1、第5讲 守恒问题模型 5.1 类碰撞知识点睛碰撞问题是高中物理的重点和难点之一，从能量角度，碰撞可分为弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞。我们会发现，在平时的习题乃至高考题中有一大类与碰撞相类似的习题；当两个物体发生相互作用时,系统所受的外力之和为零,所以相互作用的过程中,系统动量守恒；系统的能量在动能与重力势能、弹性势能、电能、内能等之间相互转化,我们把这种问题称作“类碰撞”问题。类碰撞问题涉及面很广,包括力、热、电、磁等现象中的动量和能量问题。这类题目的综合性较强，它所反映出来的物理过程、状态变化及能量关系能够全方位地考查同学们的理解能力、逻辑思维能力及分析推理能力，通常会成为同学们学习
2、的难点。处理这类问题的关键是一定要透析碰撞的规律，灵活运用模型特征解题。例题精讲碰撞模型回顾【例1】 在一竖直面内有一光滑的轨道，轨道左边是光滑弧线，右边是足够长的水平直线。现有质量分别为和的两个质点，在水平轨道上静止，在高处自静止滑下，与发生弹性碰撞，碰后仍可返回到弧线的某一高度上，并再度滑下。求，至少发生两次碰撞的条件。【答案】【总结】两个（或两个以上）物体相遇，物体之间的相互作用仅持续一个极为短暂的时间，而运动状态发生显著变化，这种现象称为碰撞。碰撞是一个基本的十分重要的物理模型，其特点是：1动量守恒性，因碰撞时间极短，相互作用的内力大于外力，所以系统在碰撞过程中动量守恒。2动能不增性，
3、在碰撞过程中，系统总动能只有减少或者不变，而绝不会增加，即不能违背能量守恒原则。若弹性碰撞则同时满足动量、动能守恒。非弹性碰撞只满足动量守恒，而不满足动能守恒（系统的动能减少）。3瞬时性，由于物体在发生碰撞时，所用时间极短，因此在计算物体运动时间时，通常把碰撞时间忽略不计；在碰撞这一极短的时间内，物体的位置是来不及改变的，因此我们可以认为物体在碰撞中位移为零。4实际性，碰撞结果必须与实际情况相符合，如：在后面运动的物体的速度比在前面运动的物体的速度大；也不可能出现两球相向碰撞后，速度方向都没有发生变化等。类碰撞绳模型【例2】 如图所示，光滑水平面上有两个质量相等的物体，其间用不可伸长的细绳相连
4、，开始静止，具有（规定向右为正）的动量，开始时绳松弛，那么在绳拉紧的过程中，、动量变化可能是A. ，B. ，C. ，D. 【答案】 C谐振子弹簧模型【例3】 如图所示，滑块、的质量分别为与，且，由轻质弹簧相连接，置于光滑的水平面上。用一根轻绳把两滑块拉至最近，使弹簧处于最大压缩状态后绑紧，两滑块一起以恒定的速度向右滑动，突然，轻绳断开，当弹簧恢复至自然长度时，滑块的速度正好为零，问在以后的运动过程中，滑块是否会有速度为零的时刻？试通过定量分析，证明你的结论。【答案】 不可能【总结】在这类问题中，物体之间的相互作用是靠弹簧来实现的。弹簧上的弹力会对物体的运动状态产生影响，同时，整个系统的能量也会
5、从某些形式转化到另一些形式。所以，谐振子问题是力学与碰撞问题的结合点，可以相互注释，结论相互引用，在受力分析的同时应用碰撞方程的解，需要比较高的知识迁移能力。【例4】 如图所示，位于光滑水平桌面上的小滑块和都可视为质点，质量分别为、且，与轻质弹簧相连。设静止，以某一初速度向运动并与弹簧发生碰撞，一段时间后与弹簧分离。在这一过程中，下列说法正确的是A与弹簧分离时，的动能达到最大，的动能达到最小B与的速度相等时，的速度为零，加速度最大C与的速度相等时，和的动量之和达到最小D与的速度相等时，和的动能之和达到最小【答案】【例5】 用轻弹簧相连的质量均为的、两物块都以的速度在光滑水平地面上运动，弹簧处于
6、原长，质量为的物体静止在前方，如图所示，与碰撞后二者粘在一起运动。求在以后的运动中 当弹簧的弹性势能最大时物体的速度多大？ 弹性势能的最大值是多大？ 的速度有可能向左吗？为什么？【答案】 不可能【例6】 如图所示，滑块由轻杆连结成一个物体，其质量为，轻杆长。滑块的质量为，长，其左端为一小槽，槽内装有轻质弹簧。开始时，紧贴，使弹簧处在压缩状态。突然松开弹簧，在弹簧作用下整个系统获得动能，弹簧松开后便离开小槽并远离物体。以后将在和之间发生无机械能损失的碰撞。假定整个系统都位于光滑的水平面上，求物块的运动周期。【答案】类碰撞中的圆弧模型【例7】 光滑的水平面上，质量为的小球以速度冲上静止放置的带有光
7、滑圆弧的质量为的曲面体，已知曲面顶端切线竖直。若未能越过曲面体，求球到达最高点时曲面体的速度以及曲面半径的最小值。【答案】 ，【总结】这种模型的特点是，只要地面光滑，那么:1球和弧面的总动量在水平方向上总是守恒的。从弧面最顶端脱离后，球将与弧面保持水平方向上的相对静止，所以最终会从同一点回落再次以切线方向进入弧面。2球和弧面之间的关系属于完全弹性碰撞，任何时候两者所组成的总体，在相互作用过程中机械能是守恒的。球处在弧面最底端时两者总动能最大，重力势能最小；球处在弧面最顶端时，球与弧面水平方向速度相等，两者总动能最小，重力势能最大。人船模型【例8】 如图所示，水平地面光滑，其它摩擦均不计，物体、
8、质量分别为、，图中为已知，物体均无初速释放。达到右边最高点时，的速度为 ，的对地位移为 。【解析】 过程：向最低点加速下滑时，反冲向左加速，当达最低点时，两者 速度最大。过程：由于惯性向右上滑（减速）向左滑（减速），当到 达右边最高点时，与速度相等，由水平方向动量守 恒得：，故（同时为，即“你停我停”）水平方向动量守恒得：由图得： 所以。【答案】 ，【总结】1人船模型：初态人和船均静止，不计水阻力（两个物体均处于静止，当两个物体存在相互作用而不受外力作用时，系统动量守恒）2人船模型的特点：两物体你动我动，你停我停，你快我快，你慢我慢，你左我右，你右我左。 若一个原来静止的系统的一部分发生运动，
9、则根据动量守恒定律可知，另一部分将向相反方向运动。，则经过时间的积累，运动的两部分经过了一段距离，同样的，有 当符合动量守恒定律的条件，而仅涉及位移而不涉及速度时，通常可用平均动量求解。解此类题通常要画出反映位移关系的草图。人船模型中，人的位移与船的位移分别为，其中是人和船的相对位移。【例9】 如图所示，质量为的斜面体放在质量为的斜面体的顶端，斜面体放在水平面上，若斜面体的下底边长度为，斜面体的上边长度为，且，不计一切摩擦，求当由的顶端从静止开始滑到的底端时，移动的距离。【答案】电磁场中的“类碰撞”【例10】 如图所示，电容器固定在一个绝缘座上，绝缘座放在光滑水平面上，平行板电容器板间的距离为
10、，右极板上有一小孔，通过孔有一左端固定在电容器左极板上的水平绝缘光滑细杆，电容器极板以及底座、绝缘杆总质量为，给电容器充电后，有一质量为的带正电小环恰套在杆上以某一初速度对准小孔向左运动，并从小孔进入电容器，设带电环不影响电容器板间电场分布。带电环进入电容器后距左板的最小距离为，试求： 带电环与左极板相距最近时的速度 此过程中电容器移动的距离。 此过程中能量如何变化？【答案】 在此过程，系统中，带电小环动能减少，电势能增加，同 时电容器等的动能增加，系统中减少的动能全部转化为电势能。【总结】在电场和磁场中，物体间的相互作用靠电场力和磁场力来实现，同样也会对系统内各物体的运动状态有影响。通过分析
11、我们会发现，物体的受力特点和运动特点都和碰撞模型相类似，只不过在能量转化的过程中，会有电势能、磁场能等形式的能量参与进来。所以我们可以根据碰撞模型的解题规律解决电磁场中的这类问题。【例11】 如图所示，在光滑的水平面上静止着两小车和，在车上固定着强磁铁，总质量为，车上固定着一个闭合的螺线管与车的总质量为，现给车一个水平向左的瞬间冲量，若两车在运动过程中不发生直接碰撞，则相互作用过程中产生的热能是多少?【答案】【例12】 匀强电场的方向沿轴正向，电场强度随的分布如图所示。图中和均为已知量。将带正电的质点在点由静止释放，离开电场足够远后，再将另一带正电的质点放在点也由静止释放，当在电场中运动时，、
12、间的相互作用力及相互作用能均为零：离开电场后，、间的相作用视为静电作用。已知的电荷量为。和的质量分别为和 ，不计重力求： 求在电场中的运动时间 若的电荷量，求两质点相互作用能的最大值 为使离开电场后不改变运动方向，求所带电荷量的最大值【答案】 5.2 双杆碰撞知识点睛电磁感应中“双杆问题”是学科内部综合的问题，不仅涉及到电磁学的基本规律，还涉及到受力分析，运动学、动量、能量等多方面的知识，以及临界问题、极值问题。在分析问题的过程中，会频繁应用到力学基本规律，牛顿运动定律和动量定理、动量守恒定律及能量守恒定律等。这类题目要求学生能够综合运用上述知识，认识题目所给的物理情景，找出物理量之间的关系，
13、因此是较难的一类问题，也是近几年高考考查的热点。类型水平、等间距、无外力水平、不等间距、无外力水平、等间距、受外力竖直导轨终态分析两导体棒以相同的速度做匀速运动两导体棒以不同的速度做匀速运动两导体棒以不同的速度做加速度相同的匀加速运动两导体棒以相同的速度做加速度相同的匀加速运动速度图象解题策略动量守恒定律，能量守恒定律及电磁学、运动学知识动量定理，能量守恒定律及电磁学、运动学知识动量定理,能量守恒定律及电磁学、运动学知识动量定理,能量守恒定律及电磁学、运动学知识例题精讲【例13】 如图所示，和为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。 、间的宽度是、间宽度的倍。设导轨足够长，
14、导体棒的质量是棒的质量的倍。现给导体棒一个初速度，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？【答案】 ，【例14】 如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离。两根质量均为的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为。在时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为的恒力作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过，金属杆甲的加速度为，问此时两金属杆的速度各为多少？【答案】 ，【例15】 如图所示，和是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，和是
15、平行的足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。在水平导轨上有与导轨垂直的导体棒，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导体棒，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。已知磁场的磁感应强度为，导轨间距为，倾斜导轨与水平面夹角为，导体棒和质量均为，电阻均为。不计导轨电阻和一切摩擦。现用一水平恒力作用在棒上，从静止开始拉动棒，同时由静止开始释放棒，经过一段时间，两棒最终匀速运动。忽略感应电流之间的作用，试求： 水平拉力的大小； 棒最终匀速运动的速度的大小。【答案】 【例16】 如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直导轨向里的匀强磁场中，两根质量相同的金属棒和和导轨紧密接触且可自由滑动，先
16、固定，释放，当速度达到时，再释放，经时间的速度达到，则A. 当时，B. 当时，C. 若导轨很长，它们最终速度必相同D. 它们最终速度不相同，但速度差恒定【答案】 AC【例17】 如图所示，和为水平放置的平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。虚线右方磁感应强度为，左方磁感应强度为。、间的宽度为，、间的宽度为，导轨、是光滑的。杆的电阻为、质量为，、与杆间的摩擦力为。设导轨足够长，导体棒的质量是棒的倍，导体棒的电阻是棒的倍。现给导体棒一个水平向左的恒力，使它由静止开始沿导轨向左运动，求电路达到稳定时，回路中的电流强度。【答案】【例18】 如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距，放在水平绝缘桌面
17、上，半径为的圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。两金属棒、垂直于两导轨且与导轨接触良好。棒质量为，电阻为，棒的质量为，电阻为。重力加速度为。开始棒静止在水平直导轨上，棒从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。棒与棒落地点到桌面边缘的水平距离之比为。求： 棒和棒离开导轨时的速度大小； 棒在水平导轨上的最大加速度； 两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热。【答案】 ， 【例19】 如图所示，有一个连通的，上、下两层均与水平面平行的“”型的光滑金属平行导轨，在导轨面上各放一根完
18、全相同的质量为的匀质金属杆和，开始时两根金属杆与轨道垂直，在“”型导轨的右侧空间存在磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场，杆在磁场中，杆在磁场之外。设两导轨面相距为，平行导轨宽为，导轨足够长且电阻不计，金属杆单位长度的电阻为。现在有同样的金属杆从左侧半圆形轨道的中点从静止开始下滑，在下面与金属杆发生碰撞，设碰撞后两杆立刻粘在一起并向右运动。求： 回路内感应电流的最大值； 在整个运动过程中，感应电流最多产生的热量； 当杆与杆的速度之比为时，受到的安培力大小。【答案】 *注：学生版没有本模块，同时本模块的习题会发在本讲的课件中。5.3 流体问题知识点睛通常液体流、电子流、光子流、气体流等广义地
19、视为“流体”，而电子流、光子流、气体流可统称为粒子流。这是高中物理中的一类重要模型。问题关键：正确选取研究对象，对于液体流，通常选取质量的液柱为研究对象；对于运动粒子流，通常是以体积元内的个粒子为研究对象。物理手段：动量定理。数学思想：微元思想，几何中“体”的思想。能力要求：将实际问题构建成物理模型的能力。知识链接：由体积元可定义流量的概念，单位时间内流过管道横截面的液体体积叫做液体的体积流量（简称流量）即流量。例题精讲【例20】 在彩色电视机的显像管中，从电子枪射出的电子在加速电压作用下被加速，且形成电流为的平均电流，若打在荧光屏上的高速电子全部被荧光屏吸收。设电子质量为，电量为，进入加速电
20、场之前的初速度不计，求：显像管受到电子流的平均冲力是多大？【答案】【例21】 在宇宙飞船的实验舱内充满气体，且一段时间内气体的压强不变，舱内有一块面积为的平板舱壁如图所示，如果气体对平板的压强是由气体分子垂直撞击平板形成的，假设气体分子中各有的个数分别向上、下、左、右、前、后六个方向运动，且每个分子的速度均为，设气体分子与平板碰撞后仍以原速反弹。已知实验舱中单位体积内的摩尔数为，的摩尔质量为，阿伏加德罗常数为。求：气体对平板的压强。【答案】【例22】 根据量子理论：光子不但有动能还有动量，其计算公式为。既然光子有动量，那么照射到物体表面，光子被物体反射或吸收时光就会对物体产生压强，称为“光压”
21、。 一台气体激光器发出的激光的功率为，射出的光束的横截面积为，光速为，当它垂直射到某一较大的物体表面时光子全部被垂直反射，则激光对该物体产生的光压是多大？ 既然光照射物体会对物体产生光压，有人设想在遥远的宇宙探测用光压为动力推动航天器加速。假设一探测器处在地球绕日轨道上，给该探测器安上面积极大，反射率极高的薄膜，并让它正对太阳。已知在地球绕日轨道上，每平方米面积上得到太阳光的功率为，探测器的质量为，薄膜面积为，求由于光压的作用探测器得到的加速度为多大？【答案】 【例23】 为了测量某化工厂的污水排放量，技术人员在该厂的排污管末端安装了如图所示的流量计，该装置由绝缘材料制成，长、宽、高分别为、，左右两端开口，在垂直于上下底面方向加磁感应强度为的匀强磁场，在前后两个内侧固定有金属板作为电极，污水充满管口从左向右流经该装置时，电压表将显示两个电极间的电压。若用表示污水流量（单位时间内排出的污水体积），下列说法中正确的是A若污水中正离子较多，则前表面比后表面电势高B前表面的电势一定低于后表面的电势，与哪种离子多无关C污水中离子浓度越高，电压表的示数将越大D污水流量与成正比，与、无关【答案】 BD45第七级第5讲教师版
