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著名机构数学教案讲义六年级春季班第17讲:角-教师版

1、 1 / 24 角是初中数学六年级下学期第 3 章第 2 节的内容 同学们要理解角、 余角和 补角的概念, 掌握角的表示方法、 角的大小的比较的方法, 理解两个角的和、 差、 倍的意义,会用量角器画角,并学会用尺规作角及角的和、差,理解角的平分线 的意义,并会用尺规作已知角的平分线,还要掌握角度的单位换算及相关运算 角 内容分析内容分析 知识结构知识结构 2 / 24 顶点 边 边 始边 终边 A B O B A C D O 1、 角的概念角的概念 角角是具有公共端点的两条射线组成的图形如下左图所示,公共端点叫做角的顶点顶点,两条 射线叫做角的边边 我们还可以这样理解角: 角是由一条射线绕着它

2、的端点旋转到另一个位置所成的图形 如上右图所示, 处于初始位置的那条射线叫做角的始边始边, 终止位置的那条射线叫做角的终边终边 角的始边转动到角的终边所经过的平面部分,叫做角的内部角的内部,简称角内角内通常角的内部用不 带箭头或带箭头的弧线表示,如下图所示其中,中图,右图中的阴影部分是角的外部,简 称角外角外 2、 角的表示角的表示 (1)大写英文字母: 角一般用三个大写英文字母表示,如下左图所示,记作AOB其中表示顶点的字母 O 必 须放在三个字母中间 如果以点O为顶点的角只有一个, 那么这个角可以用表示顶点的字母表示 上左图中,AOB 可以记作O如果以点 O 为顶点的角有多个(如上右图所示

3、) ,那么其中任何一个角都必 须用三个大写英文字母表示,而不能记作O 模块一:角的概念与表示 知识精讲知识精讲 内部 内部 外部 外部 3 / 24 B A C D O 1 2 3 北 北偏东 30 南偏西 45 北偏西 70 南偏东 50 30 70 45 50 (2)小写希腊字母: 有时为了方便, 在角的内部标上一个小写的希腊字母, 如,等; 在上右图中,AOC、 COD、DOB可以分别记作、(或、) (3)数字: 有时为了方便,也可以在角的内部标上一个数字,如 1,2,3 等; 如右图所示,AOC、COD、DOB可以分别记作1、 2、3 3、 方向角方向角 指北或指南方向线与目标方向线所

4、成的小于 90 的角叫做方向角 如图:北偏东 30 ,北偏西 70 ,南偏东 50 ,南偏西 45 【例1】 如图,分别用三种形式表示图中的角 【难度】 【答案】12ABCBMONOAOBO,;,;, 【解析】根据角的三种表示方法,所以可得对应的表示方法为: 12ABCBMONOAOBO,;,;, 【总结】考察角的表示方法,注意各种方法的不同表示 例题解析例题解析 A B C O N M O A B 1 2 4 / 24 A B C D 【例2】 写出图中射线 OA、OB 表示的方向 (1)OA 表示的方向是_偏_ _; (2)OB 表示的方向是_偏_ _ 【难度】 【答案】(1)北偏东 32

5、;(2)南偏西 63 【解析】根据方位角的表示方法,可得: (1)OA 表示的方向是_北_偏_东 32_; (2)OB 表示的方向是_南_偏_西 63_ 【总结】考察方位角的基本概念及表示 【例3】 如图,点 D 在 AB 上 (1)图中共有几个角(小于平角的角)? (2)写出图中能用一个大写字母表示的角 (3)写出图中只能用三个大写字母表示的角(小于平角的角) 【难度】 【答案】(1)7 个;(2)AB,;(3)CDBBCDACBACDCDA, 【解析】 (1)由图知共有 7 个小于平角的角,分别为: C D BB C DA C BA C DC D AAB,; (2) 能用一个字母表示角是指

6、以角的顶点为顶点的角只有一个, 符合条件的有AB,; (3)若几个角公用一个顶点,则只能用三个大写字母表示这些角,所以符合条件的角有 C D BB C DA C BA C DC D A, 【总结】考察角的识别与表示方法 【例4】 在AOB的内部引 1 条射线, 一共有几个角?引 2 条射线呢?引 3 条射线呢?引 4 条射线呢?引 n 条射线内? 【难度】 【答案】3 个;6 个;10 个;15 个; 21 2 nn 【解析】通过画图可知,在AOB的内部引 1 条射线,一共有 3 个角;引 2 条射线,一共 有 6 个角;引 3 条射线,一共有 10 个角;引 4 条射线,一共有 15 个角;

7、从而可推导出 引 n 条射线,一共有 21 2 nn 个角 【总结】考察角的基本概念及找规律,综合性较强 O 北 A B 32 63 5 / 24 1、 角的大小的比较角的大小的比较 (1)度量法:用量角器量出角的度数,然后比较大小 (2) 叠合法: 移动一个角, 使它的顶点和一条边分别与另一个角的顶点和一条边叠合, 两个角的另一条边都落叠合的边的同侧,再观察“两个角的另一条边” 的位置情况 如图,已知AOB,如果移动EDF,使顶点 O 和顶点 E、边 ED 与边 OA 叠合,边 EF 与边 OB 在它们的同侧这时 EF 对于AOB而言,有几种可能的位置关系?请完 成下列表格: 图形 EF 对

8、于AOB的位置 符号表示 情况一 边 EF 在AOB的内 部 DEFAOB (或AOBDEF ) 情况二 边 EF 在AOB的外 部 DEFAOB (或AOBDEF ) 情况三 边 EF 与AOB的一 条边重合 =DEFAOB (或=AOBDEF) 2、 锐角、直角、钝角、平角、周角锐角、直角、钝角、平角、周角 0AB,则12; 如果线段 EFAB,则1” , “=” , “ 【解析】 24 24 24=24 +=24 +0.6 =24.624.24 60 A . 【总结】考察角的单位换算与计算以及大小比较 【作业5】 已知1比2大 24,1:23:1 ,12 _ 【难度】 【答案】48 【解

9、析】设13 ,则2=,根据题可得:324,解得:=12, 故12 4=48 【总结】考察角度的计算,注意利用方程的思想去求解 【作业6】 填空: (1)已知24 44A ,则A的余角为_,A的补角为_; (2)一个角的补角比这个角的余角大_; (3)35 30 72.4 _; (结果用度表示) (4)36 1243 54 5418_ (结果用度、分、秒表示) 【难度】 【答案】(1)65 16 ,155 16 ;(2)90;(3)107.9;(4)91 71 【解析】 (1)9024 4465 1618024 44155 16AA的余角为:,的补角为:; (2)设这个角为 ,则 这个角补角为

10、180 -,这个角的余角为 90 -, 而(180990)0; (3)35 30 72.435.572.4 107.9; (4)36 1243 54 541890 666191 71 【总结】考察角的基本计算与概念,注意最终的结果表示 23 / 24 A B C D E O 【作业7】 如图,BOC的余角是_;DOE的补角是_ 【难度】 【答案】 AOBEOD、 ; DOBEOA、 【解析】因为90 =AOCBOCAOB, 所以BOC的余角是 AOB, 又因为AOBEOD与为对顶角, 所以BOC的余角是 AOBEOD、 ; 由图观察可知:+180+180DOEDOBDOEEOA, 所以DOE的

11、补角是 DOBEOA、 【总结】考察余角和补角的应用 【作业8】 9 点 15 分的时候,分针与时针的夹角为_ 【难度】 【答案】172.5 【解析】9 点 15 分时,分针指向 3,时针在 9 和 10 之间,所以时针和分针之间夹角为 15 18030172.5 16 【总结】考察角在钟面上的应用,注意分析清楚时针与分针的角度关系 【作业9】 一个角的余角比它的补角的 1 4 还少 20,求这个角的度数 【难度】 【答案】 260 3 【解析】设这个角为 ,根据题意可列方程: 180 9020 4 , 解得: 260 3 ,即这个角的度数是 260 3 【总结】考查对余角和补角的理解及相关计

12、算的运用 24 / 24 A B C D E F 【作业10】 图中一共多少个角?将它们一一表示出来 【难度】 【答案】15 个,具体见解析 【解析】观察图可知,图中共有 15 个角,分别是: B A DB A CD A CA B EA B CE B CA D B, A D CCA E BC E BA F BA F ED F BD F E, 【总结】考察角的基本概念与表示方法 【作业11】 已知27AOB, 4 5 AOCBOC,求AOC的度数 【难度】 【答案】108 【解析】 依据题意, 可知OA在BOC内部,AOCAOBBOC , 可知 1 5 AOBBOC, 所以=4=427 =108

13、AOCAOB 【总结】考察角度的计算,注意分析角度间的关系 【作业12】 如图,已知12 ,34 (1)若所有的角的角度和为 630,求AOB的度数; (2)若所有的角的角度和为 n,求AOB的度数; 【难度】 【答案】(1)126;(2) 1 5 n 【解析】 (1)所有的角之和为:1+ 2+ 3+ 4+ 1+ 2 +2+ 3 +3+ 4 + 1+ 2+ 3 +2+ 3+ 4 + 1+ 2+ 3+ 4 =41+ 2+ 3+ 4 + 22+ 3 51234630 , 可得1+ 2+ 3+ 4 =126 ,即 126AOB; (2)由(1)可知,5=AOBn,解得:AOB= 1 5 n 【总结】考察角的综合应用,注意在找所有角时不要遗漏 2 A B O 1 3 4