1、 1 / 24 角是初中数学六年级下学期第 3 章第 2 节的内容 同学们要理解角、 余角和 补角的概念， 掌握角的表示方法、 角的大小的比较的方法， 理解两个角的和、 差、 倍的意义，会用量角器画角，并学会用尺规作角及角的和、差，理解角的平分线 的意义，并会用尺规作已知角的平分线，还要掌握角度的单位换算及相关运算 角 内容分析内容分析 知识结构知识结构 2 / 24 顶点 边 边 始边 终边 A B O B A C D O 1、 角的概念角的概念 角角是具有公共端点的两条射线组成的图形如下左图所示，公共端点叫做角的顶点顶点，两条 射线叫做角的边边 我们还可以这样理解角： 角是由一条射线绕着它
2、的端点旋转到另一个位置所成的图形 如上右图所示， 处于初始位置的那条射线叫做角的始边始边， 终止位置的那条射线叫做角的终边终边 角的始边转动到角的终边所经过的平面部分，叫做角的内部角的内部，简称角内角内通常角的内部用不 带箭头或带箭头的弧线表示，如下图所示其中，中图，右图中的阴影部分是角的外部，简 称角外角外 2、 角的表示角的表示 （1）大写英文字母： 角一般用三个大写英文字母表示，如下左图所示，记作AOB其中表示顶点的字母 O 必 须放在三个字母中间 如果以点O为顶点的角只有一个， 那么这个角可以用表示顶点的字母表示 上左图中，AOB 可以记作O如果以点 O 为顶点的角有多个（如上右图所示
3、） ，那么其中任何一个角都必 须用三个大写英文字母表示，而不能记作O 模块一：角的概念与表示 知识精讲知识精讲 内部 内部 外部 外部 3 / 24 B A C D O 1 2 3 北 北偏东 30 南偏西 45 北偏西 70 南偏东 50 30 70 45 50 （2）小写希腊字母： 有时为了方便， 在角的内部标上一个小写的希腊字母， 如，等； 在上右图中，AOC、 COD、DOB可以分别记作、（或、） （3）数字： 有时为了方便，也可以在角的内部标上一个数字，如 1，2，3 等； 如右图所示，AOC、COD、DOB可以分别记作1、 2、3 3、 方向角方向角 指北或指南方向线与目标方向线所
4、成的小于 90 的角叫做方向角 如图：北偏东 30 ，北偏西 70 ，南偏东 50 ，南偏西 45 【例1】 如图，分别用三种形式表示图中的角 【难度】 【答案】12ABCBMONOAOBO，；，；， 【解析】根据角的三种表示方法，所以可得对应的表示方法为： 12ABCBMONOAOBO，；，；， 【总结】考察角的表示方法，注意各种方法的不同表示 例题解析例题解析 A B C O N M O A B 1 2 4 / 24 A B C D 【例2】 写出图中射线 OA、OB 表示的方向 （1）OA 表示的方向是_偏_ _； （2）OB 表示的方向是_偏_ _ 【难度】 【答案】（1）北偏东 32
5、；（2）南偏西 63 【解析】根据方位角的表示方法，可得： （1）OA 表示的方向是_北_偏_东 32_； （2）OB 表示的方向是_南_偏_西 63_ 【总结】考察方位角的基本概念及表示 【例3】 如图，点 D 在 AB 上 （1）图中共有几个角（小于平角的角）？ （2）写出图中能用一个大写字母表示的角 （3）写出图中只能用三个大写字母表示的角（小于平角的角） 【难度】 【答案】（1）7 个；（2）AB，；（3）CDBBCDACBACDCDA， 【解析】 （1）由图知共有 7 个小于平角的角，分别为： C D BB C DA C BA C DC D AAB，； （2） 能用一个字母表示角是指
6、以角的顶点为顶点的角只有一个， 符合条件的有AB，； （3）若几个角公用一个顶点，则只能用三个大写字母表示这些角，所以符合条件的角有 C D BB C DA C BA C DC D A， 【总结】考察角的识别与表示方法 【例4】 在AOB的内部引 1 条射线， 一共有几个角？引 2 条射线呢？引 3 条射线呢？引 4 条射线呢？引 n 条射线内？ 【难度】 【答案】3 个；6 个；10 个；15 个； 21 2 nn 【解析】通过画图可知，在AOB的内部引 1 条射线，一共有 3 个角；引 2 条射线，一共 有 6 个角；引 3 条射线，一共有 10 个角；引 4 条射线，一共有 15 个角；
7、从而可推导出 引 n 条射线，一共有 21 2 nn 个角 【总结】考察角的基本概念及找规律，综合性较强 O 北 A B 32 63 5 / 24 1、 角的大小的比较角的大小的比较 （1）度量法：用量角器量出角的度数，然后比较大小 （2） 叠合法： 移动一个角， 使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边叠合， 两个角的另一条边都落叠合的边的同侧，再观察“两个角的另一条边” 的位置情况 如图，已知AOB，如果移动EDF，使顶点 O 和顶点 E、边 ED 与边 OA 叠合，边 EF 与边 OB 在它们的同侧这时 EF 对于AOB而言，有几种可能的位置关系？请完 成下列表格： 图形 EF 对
8、于AOB的位置 符号表示 情况一 边 EF 在AOB的内 部 DEFAOB （或AOBDEF ） 情况二 边 EF 在AOB的外 部 DEFAOB （或AOBDEF ） 情况三 边 EF 与AOB的一 条边重合 =DEFAOB （或=AOBDEF） 2、 锐角、直角、钝角、平角、周角锐角、直角、钝角、平角、周角 0AB，则12； 如果线段 EFAB，则1” ， “=” ， “ 【解析】 24 24 24=24 +=24 +0.6 =24.624.24 60 A . 【总结】考察角的单位换算与计算以及大小比较 【作业5】 已知1比2大 24，1:23:1 ，12 _ 【难度】 【答案】48 【解
9、析】设13 ，则2=，根据题可得：324，解得：=12， 故12 4=48 【总结】考察角度的计算，注意利用方程的思想去求解 【作业6】 填空： （1）已知24 44A ，则A的余角为_，A的补角为_； （2）一个角的补角比这个角的余角大_； （3）35 30 72.4 _； （结果用度表示） （4）36 1243 54 5418_ （结果用度、分、秒表示） 【难度】 【答案】（1）65 16 ，155 16 ；（2）90；（3）107.9；（4）91 71 【解析】 （1）9024 4465 1618024 44155 16AA的余角为：，的补角为：； （2）设这个角为 ，则 这个角补角为
10、180 -，这个角的余角为 90 -， 而(180990)0； （3）35 30 72.435.572.4 107.9； （4）36 1243 54 541890 666191 71 【总结】考察角的基本计算与概念，注意最终的结果表示 23 / 24 A B C D E O 【作业7】 如图，BOC的余角是_；DOE的补角是_ 【难度】 【答案】 AOBEOD、 ； DOBEOA、 【解析】因为90 =AOCBOCAOB， 所以BOC的余角是 AOB， 又因为AOBEOD与为对顶角， 所以BOC的余角是 AOBEOD、 ； 由图观察可知：+180+180DOEDOBDOEEOA， 所以DOE的
11、补角是 DOBEOA、 【总结】考察余角和补角的应用 【作业8】 9 点 15 分的时候，分针与时针的夹角为_ 【难度】 【答案】172.5 【解析】9 点 15 分时，分针指向 3，时针在 9 和 10 之间，所以时针和分针之间夹角为 15 18030172.5 16 【总结】考察角在钟面上的应用，注意分析清楚时针与分针的角度关系 【作业9】 一个角的余角比它的补角的 1 4 还少 20，求这个角的度数 【难度】 【答案】 260 3 【解析】设这个角为 ，根据题意可列方程： 180 9020 4 ， 解得： 260 3 ，即这个角的度数是 260 3 【总结】考查对余角和补角的理解及相关计
12、算的运用 24 / 24 A B C D E F 【作业10】 图中一共多少个角？将它们一一表示出来 【难度】 【答案】15 个，具体见解析 【解析】观察图可知，图中共有 15 个角，分别是： B A DB A CD A CA B EA B CE B CA D B， A D CCA E BC E BA F BA F ED F BD F E， 【总结】考察角的基本概念与表示方法 【作业11】 已知27AOB， 4 5 AOCBOC，求AOC的度数 【难度】 【答案】108 【解析】 依据题意， 可知OA在BOC内部，AOCAOBBOC ， 可知 1 5 AOBBOC， 所以=4=427 =108
13、AOCAOB 【总结】考察角度的计算，注意分析角度间的关系 【作业12】 如图，已知12 ，34 （1）若所有的角的角度和为 630，求AOB的度数； （2）若所有的角的角度和为 n，求AOB的度数； 【难度】 【答案】（1）126；（2） 1 5 n 【解析】 （1）所有的角之和为：1+ 2+ 3+ 4+ 1+ 2 +2+ 3 +3+ 4 + 1+ 2+ 3 +2+ 3+ 4 + 1+ 2+ 3+ 4 =41+ 2+ 3+ 4 + 22+ 3 51234630 ， 可得1+ 2+ 3+ 4 =126 ，即 126AOB； （2）由（1)可知，5=AOBn，解得：AOB= 1 5 n 【总结】考察角的综合应用，注意在找所有角时不要遗漏 2 A B O 1 3 4
