1、2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷数学理科试题一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1已知集合A=x|2x+14，B=y|y=4-x2，则AB（）A（1，0B（0，1）C（1，2D0，22已知函数f（x）=1x(xe)lnx(xe)，则f(f(1e)=（）A1BeC1eD13已知aR，命题p：复数a+（2a）i在复平面内对应的点在第一象限内，命题q：|a+(a-4)i|10，其中i是虚数单位，若pq是真命题，则a的取值范围是（）A（0，2）B1，3C1，2）D（0，3）4已知抛物线x24y的准线为1，过点P（0，2）的直线交抛物线于点A，B，且满足AP=2PB，则线段AB的
2、中点到准线1的距离为（）A72B3C52D25已知函数f(x)=Asin(x+)(A0，0，|2)的部分图象如图所示，则f(-6)=（）A-12B1C12D-326如图，四边形ABCD中，ABBC，AB=3，BC2CD2，点E是BC的中点，BCD120，则AEBD的值为（）A12B1C32D17为计算S=1-12+13-14+199-1100设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填（）Ai100Bi101Ci99Di1018已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的各条棱中最长棱的长度为（）A4B5C13D269某公园内有一个半径为60米的圆形池塘，池塘内有美丽的荷花与锦鲤，为了方便游客观赏
3、，公园负责人打算在池塘上搭建一个“工”字形的木桥（如图），其中ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，圆心O为EF的中点，则木桥的长度最长可以为（）A1202米B2405米C1205米D2402米10设函数f(x)=ex+e-x-1lg(x2+1)，则使得f（2x+1）f（x2）成立的x的取值范围是（）A(-3，-12)(-12，13B(-4，14)C(-3，-12)(-12，13)D(-3，13)11在三棱锥PABC中，平面PBC平面ABC，ABC90，AB2，BC1，PB22，PBC45，则三棱锥PABC外接球的表面积是（）A16B14C20D2212已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(
4、a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2直线1过左焦点F1且与双曲线的左支交于A，B两点，若|AF1|3|BF1|，|AB|BF2|，则双曲线C的离心率为（）A2B3C2D5二、填空题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13袋子里装有5个颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫的小球（大小、形状、质量完全相同），某人从袋子中一次性取出2个小球，则取出的2个小球中含有红色小球的概率为 14已知实数x，y满足不等式组y0，yx，x+y-m0，且目标函数z3x2y的最大值为180，则实数m的值为 15若(x+124x)n展开式中前三项的系数成等差数列，且含x的项为f（x），则-1n |f(x)|dx= 16若
5、函数f（x）ex（1a）xa（x+1）ln（x+1）在定义域内单调，则实数a的取值集合为 三、解答题（本大题共70分）（一）必考题（共60分）17（12分）已知数列an的前n项和为Sn，Snn2+n+a+1（aR）（1）若a2，求数列an的通项公式；（2）若数列an是等差数列，bn=an+1nSn+1，求数列bn的前n项和Tn18（12分）如图，在四棱锥POABC中，四边形OABC为直角梯形，ABOC，AOOC，2AB2AOOCPO4，D为OC的中点，E为线段PO上的动点（不与端点重合）（1）问：E在什么位置时，PB平面ADE？（2）若PO平面OABC，当E到平面PBC的距离为3时，求锐二面角
6、EBCP的余弦值19（12分）清华大学中学生标准学术能力诊断性测试于2018年11月2日3日分线上和线下同时进行，清华大学为了解2019届考生的学业水平，从线下考生中随机抽取100名考生，对他们的成绩（单位：分）进行统计分析，按成绩分组，得到频率分布表如表：组号12345分组560，580）580，600）600，620）620，640）640，660频数 20 频率0.10 0.250.05（1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）学校校招办决定从第4，5组中用分层抽样的方法抽取10名考生进行自主招生面试，从这10名考生中随机抽取3名考生接受
7、考官M的面试，这3名考生中来自第5组的人数记为X，试求X的分布列和数学期望20（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点（1，32），且它的右焦点为F（1，0），直线1：ykx+1与椭圆C有两个不同的交点A，B（1）求椭圆C的方程；（2）设点M在y轴上（M不在1上），且满足S1S2=|AM|BM|，其中S1，S2分别为OAM，OBM的面积，求点M的坐标21（12分）已知函数f（x）xe2xa（2x+lnx），aR，e为自然对数的底数（1）若曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为ye2，求a的值；（2）若x0为函数f（x）的极值点，且f（x0）0，
8、求证：f(x0)x0-4x03（二）选考题（共10分）22（10分）在直角坐标系y中，曲线C1的参数方程为x=2+2cosy=2sin（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程（2）已知曲线C3是过坐标原点且倾斜角为的直线，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且点A，B均异于坐标原点O，|AB|=42，求a的值23已知函数f（x）|2x1|+|2x2|x3（1）在平面直角坐标系中作出函数f（x）的图象（2）设函数f（x）的最小值为m，若a0，b0，c0，且12a+13b+14c
9、=|m|3，求证：2a+3b+4c9一、选择题（本大题共12题，每题5分，共60分）1集合A=x|2x+14，B=y|y=4-x2，Ax|x1，Bx|2x2，ABx|1x2（1，2故选：C2根据题意，函数f（x）=1x(xe)lnx(xe)，则有f（1e）=11e=e，则f(f(1e)=f（e）lne1；故选：A3命题p：复数a+（2a）i在复平面内对应的点在第一象限内，所以a02-a0，整理得0a2命题q：|a+(a-4)i|10，所以：a2+(a-4)210，整理得a24a+30，解得1a3，由于pq是真命题，所以0a21a3，整理得1a2故选：C4设A（x1，y1），B（x2，y2），不
10、妨x1x2，由题意直线经过（0，2），直线方程设为ykx+2，与抛物线方程联立，消去y可得：x24kx80，x1+x24k，x1x28，过点P（0，2）的直线交抛物线于点A，B，且满足AP=2PB，可得x12x2，所以A（4，4）B（2，1），AB的中点的纵坐标y=52，抛物线的直线方程：y1，线段AB的中点到准线1的距离为：72故选：A5根据图象得到：A2，3T4=1112-6=34，T，2=，2，f（x）2sin（2x+），将点（6，2）代入，得到2sin（3+）2，又|2，=6，f（x）2sin（2x+6）f(-6)=2sin2（-6）+61故选：B6由图可得AE=AB+BE=AB+12
11、BC，BD=BC+CD，所以AEBD=（AB+12BC）（BC+CD）=ABBC+ABCD+12BC2+12BCCD，因为ABBC，所以ABBC=0，且由条件可得AB与CD夹角为150，BC与CD夹角为60，则AEBD=ABCD+12BC2+12BCCD=31cos150+1222+1221cos60=-32+2+12=1，故选：B7模拟程序的运行，可得：N0，T0，i1不满足判断框内的条件，执行循环体，N1，T=12，i3不满足判断框内的条件，执行循环体，N1+13，T=12+14，i5不满足判断框内的条件，执行循环体，N1+13+15，T=12+14+16，i7观察规律可知：i99时，不满
12、足判断框内的条件，执行循环体，N1+13+15+199，T=12+14+16+1100，i101此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S=1-12+13-14+199-1100的值所以判断框中的条件应是i101？故选：D8三视图还原原图是一个侧面垂直于底的三棱锥，记为ABCD；如图：过点A作AEBD与E，过点C作CFBD与F，连接CE，AF；由三视图可得：AE4，BD4，BE3，ED1，BF2，FD2，CF3；CE2CF2+FE29+110；AC2CE2+AE210+1626；AB2BE2+AE29+1625；AD2AE2+DE216+117；BC2DC2FD2+CF222+3213；所
13、以最长棱为AC；其长为26故选：D9连接OA，则OAr60m，设AOE，(0，2)，由题意可得AErsin60sin，OErcos60cos，而ABCD2AE，EF2OE，所以木桥的长度AB+CD+EF4AE+2OE240sin+120cos1205sin（+），tan=12，所以木桥的长度1205，当sin（+）1时，取等号故选：C10函数f(x)=ex+e-x-1lg(x2+1)的定义域为x|x0，且f（x）ex+ex-1lg(1+x2)=f（x），可得f（x）为偶函数，当x0时，yex+ex递增，y=1lg(1+x2)在x0时递减，即有f（x）在（0，+）递增，则f（2x+1）f（x2）
14、f（|2x+1|）f（|x2|），由f（x）在（0，+）递增，可得0|2x+1|x2|，即为（3x1）（x+3）0，且x-12解得3x13，且x-12，故选：C11如图，取AC中点E，则E为三角形ABC的外心，在三角形PBC中，由BC1，PB22，PBC45，由余弦定理可得PC=5，设PBC的外心为F，分别过E，F作底面ABC与侧面PBC的垂线，相交于O，则O为三棱锥PABC外接球的球心，OFDE=12AB1，设PBC外接圆的半径为r，则5sin45=522=2r，即r=102三棱锥PABC外接球的半径满足R2=OB2=OF2+BF2=1+52=72，三棱锥PABC外接球的表面积是4R2=47
15、2=14故选：B12设BF1x，因为|AF1|3|BF1|，|AB|BF2|，则AF13x，BF24x，所以2aBF2BF14xx3x，AF22a+AF16x，在三角形AF1F2中，由余弦定理可得：cosAF1F2=AF12+F1F22-AF222AF1F1F2=9x2+4c2-36x223x2c=4c2-27x212cx，在三角形BF1F2中，由余弦定理可得：cosBF1F2=BF12+F1F22-BF222BF1F1F2=x2+4c2-16x22x2c=4c2-15x24cx，又因为：，所以4c2-27x212cx+4c2-15x24cx=0，整理可得：2c32x，所以离心率e=2c2a=
16、32x3x=2，故选：A二、填空题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13袋子里装有5个颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫的小球（大小、形状、质量完全相同），某人从袋子中次性取出2个小球，基本事件总数n=C52=10，取出的2个小球中含有红色小球包含的基本事件个数m=C11C41=4，则取出的2个小球中含有红色小球的概率为p=mn=410=25故答案为：2514作出不等式组对应的平面区域，如图：由z3x2y化简为y=32x-12z，平移直线y=32x-12z，由图象可知当直线y=32x-12z，经过点A（m，0）时，直线y=32x-12z的截距最小，此时z最大，zmax3m180，解得：m60故答
17、案为：6015通项公式Tk+1=nk(x)n-k(124x)k=12knkx2n-3k4由题意可得：212n1=1+122n2，解得n8令16-3k4=1，解得k4f（x）=11684x=358x-18 358|x|dx=358（-10 (-x)dx+08 xdx）=358（-x22|-10+x22|08）=227516故答案为：22751616函数的定义域为（1，+），f（x）ex（1a）aln（x+1）+1ex1aln（x+1），注意到f（0）0，若a0，则函数f（x）在（1，+）上为增函数，则当x（1，0）时，f（x）0，当x（0，+）时，f（x）0，函数f（x）在（1，0）上单调递减，
18、在（0，+）上单调递增，不符合题意，故a0；显然，要使函数f（x）在（1，+）单调，则需ex1aln（x+1）0在（1，+）上恒成立，令g（x）ex1（x1），h（x）aln（x+1）（a0，x1），注意到g（0）h（0）0，由g（x）ex1可得g（x）ex，则g（0）1，故函数g（x）在点（0，0）处的切线方程为yx，由h（x）aln（x+1）可得h(x)=ax+1，则h（0）a，故函数h（x）在点（0，0）处的切线方程为yax，依题意，函数g（x）与函数h（x）有唯一的公切线，且切点为（0，0），则a1故答案为：1三、解答题（本大题共70分）（一）必考题（共60分）17（1）由题意，若a2
19、，则Snn2+n+3当n1时，a1S112+1+35当n2时，anSnSn1n2+n+3（n1）2+（n1）+32n数列an的通项公式为an=5，n=12n，n2（2）由题意，当n1时，a1S1a+3当n2时，anSnSn1n2+n+a+1（n1）2+（n1）+a+12nan=a+3，n=12n，n2数列an是等差数列，2a2a1+a3，即a+3+624，解得a1an2n，nN*；Snn2+n，nN*bn=an+1nSn+1=2(n+1)n(n+1)2+(n+1)=2n(n+2)=1n-1n+2则Tnb1+b2+b3+b4+bn1+bn1-13+12-14+13-15+14-16+1n-1-1
20、n+1+1n-1n+21+12-1n+1-1n+2=32-2n+3(n+1)(n+2) =3n2+5n2(n+1)(n+2)18（1）根据题意，ODAB2，且ODAB，则平行四边形ODBA，连接OB，交AD为F，因为F为OB的中点，当E为OP的中点时，EFPB，则PB平面AED，EF平面EAD，故PB平面ADE，故E为PO的中点；（2）OP平面OABC，BC平面ABCO，所以BCPO，由OB22，BC22，OC4，所以OC2OB2+BC2，所以BCOB，所以BC平面POB，BCPB，PB2PA2+AB224，利用体积公式VPEBCVEPBC，得1312，42PE=131222263，PE3，由
21、BC平面POB，BE平面PEB，所以BEBC，PBBC，故EBP为所求二面角的平面角，EB=OB2+OE2=8+1=3，PB26，cosEBP=9+24-92326=24126=63，故锐二面角EBCP的余弦值为6319（1）根据频率分布直方图的应用，解得1000.440，20100=0.20（2）根据已知条件，第一组的直方图的高为0.005，第二组的直方图的高为0.0125，第三组的直方图的高为0.02，第四组的直方图的高为0.01，第五组的直方图的高为0.0025故直方图为：（3）根据分层抽样的方法得到：25：1020：x，解得第四组抽取8人，25：105：y，解得第五组抽取2人故：从这1
22、0名考生中随机抽取3名考生接受考官M的面试，这3名考生中来自第5组的人数记为X，则：X0，1，2所以P（X0）=C83C20C103=56120=715P（X1）=C82C21C103=715，P（X2）=C81C22C103=115，故分布列为： P 0 1 2 X 715 715 115所以E（X）=0715+1715+2115=915=3520（1）设椭圆的焦距为2c，则c1，由椭圆经过（1，32），则b2a=32，且a2b2+c2，解得：a2，b=3，所以椭圆C的方程：x24+y23=1；（2）方法一：过点A作APy轴于点P，过点B作BQy轴于点Q，易得S1S2=|AP|BQ|，因为S
23、1S2=|AM|BM|，所以|AM|BM|=|AP|BQ|，所以RtAMPRtBMQ，所以AMOBMO，即直线AM和直线MB的倾斜角互补，所以其斜率之和为零，当k0时，点M为y轴上除原点O和直线l与y轴的交点外的任意一点，则y1-mx1+y2-mx2=0，所以x2y1+x1y2m（x1+x2），由y=kx+1x24+y23=1，得（4k2+3）x2+8kx80，则x1+x2=-8k4k2+3，x1x2=-84k2+3，则x2y1+x1y2x2（kx1+1）+x1（kx2+1）2kx1x2+（x1+x2）=-24k4k2+3，所以-24k4k2+3=-8km4k2+3，因为k0，所以m3，所以点
24、M的坐标为（0，3），综上所述，点M的坐标为（0，3）方法二：因为S1S2=|AM|BM|，其中S1，S2分别为OAM，OBM的面积，所以S1S2=12|MA|OM|sinAMO12|MB|OM|sinBMO=|AM|BM|，所以sinOMAsinOMB，直线AM和直线MB的倾斜角互补，所以其斜率之和为零下同方法一21（1）函数f（x）xe2xa（2x+lnx），x（0，+），f（x）=e2x+2xe2x-a(2+1x)=（2x+1）（e2x-ax），f（1）3（e2a），又f（1）e22a，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y（e22a）3（e2a）（x1），即y3（e2a）x2
25、e2+a，3(e2-a)=0-2e2+a=-e2，解得：ae2；（2）由（1）得，f（x）（2x+1）（e2x-ax），显然2x+10，令g（x）e2x-ax，x（0，+），当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，无极值，不符合题意，当a0时，g（x）2e2x+ax20，g（x）在（0，+）上单调递增，取b满足0bmin14，a2，则e2be，-ab-2，g（b）=e2b-abe-20，又g（a）e2a10，存在x0（b，a），使得g（x0）=e2x0-ax0=0，此时a=x0e2x0，当x（0，x0） 时，g（x）0，f（x）0，f（x）单调递减；当x（x0，+） 时，g（x）
26、0，f（x）0，f（x）单调递增，x0为函数f（x）的极小值点，且f（x0）=x0e2x0-x0e2x0(2x0+lnx0)=x0e2x0(1-2x0-lnx0)0，12x0lnx00，令h（x）12xlnx，则h（x）2-1x0，h（x）在（0，+）上单调递减，又h（12）ln20，h（1）10，0x01，lnx00，令t（x）ex（x+1），则t（x）ex1，t（x）在（0，+）上单调递增，t（x）t（0）0，即exx+1，f（x0）=x0e2x0(1-2x0-lnx0)x0（2x0+1）（12x0）=x0(1-4x02)=x0-4x03（二）选考题（共10分）22（1）曲线C1的参数方程
27、为x=2+2cosy=2sin（为参数），转换为直角坐标方程为（x2）2+y24曲线C2的极坐标方程为4sin转换为直角坐标方程为x2+y24y0（2）曲线C1的直角坐标方程为转换为极坐标方程为4cos曲线C3是过坐标原点且倾斜角为的直线，所以，故：=4cos=，即14cos，=4sin=，即24sin，所以|AB|12|=4|cos-sin|=42，解得|2cos(+4)|=2，解得=34或7423（1）f(x)=-5x，x12-x-2，12x13x-6，x1，其图象如下：（2）证明：由（1）可知，m3，则12a+13b+14c=1，1=122a+123b+124c(1+1+1)22a+3b+4c，2a+3b+4c329，当且仅当“12a=13b=14c”时取等号17
