.0 分 6 （4 分）某城市几条道路的位置关系如图所示，已知 ABCD，AE 与 AB
3、的夹角为 48， 若 CF 与 EF 的长度相等，则C 的度数为（ ） 第 2 页（共 28 页） A48 B40 C30 D24 7 （4 分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 8 （4 分） 如图， O 是ABC 的外接圆， BC2， BAC30， 则劣弧的长等于 （ ） A B C D 9 （4 分）一种药品原价每盒 25 元，经过两次降价后每盒 16 元设两次降价的百分率都为 x，则 x 满足（ ） A16（1+2x）25 B25（12x）16 C16（1+x）225 D25（1x）216 10 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB3cm，动点 M 自
4、 A 点出发沿 AB 方向以每秒 1cm 的速度运动，同时动点 N 自 D 点出发沿折线 DCCB 以每秒 2cm 的速度运动，到达 B 点时运动同时停止，设AMN 的面积为 y（cm2） ，运动时间为 x（秒） ，则下列图象中能 大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ） 第 3 页（共 28 页） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每小题个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每小题 4 分分，共，共 32 分）分） 11 （4 分）在，0，0.3245 这五个数中，无理数有 个 12 （4 分） 13 （4 分）已知一次函
5、数 ykx+b，若|k+1|+0，则此函数的图象不经过第 象 限 14 （4 分）在ABC 中，若C90，AB10，sinA，则 BC 15 （4 分）二次函数 y（x+1）2的顶点坐标是 16 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，按以下步骤作图：以 A 为圆心，任意长为半 径作弧，分别交 AB，AD 于点 M，N；分别以 M，N 为圆心，以大于MN 的长为半径 作弧，两弧相交于点 P；作 AP 射线，交边 CD 于点 Q，若 DQ2QC，BC3，则平 行四边形 ABCD 周长为 17 （4 分）在永州有一种叫“斗牛”的游戏，每人发 5 张扑克牌，在这 5 张牌中取岀 3 张 牌，若这
6、 3 张牌的数字之和是 10 的整数倍，我们称之为“牛” （注；J、Q、K 的数字规 定为 10） ；现某人得到 J，K，4，6，9 这 5 张牌，那么在这 5 张牌中任取岀 3 张牌能组 成“牛”的概率是 18 （4 分）古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性， 第 4 页（共 28 页） 若把第一个三角形数记为 x1，第二个三角形数记为 x2，第 n 个三角形数记为 xn，则 x10 ；xn+xn+1 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 78 分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
7、 19 （8 分）计算：|3+1|+4cos60+（2018）0 20 （8 分）先化简，再求值：，请你在3x2 中选取一个合适整数 求值 21 （8 分）某校为了解学生体质情况，从各年级随机抽取部分学生进行体能测试，每个学 生的测试成绩按标准对应为优秀、良好、及格、不及格四个等级，统计员在将测试数据 绘制成图表时发现，优秀漏统计 4 人，良好漏统计 6 人，于是及时更正，从而形成如图 图表，请按正确数据解答下列各题： 学生体能测试成绩各等次人数统计表 体能等级 调整前人数 调整后人数 优秀 8 良好 16 及格 12 不及格 4 合计 40 （1）填写统计表； （2）根据调整后数据，补全条形
8、统计图； （3）若该校共有学生 1500 人，请你估算出该校体能测试等级为“优秀”的人数 22 （10 分）如图，点 C、F、E、B 在一条直线上，CFDBEA，CEBF，DFAE， 写出 CD 与 AB 之间的关系，并证明你的结论 第 5 页（共 28 页） 23 （10 分）某商店购进了一批甲、乙两种不同品牌的雪糕，其中甲种雪糕花费了 40 元， 乙种雪糕花费了 30 元，已知甲种雪糕比乙种雪糕多了 20 个，乙种雪糕的单价是甲种雪 糕单价的 1.5 倍 （1）求购进的甲、乙两种雪糕的单价； （2）若甲雪糕每个的售价是 1.5 元，该商店保证卖出这批雪糕的利润不低于 40 元，那么 乙种雪
9、糕的售价至少是多少元？ 24 （10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C、D 为半圆 O 的三等分点，过点 C 作 CEAD， 交 AD 的延长线于点 E （1）求证：CE 是O 的切线； （2）判断四边形 AOCD 是否为菱形？并说明理由； （3）若O 的半径为 2，扇形 AOC 恰好是某一个圆锥的侧面展开图，求此圆锥的高 25 （12 分）如图，抛物线 C1：ymx22mx3m（m0）与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交 于 D 点， 顶点为 M， 另一条抛物线 C2与 x 轴也交于 A， B 两点， 且与 y 轴的交点是 C （0， ） ，顶点是 N （1）求 A，B 两点的坐标；
10、 （2）求抛物线 C2的表达式并求出两条抛物线的对称轴； （3）当DBC90时，求 m 的值； （4）在（3）的条件下，P 是直线 MN 上一动点，且使 PA+PD 的值最小，请求出这个最 小值，并求出 P 点的坐标 第 6 页（共 28 页） 26 （12 分）探究题 先阅读下面这道基础题的证明过程，然后探究后面的河题： 基础题：如图（1） ，分别以ABC 两边 AB，AC 向三角形外部作正方形 ABDE，ACFG， H，K，N 分别是 EB，BC，GC 的中点 求证： （1）ECBG； （2）ECBG 证明： （1）在AEC 和ABG 中， 因为 AEAB， EAC90+BACBAG，AC
11、AG， 所以AECABG，所以 ECBG； （2）将AEC 绕点 A 逆时针旋转 90后，恰好与ABG 重合，因此，ECBG 探究 1：已知如图（2） ，H，N 分别是正方形 ABDE，ACFG 的中心，K 是 BC 的中点 求证： （1）HKNK； （2）HKNK 探究 2：利用探究 1 的方法与结论，我们继续探究以下两个问题： 问题 1：如图（3） ，分别以ABC 各边向外作正方形，点 M，N，P 分别是它们的中心， 连接 AP，MN 求证： （1）MNAP； （2）MMAP 第 7 页（共 28 页） 问题 2：如图（4） ，以凸四边形 ABCD 的各边向外作正方形，E，G，F，H 依次
12、是各正 方形的中心， 连接 EF， GH， 现请你猜想： 线段 GH 与 EF 有怎样的数量关系和位置关系？ 请你直接写出你的结论（不必证明） 第 8 页（共 28 页） 2018 年湖南省永州市零陵区中考数学一模试卷年湖南省永州市零陵区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题本大题共一、选择题本大题共 10 个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡个小题，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡 上，每小题上，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）2018 的相反数是（ ） A2018 B2018 C D 【分析】只有符号不
13、同的两个数叫做互为相反数 【解答】解：2018 的相反数是 2018 故选：A 【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键 2 （4 分）下列计算正确的是（ ） A1a1 Ba3a 2a5 Ca（a1）a21 D 【分析】根据二次根式运算法则即可求出答案 【解答】解： （A）原式1aaa2，故 A 错误； （B）原式a，故 B 错误； （C）原式a2a，故 C 错误； 故选：D 【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础 题型 3 （4 分） 国产越野车 “BJ40” 中， 哪个数字或字母既是中心对称图形又是轴对称图形 （ ） AB B
14、J C4 D0 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、B 不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； B、J 不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误； C、4 不是中心对称图形，也不轴对称图形，故本选项错误； D、0 既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确 第 9 页（共 28 页） 故选：D 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分 重合 4 （4 分）如图所示，某同学的家在 P 处，他想尽快赶到附近公路边搭公
15、交车，他选择 P C 路线，用几何知识解释其道理正确的是（ ） A两点确定一条直线 B垂直线段最短 C两点之间线段最短 D三角形两边之和大于第三边 【分析】根据垂线段的性质解答即可 【解答】解：某同学的家在 P 处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择 PC 路 线，是因为垂直线段最短， 故选：B 【点评】此题主要考查了垂线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两垂 直线段最短 5 （4 分）今年世界环境日，某校组织以保护环境为主题的演讲比赛，参加决赛的 6 名选手 成绩（单位：分）如下：8.5，8.8，9.4，9.0，8.8，9.5，这 6 名选手成绩的众数和中位数 分别是（ ）
16、A8.8 分，8.8 分 B9.5 分，8.9 分 C8.8 分，8.9 分 D9.5 分，9.0 分 【分析】分别根据众数的定义及中位数的定义求解即可 【解答】解：由题中的数据可知，8.8 出现的次数最多，所以众数为 8.8； 从小到大排列：8.5，8.8，8.8，9.0，9.4，9.5， 故可得中位数是8.9 第 10 页（共 28 页） 故选：C 【点评】此题考查了中位数及众数的定义，属于基础题，注意掌握众数及中位数的定义 及求解方法 6 （4 分）某城市几条道路的位置关系如图所示，已知 ABCD，AE 与 AB 的夹角为 48， 若 CF 与 EF 的长度相等，则C 的度数为（ ） A
17、48 B40 C30 D24 【分析】先根据平行线的性质，由 ABCD 得到1BAE45，然后根据三角形外 角性质计算C 的度数 【解答】解：ABCD， 1BAE48， 1C+E， CFEF， CE， C14824 故选：D 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两 直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等 7 （4 分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（ ） 第 11 页（共 28 页） A B C D 【分析】根据不等式解集的表示方法即可判断 【解答】解： 解不等式得：x1， 解不等式得：x2， 不等式组的解集是1x2， 表示在数轴上，如图所示
18、： 故选：A 【点评】此题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是 求出不等式组的解集 8 （4 分） 如图， O 是ABC 的外接圆， BC2， BAC30， 则劣弧的长等于 （ ） A B C D 【分析】 连接 OB、 OC， 利用圆周角定理求得BOC60， 然后利用弧长公式 l 来计算劣弧的长 【解答】解：如图，连接 OB、OC， BAC30， BOC2BAC60， 又 OBOC， OBC 是等边三角形， BCOBOC2， 第 12 页（共 28 页） 劣弧的长为： 故选：A 【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质根据圆周 角定理得到
19、BOC60是解题的关键所在 9 （4 分）一种药品原价每盒 25 元，经过两次降价后每盒 16 元设两次降价的百分率都为 x，则 x 满足（ ） A16（1+2x）25 B25（12x）16 C16（1+x）225 D25（1x）216 【分析】等量关系为：原价（1降价的百分率）2现价，把相关数值代入即可 【解答】解：第一次降价后的价格为：25（1x） ； 第二次降价后的价格为：25（1x）2； 两次降价后的价格为 16 元， 25（1x）216 故选：D 【点评】本题考查求平均变化率的方法若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变 化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2b
20、 10 （4 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB3cm，动点 M 自 A 点出发沿 AB 方向以每秒 1cm 的速度运动，同时动点 N 自 D 点出发沿折线 DCCB 以每秒 2cm 的速度运动，到达 B 点时运动同时停止，设AMN 的面积为 y（cm2） ，运动时间为 x（秒） ，则下列图象中能 大致反映 y 与 x 之间函数关系的是（ ） 第 13 页（共 28 页） A B C D 【分析】分两部分计算 y 的关系式：当点 N 在 CD 上时，易得 SAMN的关系式，SAMN 的面积关系式为一个一次函数；当点 N 在 CB 上时，底边 AM 不变，表示出 SAMN的 关系式，SAMN
21、的面积关系式为一个开口向下的二次函数 【解答】解：点 N 自 D 点出发沿折线 DCCB 以每秒 2cm 的速度运动，到达 B 点时 运动同时停止， N 到 C 的时间为：t321.5， 分两部分： 当 0x1.5 时，如图 1，此时 N 在 DC 上， SAMNyAMADx3x， 当 1.5x3 时，如图 2，此时 N 在 BC 上， DC+CN2x， BN62x， SAMNyAMBNx（62x）x2+3x， 故选：A 第 14 页（共 28 页） 【点评】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函 数关系式是解决本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共
22、 8 个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每小题个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分）在，0，0.3245 这五个数中，无理数有 2 个 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此即可判定选择项 【解答】解：在，0，0.3245 这五个数中，无理数有 ，这两个数， 故答案为：2 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这
23、样规律的数 12 （4 分） 【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得 【解答】解：原式32， 故答案为： 【点评】本题主要考查二次根式的加减，解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和 法则 13 （4 分）已知一次函数 ykx+b，若|k+1|+0，则此函数的图象不经过第 三 象 限 【分析】先根据非负数性质得出 k、b 的值，再由一次函数性质得出其图象经过的象限和 不经过的象限 【解答】解：|k+1|+0， k+10 且 b10， 解得 k1、b1， 第 15 页（共 28 页） 则一次函数解析式为 yx+1， 所以一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为：三
24、【点评】本题主要考查一次函数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质和一次函数的 性质 14 （4 分）在ABC 中，若C90，AB10，sinA，则 BC 4 【分析】根据锐角三角函数的定义得出 sinA，代入求出即可 【解答】解： sinA，SB10， BC4， 故答案为：4 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题 的关键 15 （4 分）二次函数 y（x+1）2的顶点坐标是 （1，0） 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标 【解答】解：二次函数 y（x+1）2的顶点坐标是（1，0） ， 故答案为： （1，0） 【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉
25、顶点式的意义，并明确：ya（xh）2+k （a0）的顶点坐标为（h，k） 16 （4 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，按以下步骤作图：以 A 为圆心，任意长为半 径作弧，分别交 AB，AD 于点 M，N；分别以 M，N 为圆心，以大于MN 的长为半径 作弧，两弧相交于点 P；作 AP 射线，交边 CD 于点 Q，若 DQ2QC，BC3，则平 行四边形 ABCD 周长为 15 第 16 页（共 28 页） 【分析】 根据角平分线的性质可知DAQBAQ， 再由平行四边形的性质得出CDAB， BCAD3，BAQDQA，故可得出AQD 是等腰三角形，据此可得出 DQAD， 进而可得出结论 【解答
26、】解：由题意可知，AQ 是DAB 的平分线， DAQBAQ 四边形 ABCD 是平行四边形， CDAB，BCAD3，BAQDQA， DAQDQA， AQD 是等腰三角形， DQAD3 DQ2QC， QCDQ， CDDQ+CQ3+， 平行四边形 ABCD 周长2（DC+AD）2（+3）15 故答案为：15 【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键 17 （4 分）在永州有一种叫“斗牛”的游戏，每人发 5 张扑克牌，在这 5 张牌中取岀 3 张 牌，若这 3 张牌的数字之和是 10 的整数倍，我们称之为“牛” （注；J、Q、K 的数字规 定为 10） ；现某人得到 J，
27、K，4，6，9 这 5 张牌，那么在这 5 张牌中任取岀 3 张牌能组 成“牛”的概率是 【分析】5 张牌中任取岀 3 张牌能组成“牛”的个数除以 5 张牌中任取岀 3 张牌的总数， 计算即可； 【解答】解：5 张牌中任取岀 3 张牌为60， 5 张牌中任取岀 3 张牌能组成“牛”的情况如下为：12 第 17 页（共 28 页） 这 5 张牌中任取岀 3 张牌能组成“牛”的概率为： 故答案为： 【点评】本题主要考查了概率的计算方法：概率所求情况数与总情况数之比，难度适 中 18 （4 分）古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，叫做三角形数，它有一定的规律性， 若把第一个三角形数记为
28、x1，第二个三角形数记为 x2，第 n 个三角形数记为 xn，则 x10 55 ；xn+xn+1 （n+1）2 【分析】根据三角形数得到 x11，x231+2，x361+2+3，x4101+2+3+4，x5 151+2+3+4+5，即三角形数为从 1 到它的顺号数之间所有整数的和，据此求解可得 【解答】解：x11， x231+2， x361+2+3， x4101+2+3+4， x5151+2+3+4+5， x101+2+3+4+5+6+7+8+9+1055， xn1+2+3+n，xn+1， 则 xn+xn+1+（n+1）2， 故答案为：55、 （n+1）2 【点评】本题考查了规律型：数字的变化
29、类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的 因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 78 分，解答题要求写出证明步骤或解答过程分，解答题要求写出证明步骤或解答过程） 19 （8 分）计算：|3+1|+4cos60+（2018）0 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得 出答案 【解答】解：原式23+4+1 2 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 第 18 页（共 28 页） 20 （8 分）先化简，再求值：，请你在3x2 中选取一个合适整数 求值 【分析】原式第二项利
30、用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最 简结果，把 x 的值代入计算即可求出值 【解答】解：原式， 当 x0 时，原式5 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算 法则是解本题的关键 21 （8 分）某校为了解学生体质情况，从各年级随机抽取部分学生进行体能测试，每个学 生的测试成绩按标准对应为优秀、良好、及格、不及格四个等级，统计员在将测试数据 绘制成图表时发现，优秀漏统计 4 人，良好漏统计 6 人，于是及时更正，从而形成如图 图表，请按正确数据解答下列各题： 学生体能测试成绩各等次人数统计表 体能等级 调整前人数 调整后人数 优秀 8
31、12 良好 16 22 及格 12 12 不及格 4 4 合计 40 50 （1）填写统计表； （2）根据调整后数据，补全条形统计图； （3）若该校共有学生 1500 人，请你估算出该校体能测试等级为“优秀”的人数 第 19 页（共 28 页） 【分析】 （1）求出各自的人数，补全表格即可； （2）根据调整后的数据，补全条形统计图即可； （3）根据“优秀”人数占的百分比，乘以 1500 即可得到结果 【解答】解： （1）填表如下： 体能等级 调整前人数 调整后人数 优秀 8 12 良好 16 22 及格 12 12 不及格 4 4 合计 40 50 故答案为：12；22；12；4；50； （2
32、）补全条形统计图，如图所示： （3）抽取的学生中体能测试的优秀率为 24%， 则该校体能测试为“优秀”的人数为 150024%360（人） 【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解 本题的关键 22 （10 分）如图，点 C、F、E、B 在一条直线上，CFDBEA，CEBF，DFAE， 写出 CD 与 AB 之间的关系，并证明你的结论 【分析】求出 CFBE，根据 SAS 证AEBCFD，推出 CDAB，CB，根据 第 20 页（共 28 页） 平行线的判定推出 CDAB 【解答】解：CDAB，CDAB， 理由是：CEBF， CEEFBFEF， CFBE，
33、在AEB 和CFD 中， ， AEBCFD（SAS） ， CDAB，CB， CDAB 【点评】本题考查了平行线的判定和全等三角形的性质和判定的应用全等三角形的判 定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键 是选择恰当的判定条件 23 （10 分）某商店购进了一批甲、乙两种不同品牌的雪糕，其中甲种雪糕花费了 40 元， 乙种雪糕花费了 30 元，已知甲种雪糕比乙种雪糕多了 20 个，乙种雪糕的单价是甲种雪 糕单价的 1.5 倍 （1）求购进的甲、乙两种雪糕的单价； （2）若甲雪糕每个的售价是 1.5 元，该商店保证卖出这批雪糕的利润不低于 40 元，那么 乙种雪糕
34、的售价至少是多少元？ 【分析】 （1）若设甲种雪糕的单价为 x 元，则乙种雪糕的单价为 1.5x 元，根据关键描述 语“甲种雪糕比乙种雪糕多 20 根” ，得到等量关系：购买甲种雪糕的根数购买乙种雪 糕的根数20，据此列长方程，求解即可 （2）根据题意列出不等式，解答即可 【解答】解：设甲种雪糕的单价为 x 元，则乙种雪糕的单价为 1.5x 元， 由题意， 解得 x1， 经检验，x1 是原方程的根， 1.5x1.5 第 21 页（共 28 页） 答：甲、乙两种雪糕的单价分别为 1 元、1.5 元 （2）设乙种雪糕的售价 y 元，根据题意可得： 400.5+（y1.5）2040， 解得：y2.5
35、， 答：乙种雪糕的售价至少是 2.5 元 【点评】考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量， 一定是根据另一量来列等量关系的本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的 关键 24 （10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C、D 为半圆 O 的三等分点，过点 C 作 CEAD， 交 AD 的延长线于点 E （1）求证：CE 是O 的切线； （2）判断四边形 AOCD 是否为菱形？并说明理由； （3）若O 的半径为 2，扇形 AOC 恰好是某一个圆锥的侧面展开图，求此圆锥的高 【分析】 （1）连接 AC，由题意得，DACCAB，即可证明 AEOC，从 而得出OCE9
36、0，即可证得结论； （2）四边形 AOCD 为菱形由，则DCACAB 可证明四边形 AOCD 是平行 四边形，再由 OAOC，即可证明平行四边形 AOCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边 形是菱形） ， （3）根据圆锥的侧面积和其圆心角的度数求出其母线长，然后利用勾股定理求圆锥的 高 【解答】解： （1）连接 AC， 点 CD 是半圆 O 的三等分点， ， DACCAB， 第 22 页（共 28 页） OAOC， CABOCA， DACOCA， AEOC（内错角相等，两直线平行） OCE+E180， CEAD， OCE90， OCCE， CE 是O 的切线； （2）四边形 AOCD 为菱形 理
37、由是： ， DCACAB， CDOA， 又AEOC， 四边形 AOCD 是平行四边形， OAOC， 平行四边形 AOCD 是菱形， （3）菱形 AOCD， OAOCADCD， AOC120， O 的半径为 2， 120360， L3r， L6， h 第 23 页（共 28 页） 【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、菱形的判 定和性质，是中学阶段的重点内容 25 （12 分）如图，抛物线 C1：ymx22mx3m（m0）与 x 轴交于 AB 两点，与 y 轴交 于 D 点， 顶点为 M， 另一条抛物线 C2与 x 轴也交于 A， B 两点， 且与 y 轴的交点是
38、C （0， ） ，顶点是 N （1）求 A，B 两点的坐标； （2）求抛物线 C2的表达式并求出两条抛物线的对称轴； （3）当DBC90时，求 m 的值； （4）在（3）的条件下，P 是直线 MN 上一动点，且使 PA+PD 的值最小，请求出这个最 小值，并求出 P 点的坐标 【分析】 （1）解方程 mx22mx3m0 可得到 A，B 两点的坐标； （2）设交点式 ya（x+1） （x3） ，然后把 C 点坐标代入求出 a 得到抛物线 C2的表达 式，再利用对称性写出两条抛物线的对称轴； （3）先表示出 D（0，3m） ，再利用勾股定理得到 32+（3m）2+32+（）2（ 3m+）2，然后解
39、方程即可； （4） 先确定 D （0， 6） ， BD 交 MN 于 P 点， 如图， 利用两点之间线段最短得到此时 PA+PD 的值最小，则利用勾股定理计算出 BD 的长得到 PA+PD 的最小值，接着利用待定系数法 第 24 页（共 28 页） 求出直线 BD 的解析式为 y2x+6，然后计算 x1 代入的函数值得到满足条件的 P 点 坐标 【解答】解： （1）当 y0 时，mx22mx3m0， x22x30， x11，x23， A（1，0） ，B（3，0） ； （2）设抛物线 C2的表达式为 ya（x+1） （x3） ， 把 C（0，）代入得 a1（3），解得 a， 抛物线 C2的表达式
40、为 y（x+1） （x3） ， 即 yx2x； 两条抛物线的对称轴为直线 x1； （3）当 x0 时，ymx22mx3m3m，则 D（0，3m） ， DBC90， BD2+BC2CD2， 即 32+（3m）2+32+（）2（3m+）2，解得 m2， m 的值为2； （4）D（0，6） ， BD 交 MN 于 P 点，如图， PAPB， PA+PDPB+PDBD， 此时 PA+PD 的值最小， BD3， PA+PD 的最小值为 3， 设直线 BD 的解析式为 ykx+b， 把 B（3，0） ，D（0，6）代入得，解得， 直线 BD 的解析式为 y2x+6， 当 x1 时，y2x+64， 此时 P
41、 点坐标为（1，4） 第 25 页（共 28 页） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次 函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会求抛物线与 x 轴的交点坐标；能利用 两点之间线段最短解决最短路径问题 26 （12 分）探究题 先阅读下面这道基础题的证明过程，然后探究后面的河题： 基础题：如图（1） ，分别以ABC 两边 AB，AC 向三角形外部作正方形 ABDE，ACFG， H，K，N 分别是 EB，BC，GC 的中点 求证： （1）ECBG； （2）ECBG 证明： （1）在AEC 和ABG 中， 因为 AEAB， EAC90+BACBAG，AC
42、AG， 所以AECABG，所以 ECBG； （2）将AEC 绕点 A 逆时针旋转 90后，恰好与ABG 重合，因此，ECBG 探究 1：已知如图（2） ，H，N 分别是正方形 ABDE，ACFG 的中心，K 是 BC 的中点 求证： （1）HKNK； （2）HKNK 探究 2：利用探究 1 的方法与结论，我们继续探究以下两个问题： 问题 1：如图（3） ，分别以ABC 各边向外作正方形，点 M，N，P 分别是它们的中心， 连接 AP，MN 求证： （1）MNAP； （2）MMAP 第 26 页（共 28 页） 问题 2：如图（4） ，以凸四边形 ABCD 的各边向外作正方形，E，G，F，H 依
43、次是各正 方形的中心， 连接 EF， GH， 现请你猜想： 线段 GH 与 EF 有怎样的数量关系和位置关系？ 请你直接写出你的结论（不必证明） 【分析】探究 1：利用三角形的中位线定理，以及基础题的结论即可解决问题； 探究 2：问题 1：如图 3 中，连接 AM，AN，CP，CG只要证明EACMAN，提出 MNEC， 推出AMN 是由EAC 逆时针旋转 45得到， 同法可证： BCGPCA， PABG， 推出PCA 是由BCG 逆时针旋转 45得到， 根据旋转变换的性质可得结 论； 问题 2：利用测量法，观察法解决问题即可（题目要求比较底，得出结论即可） ； 【解答】探究 1：证明：如图 2
44、 中， EHHB，BKKC， HKEC，HKEC， GNNC，CKKB， NKBG，NKBG， 第 27 页（共 28 页） 由基础题可知：ECBG，ECBG， KHKN，KHKN 探究 2：问题 1：证明：如图 3 中，连接 AM，AN，CP，CG MABNAC45， MAN90+BAC，EAC90+BAC， EACMAN， ， EACMAN， MNEC， AMN 是由EAC 逆时针旋转 45得到， 同法可证：BCGPCA，PABG， PCA 是由BCG 逆时针旋转 45得到， ECBG，ECBG， MNPA，MNPA 问题（2） ：解：如图 4 中， 利用测量法，观察法，可知：GHEF，GHEF 第 28 页（共 28 页） 【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的 中位线定理、旋转变换、相似三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似 三角形解决问题，属于中考压轴题
