1、2018 年上海市奉贤区中考数学二模试卷年上海市奉贤区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （4 分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A B C D 2 （4 分）某班要推选学生参加学校的“诗词达人”比赛，有 7 名学生报名参加班级选拔赛， 他们的选拔赛成绩各不相同，现取其中前 3 名参加学校比赛小红要判断自己能否参加 学校比赛，在知道自己成绩的情况下，还需要知道这 7 名学生成绩的（ ） A众数 B中位数 C平均数 D方差 3 （4 分）下列四个不等式组中，其中一个不等式组的解集在数轴上的正确表
2、示如图所示， 这个不等式组是（ ） A B C D 4 （4 分）如果将直线 l1：y2x2 平移后得到直线 l2：y2x，那么下列平移过程正确的 是（ ） A将 l1向左平移 2 个单位 B将 l1向右平移 2 个单位 C将 l1向上平移 2 个单位 D将 l1向下平移 2 个单位 5 （4 分）将一把直尺和一块含 30和 60角的三角板 ABC 按如图所示的位置放置，如果 CDE40，那么BAF 的大小为（ ） A10 B15 C20 D25 6 （4 分）直线 AB、CD 相交于点 O，射线 OM 平分AOD，点 P 在射线 OM 上（点 P 与 点 O 不重合） ，如果以点 P 为圆心
3、的圆与直线 AB 相离，那么圆 P 与直线 CD 的位置关系 是（ ） A相离 B相切 C相交 D不确定 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 第 2 页（共 24 页） 7 （4 分）计算： 8 （4 分）如果 a2b28，且 a+b4，那么 ab 的值是 9 （4 分）方程的根是 10 （4 分）已知反比例函数 y（k0） ，在其图象所在的每个象限内，y 的值随 x 的值增 大而减小，那么它的图象所在的象限是第 象限 11 （4 分）如果将抛物线 y2x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（1，2） ，那么所得新 抛物线的表达
4、式是 12 （4 分）将 6 本相同厚度的书叠起来，它们的高度是 9 厘米如果将这样相同厚度的书 叠起来的高度是 42 厘米，那么这些书有 本 13 （4 分）从 1，2，3，4，5，6，7，8 这八个数中，任意抽取一个数，这个数恰好是合数 的概率是 14 （4 分）某校为了了解学生双休日参加社会实践活动的情况，随机抽取了 100 名学生进 行调查，并绘成如图所示的频数分布直方图已知该校共有 1000 名学生，据此估计，该 校双休日参加社会实践活动时间在 22.5 小时之间的学生数大约是全体学生数的 （填百分数） 15 （4 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC2AD，E、F 分别是
5、边 AD、BC 的中点， 设 ， ，那么等于 （结果用 、 的线性组合表示） 16 （4 分）如果一个矩形的面积是 40，两条对角线夹角的正切值是，那么它的一条对角 线长是 17 （4 分）已知正方形 ABCD，AB1，分别以点 A、C 为圆心画圆，如果点 B 在圆 A 外， 第 3 页（共 24 页） 且圆 A 与圆 C 外切，那么圆 C 的半径长 r 的取值范围是 18 （4 分）如图，将ABC 的边 AB 绕着点 A 顺时针旋转 （090）得到 AB， 边 AC 绕着点 A 逆时针旋转 （090）得到 AC，联结 BC当 +90 时，我们称ABC是ABC 的“双旋三角形” 如果等边ABC
6、 的边长为 a，那么它 的“双旋三角形”的面积是 （用含 a 的代数式表示） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： （1）2+8（） 1 20 （10 分）解方程组： 21 （10 分）已知：如图，在ABC 中，AB13，AC8，cosBAC，BDAC，垂 足为点 D，E 是 BD 的中点，联结 AE 并延长，交边 BC 于点 F （1）求EAD 的余切值； （2）求的值 22 （10 分） 某学校要印刷一批艺术节的宣传资料， 在需要支付制版费 100 元和每份资料 0.3 元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优
7、惠条件甲印刷厂提出：所 有资料的印刷费可按 9 折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过 200 份的，超过部分的 印刷费可按 8 折收费 （1）设该学校需要印刷艺术节的宣传资料 x 份，支付甲印刷厂的费用为 y 元，写出 y 关 于 x 的函数关系式，并写出它的定义域； 第 4 页（共 24 页） （2） 如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份， 那么应该选择哪家印刷厂比较优惠？ 23 （12 分）已知：如图，梯形 ABCD，DCAB，对角线 AC 平分BCD，点 E 在边 CB 的 延长线上，EAAC，垂足为点 A （1）求证：B 是 EC 的中点； （2）分别延长 CD、EA 相交于点
8、F，若 AC2DCEC，求证：AD：AFAC：FC 24 （12 分）平面直角坐标系 xOy（如图） ，抛物线 yx2+2mx+3m2（m0）与 x 轴交于 点 A、B（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，对称轴为直线 l，过点 C 作直 线 l 的垂线，垂足为点 E，联结 DC、BC （1）当点 C（0，3）时， 求这条抛物线的表达式和顶点坐标； 求证：DCEBCE； （2）当 CB 平分DCO 时，求 m 的值 25 （14 分）已知：如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB90，点 C 在半径 OB 上， AC 的垂直平分线交 OA 于点 D，交弧 AB
9、于点 E，联结 BE、CD （1）若 C 是半径 OB 中点，求OCD 的正弦值； （2）若 E 是弧 AB 的中点，求证：BE2BOBC； （ 3 ） 联 结CE ， 当 DCE是 以 CD为 腰 的 等 腰 三 角 形 时 ， 求CD的 第 5 页（共 24 页） 长 第 6 页（共 24 页） 2018 年上海市奉贤区中考数学二模试卷年上海市奉贤区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分） 1 （4 分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A B C D 【分析】根据
10、二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可 【解答】解：A、|a|与不是同类二次根式； B、与不是同类二次根式； C、2与是同类二次根式； D、与不是同类二次根式； 故选：C 【点评】本题考查的是同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根 式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式 2 （4 分）某班要推选学生参加学校的“诗词达人”比赛，有 7 名学生报名参加班级选拔赛， 他们的选拔赛成绩各不相同，现取其中前 3 名参加学校比赛小红要判断自己能否参加 学校比赛，在知道自己成绩的情况下，还需要知道这 7 名学生成绩的（ ） A众数 B中位
11、数 C平均数 D方差 【分析】由于总共有 7 个人，且他们的成绩互不相同，第 4 的成绩是中位数，要判断自 己能否参加学校比赛，只需知道中位数即可 【解答】解：由于总共有 7 个人，且他们的成绩互不相同，第 4 的成绩是中位数，要判 断自己能否参加学校比赛， 故应知道中位数的多少 故选：B 【点评】本题主要考查统计的有关知识，掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解 题的关键 3 （4 分）下列四个不等式组中，其中一个不等式组的解集在数轴上的正确表示如图所示， 这个不等式组是（ ） 第 7 页（共 24 页） A B C D 【分析】根据不等式组的表示方法，可得答案 【解答】解：由，得 ， 故
12、选：D 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式组的解集的表示方法：大 小小大中间找是解题关键 4 （4 分）如果将直线 l1：y2x2 平移后得到直线 l2：y2x，那么下列平移过程正确的 是（ ） A将 l1向左平移 2 个单位 B将 l1向右平移 2 个单位 C将 l1向上平移 2 个单位 D将 l1向下平移 2 个单位 【分析】根据“上加下减”的原则求解即可 【解答】解：将函数 y2x2 的图象向上平移 2 个单位长度，所得图象对应的函数解析 式是 y2x 故选：C 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象变换的法则是解答此 题的关键 5 （4 分）将一
13、把直尺和一块含 30和 60角的三角板 ABC 按如图所示的位置放置，如果 CDE40，那么BAF 的大小为（ ） A10 B15 C20 D25 【分析】由 DEAF 得AFDCDE40，再根据三角形的外角性质可得答案 【解答】解：由题意知 DEAF， AFDCDE40， 第 8 页（共 24 页） B30， BAFAFDB403010， 故选：A 【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角 形外角的性质 6 （4 分）直线 AB、CD 相交于点 O，射线 OM 平分AOD，点 P 在射线 OM 上（点 P 与 点 O 不重合） ，如果以点 P 为圆心的圆与
14、直线 AB 相离，那么圆 P 与直线 CD 的位置关系 是（ ） A相离 B相切 C相交 D不确定 【分析】根据角平分线的性质和点与直线的位置关系解答即可 【解答】解：如图所示； OM 平分AOD，以点 P 为圆心的圆与直线 AB 相离， 以点 P 为圆心的圆与直线 CD 相离， 故选：A 【点评】此题考查直线与圆的位置关系，关键是根据角平分线的性质解答 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分） 7 （4 分）计算： 【分析】首先通分，然后再根据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不 变，把分子相加减进行计算即可 【解答】
15、解：原式， 故答案为： 【点评】此题主要考查了分式的加减，关键是掌握分式加减的计算法则 第 9 页（共 24 页） 8 （4 分）如果 a2b28，且 a+b4，那么 ab 的值是 2 【分析】根据 a+b） （ab）a2b2，可得（a+b） （ab）8，再代入 a+b4 可得答 案 【解答】解：a2b28， （a+b） （ab）8， a+b4， ab2， 故答案为：2 【点评】此题主要考查了平方差，关键是掌握 a+b） （ab）a2b2 9 （4 分）方程的根是 4 【分析】把无理方程转化为整式方程即可解决问题 【解答】解：两边平方得到：2x44， 解得 x4， 经检验：x4 是原方程的解，
16、 故答案为 4 【点评】本题考查无理方程，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，注意必须检验 10 （4 分）已知反比例函数 y（k0） ，在其图象所在的每个象限内，y 的值随 x 的值增 大而减小，那么它的图象所在的象限是第 一、三 象限 【分析】直接利用反比例函数的增减性进而得出图象的分布 【解答】解：反比例函数 y（k0） ，在其图象所在的每个象限内，y 的值随 x 的值 增大而减小， 它的图象所在的象限是第一、三象限 故答案为：一、三 【点评】此题主要考查了反比例的性质，正确掌握反比例函数图象的分布规律是解题关 键 11 （4 分）如果将抛物线 y2x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为
17、（1，2） ，那么所得新 抛物线的表达式是 y2（x1）2+2 【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据 抛物线的顶点式可求抛物线解析式 第 10 页（共 24 页） 【解答】解：原抛物线解析式为 y2x2，的顶点坐标是（0，0） ，平移后抛物线顶点坐 标为（1，2） ， 平移后的抛物线的表达式为：y2（x1）2+2 故答案为：y2（x1）2+2 【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系关键是明确抛物线的平移实质 上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式 12 （4 分）将 6 本相同厚度的书叠起来，它们的高度是 9 厘米如果将这样相同厚度
18、的书 叠起来的高度是 42 厘米，那么这些书有 28 本 【分析】因为一本书的厚度是一定的，根据本数与书的高度成正比列比例式即可得到结 论 【解答】解：设这些书有 x 本， 由题意得， 解得：x28， 答：这些书有 28 本 故答案为：28 【点评】本题考查了比例的性质，正确的列出比例式是解题的关键 13 （4 分）从 1，2，3，4，5，6，7，8 这八个数中，任意抽取一个数，这个数恰好是合数 的概率是 【分析】根据合数定义，让合数的个数除以数的总数即为所求的概率 【解答】解：在 1，2，3，4，5，6，7，8 这八个数中，合数有 4、6、8 这 3 个， 这个数恰好是合数的概率是， 故答案
19、为： 【点评】本题考查的是概率的求法如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性 相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）；找到合数的个数是 解题的关键 14 （4 分）某校为了了解学生双休日参加社会实践活动的情况，随机抽取了 100 名学生进 行调查，并绘成如图所示的频数分布直方图已知该校共有 1000 名学生，据此估计，该 校双休日参加社会实践活动时间在 22.5 小时之间的学生数大约是全体学生数的 28% 第 11 页（共 24 页） （填百分数） 【分析】用被抽查的 100 名学生中参加社会实践活动时间在 22.5 小时之间的学生除以 抽查的学生总人数，
20、即可得解 【解答】解：由频数分布直方图知，22.5 小时的人数为 100（8+24+30+10）28， 则该校双休日参加社会实践活动时间在 22.5 小时之间的学生数大约是全体学生数的百 分比为100%28%， 故答案为：28% 【点评】本题考查了频数分布直方图以及用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必 须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题一般来说，用样本 去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确 15 （4 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BC2AD，E、F 分别是边 AD、BC 的中点， 设 ， ，那么等于 （结果用 、 的线性
21、组合表示） 【分析】作 AHEF 交 BC 于 H，首先证明 SBXEFHA 是平行四边形，再利用三角形法则 计算即可； 【解答】解：作 AHEF 交 BC 于 H， AEFH， 第 12 页（共 24 页） 四边形 EFHA 是平行四边形， AEHF，AHEF， AEED， ， BC2AD， 2 ， BFFC， ， ， + +， 故答案为 + 【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型 16 （4 分）如果一个矩形的面积是 40，两条对角线夹角的正切值是，那么它的一条对角 线长是 10 【分析】如图，作 BHAC 于 H由四边形 ABCD 是矩形，推出 OAO
22、CODOB， 设 OAOCODOB5a，由 tanBOH，可得 BH4a，OH3a，由题意： 210a4a40，求出 a 即可解决问题； 【解答】解：如图，作 BHAC 于 H 四边形 ABCD 是矩形， OAOCODOB，设 OAOCODOB5a， tanBOH， BH4a，OH3a， 第 13 页（共 24 页） 由题意：210a4a40， a1， AC10， 故答案为 10 【点评】本题考查矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助 线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题 17 （4 分）已知正方形 ABCD，AB1，分别以点 A、C 为圆心画圆，如果
23、点 B 在圆 A 外， 且圆 A 与圆 C 外切，那么圆 C 的半径长 r 的取值范围是 【分析】首先根据题意求得对角线 AC 的长，设圆 A 的半径为 R，根据点 B 在圆 A 外， 得出 0R1，则1R0，再根据圆 A 与圆 C 外切可得 R+r，利用不等式的 性质即可求出 r 的取值范围 【解答】解：正方形 ABCD 中，AB1， AC， 设圆 A 的半径为 R， 点 B 在圆 A 外， 0R1， 1R0， 1R 以 A、C 为圆心的两圆外切， 两圆的半径的和为， R+r，rR， 1r 故答案为：1r 【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，正方形的性质，勾股定理， 不等式
24、的性质掌握位置关系与数量之间的关系是解题的关键 18 （4 分）如图，将ABC 的边 AB 绕着点 A 顺时针旋转 （090）得到 AB， 边 AC 绕着点 A 逆时针旋转 （090）得到 AC，联结 BC当 +90 时，我们称ABC是ABC 的“双旋三角形” 如果等边ABC 的边长为 a，那么它 第 14 页（共 24 页） 的“双旋三角形”的面积是 （用含 a 的代数式表示） 【分析】首先根据等边三角形、 “双旋三角形”的定义得出A BC是顶角为 150的 等腰三角形，其中 ABACa过 C作 CDAB于 D，根据 30角所对的直 角边等于斜边的一半得出 CDACa， 然后根据 SABCA
25、BCD 即可 求解 【解答】解：等边ABC 的边长为 a， ABACa，BAC60 将ABC 的边 AB 绕着点 A 顺时针旋转 （090）得到 AB， ABABa，BAB， 边 AC 绕着点 A 逆时针旋转 （090）得到 AC， ACACa，CAC， BACBAB+BAC+CAC+60+60+90150 如图，过 C作 CDAB于 D，则D90，DAC30， CDACa， SABCABCDaaa2 故答案为a2 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所 连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了含 30角的直角三角形的 第 15 页（共 24
26、页） 性质，等边三角形的性质以及三角形的面积 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分） 19 （10 分）计算： （1）2+8（） 1 【分析】直接利用负指数幂的性质和二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得 出答案 【解答】解：原式32+2 3 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （10 分）解方程组： 【分析】由方程得出 x+y1，或 x+y1，进而解答即可 【解答】解：， 由可得：x+y1，或 x+y1， 所以可得方程组或， 解得：，； 所以方程组的解为：， 【点评】此题考查高次方程问题，关键是根据完全平方公式进行消元解
27、答 21 （10 分）已知：如图，在ABC 中，AB13，AC8，cosBAC，BDAC，垂 足为点 D，E 是 BD 的中点，联结 AE 并延长，交边 BC 于点 F （1）求EAD 的余切值； （2）求的值 第 16 页（共 24 页） 【分析】 （1）先根据三角函数值求 AD 的长，由勾股定理得 BD 的长，根据三角函数定义 可得结论； （2）作平行线，构建平行线分线段成比例定理可设 CD3x，AD5x，分别表示 BF 和 FC 的长，代入可得结论 【解答】解： （1）BDAC， ADE90， RtADB 中，AB13，cosBAC， AD5， 由勾股定理得：BD12， E 是 BD 的
28、中点， ED6， EAD 的余切； （2）过 D 作 DGAF 交 BC 于 G， AC8，AD5， CD3， DGAF， ， 设 CD3x，AD5x， EFDG，BEED， BFFG5x， 第 17 页（共 24 页） 【点评】本题是考查了解直角三角形的问题，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形 中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或 作垂线构建直角三角形 22 （10 分） 某学校要印刷一批艺术节的宣传资料， 在需要支付制版费 100 元和每份资料 0.3 元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件甲印刷厂提出：所 有资料的印刷费可按
29、9 折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过 200 份的，超过部分的 印刷费可按 8 折收费 （1）设该学校需要印刷艺术节的宣传资料 x 份，支付甲印刷厂的费用为 y 元，写出 y 关 于 x 的函数关系式，并写出它的定义域； （2） 如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份， 那么应该选择哪家印刷厂比较优惠？ 【分析】 （1）根据题意直接写出两厂印刷厂的收费 y甲（元）关于印刷数量 x（份）之间 的函数关系式； （2）分别将两厂的印刷费用等于 2000 元，分别解得两厂印刷的份数即可 【解答】解： （1）根据题意可知： 甲印刷厂的收费 y甲0.3x0.9+1000.27x+100， y 关于
30、 x 的函数关系式是 y甲0.27x+100（x0） ； （2）由题意可得， 该学校需要印刷艺术节的宣传资料 600 份， 在甲印刷厂需要花费：0.27600+100262（元） ， 在乙印刷厂需要花费：100+2000.3+0.30.8（600200）256（元） ， 256262， 如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料 600 份，那么应该选择乙家印刷厂比较优惠 【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自 变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题 23 （12 分）已知：如图，梯形 ABCD，DCAB，对角线 AC 平分BCD，点 E 在边 CB 的
31、 第 18 页（共 24 页） 延长线上，EAAC，垂足为点 A （1）求证：B 是 EC 的中点； （2）分别延长 CD、EA 相交于点 F，若 AC2DCEC，求证：AD：AFAC：FC 【分析】 （1）根据平行线的性质结合角平分线的性质可得出BCABAC，进而可得 出 BABC，根据等角的余角相等结合三角形外角的性质，即可得出 BEBA，进而可得 出 BEBC，此题得证； （2）根据 AC2DCEC 结合ACDECA 可得出ACDECA，根据相似三角形 的性质可得出ADCEAC90，进而可得出FDAFAC90，结合AFD CFA 可得出AFDCFA，再利用相似三角形的性质可证出 AD：A
32、FAC：FC 【解答】证明： （1）DCAB， DCABAC AC 平分BCD， BCABACDCA， BABC BAC+BAE90，BAC+ABC+BCA180， BAEABC ABCBAE+BEA， BAEBEAABC， BEBABC， B 是 EC 的中点； （2）AC2DCEC， ， ACDECA， 第 19 页（共 24 页） ACDECA， ADCEAC90， FDAFAC90 又AFDCFA， AFDCFA， AD：AFAC：FC 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的性质以 及等腰三角形的性质，解题的关键是： （1）利用等角对等边找出 BABC、
33、BEBA； （2） 利用相似三角形的判定定理找出AFDCFA 24 （12 分）平面直角坐标系 xOy（如图） ，抛物线 yx2+2mx+3m2（m0）与 x 轴交于 点 A、B（点 A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 D，对称轴为直线 l，过点 C 作直 线 l 的垂线，垂足为点 E，联结 DC、BC （1）当点 C（0，3）时， 求这条抛物线的表达式和顶点坐标； 求证：DCEBCE； （2）当 CB 平分DCO 时，求 m 的值 【分析】 （1）把 C 点坐标代入 yx2+2mx+3m2可求出 m 的值，从而得到抛物线解析 第 20 页（共 24 页） 式，然后把一般式配
34、成顶点式得到 D 点坐标； 如图 1，先解方程x2+2x+30 得 B（3，0） ，则可判断OCB 为等腰直角三角形得到 OBC45，再证明CDE 为等腰直角三角形得到DCE45，从而得到DCE BCE； （2）抛物线的对称轴交 x 轴于 F 点，交直线 BC 于 G 点，如图 2，把一般式配成顶点式 得到抛物线的对称轴为直线 xm， 顶点 D 的坐标为 （m， 4m2） ， 通过解方程x2+2mx+3m2 0 得 B（3m，0） ，同时确定 C（0，3m2） ，再利用相似比表示出 GF2m2，则 DG2m2， 接着证明DCGDGC 得到 DCDG，所以 m2+（4m23m2）24m4，然后解
35、方程可 求出 m 【解答】 （1）解：把 C（0，3）代入 yx2+2mx+3m2得 3m23，解得 m11，m2 1（舍去） ， 抛物线解析式为 yx2+2x+3； yx2+2x+3（x1）2+4， 顶点 D 为（1，4） ； 证明：如图 1，当 y0 时，x2+2x+30，解得 x11，x23，则 B（3，0） ， OCOB， OCB 为等腰直角三角形， OBC45， CE直线 x1， BCE45， DE1，CE1， CDE 为等腰直角三角形， DCE45， DCEBCE； （2）解：抛物线的对称轴交 x 轴于 F 点，交直线 BC 于 G 点，如图 2， yx2+2mx+3m2（xm）2
36、+4m2， 抛物线的对称轴为直线 xm，顶点 D 的坐标为（m，4m2） ， 当 y0 时，x2+2mx+3m20，解得 x1m，x23m，则 B（3m，0） ， 当 x0 时，yx2+2mx+3m23m2，则 C（0，3m2） ， GFOC， 第 21 页（共 24 页） ，即，解得 GF2m2， DG4m22m22m2， CB 平分DCO， DCBOCB， OCBDGC， DCGDGC， DCDG， 即 m2+（4m23m2）24m4， m2， 而 m0， m 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次 函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数
37、解析式；灵活应用等腰直角 三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式 25 （14 分）已知：如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，AOB90，点 C 在半径 OB 上， AC 的垂直平分线交 OA 于点 D，交弧 AB 于点 E，联结 BE、CD （1）若 C 是半径 OB 中点，求OCD 的正弦值； （2）若 E 是弧 AB 的中点，求证：BE2BOBC； 第 22 页（共 24 页） （ 3 ） 联 结CE ， 当 DCE是 以 CD为 腰 的 等 腰 三 角 形 时 ， 求CD的 长 【分析】 （1）先求出 OCOB1，设 ODx，得出 CDADOAOD2x，
38、根据 勾股定理得， （2x）2x21 求出 x，即可得出结论； （2）先判断出，进而得出CBEBCE，再判断出OBEEBC，即可得出 结论； （3）分两种情况：当 CDCE 时，判断出四边形 ADCE 是菱形，得出OCE90， 在 RtOCE 中，OC2OE2CE24a2，在 RtCOD 中，OC2CD2OD2a2（2 a）2，建立方程求解即可； 当 CDDE 时，判断出DAEDEA，再判断出OAEOEA，进而得出DEA OEA，即：点 D 和点 O 重合，即可得出结论 【解答】解： （1）C 是半径 OB 中点， OCOB1， DE 是 AC 的垂直平分线， ADCD， 设 ODx， CDA
39、DOAOD2x， 在 RtOCD 中，根据勾股定理得， （2x）2x21， x， CD， sinOCD； 第 23 页（共 24 页） （2）如图 1， 连接 AE，CE，DE 是 AC 垂直平分线， AECE， E 是弧 AB 的中点， ， AEBE， BECE， CBEBCE， 连接 OE， OEOB， OBEOEB， CBEBCEOEB， OBEEBC， ， BE2BOBC， （3）DCE 是以 CD 为腰的等腰三角形， 当 CDCE 时，DE 是 AC 的垂直平分线， ADCD，AECE， ADCDCEAE， 四边形 ADCE 是菱形， CEAD， OCE90， 设菱形的边长为 a，
40、ODOAAD2a， 在 RtOCE 中，OC2OE2CE24a2， 在 RtCOD 中，OC2CD2OD2a2（2a）2， 4a2a2（2a）2， 第 24 页（共 24 页） a22（舍）或 a22； CD22； 当 CDDE 时， DE 是 AC 垂直平分线， ADCD， ADDE， DAEDEA， 连接 OE， OAOE， OAEOEA， DEAOEA， 点 D 和点 O 重合，此时，点 C 和点 B 重合， CD2， 即：当DCE 是以 CD 为腰的等腰三角形时，CD 的长为 2 或 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，垂直平分线定理，菱形的判定和性 质，锐角三角函数，作出辅助线是解本题的关键
