1、江苏省2020年2月高三最后一届特供模拟试卷数学试题含附加题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分请把答案写在答题纸的指定位置上1已知集合A2，1，2，Bx|x22，则AB 2设i为虚数单位，若复数满足（1i）zi，则z的虚部为 3采取分层抽样的方式从军区总院和鼓楼医院共抽取100名医生支援湖北，已知从军区总院全体900名医生中抽取的人数为40，则鼓楼医院的医生总人数为 4在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：y24x21的渐近线方程为 5已知某厂生产的6个网球中有2个是劣等品，且劣等品只要被检测就一定会被发现，现从这6个网球中任取3个进行检测，则检测出劣等品的概率是 6执行如图所示
2、的程序框图，则输出的结果为 7等差数列an的前n项和为Sn，且S104S5100，则an的通项公式为 8已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在区间0，+）上单调递增，则不等式f（1）f（2lgx）的解集为 9在平面直角坐标系xOy中，奇函数yf（x）的图象可由函数g（x）cos（3x+）（|2）的图象向左平移4个单位得到，则 10已知某四面体ABCD的两个面ABC和BCD均是边长为2的正三角形，且AD1，则该四面体的体积为 11在平面直角坐标系xOy中，A的坐标为（2，0），B是第一象限内的一点，以C为圆心的圆经过O、A、B三点，且圆C在点A，B处的切线相交于P，若P的坐标为（4，2）
3、，则直线PB的方程为 12已知函数f（x）=x-1x，x0lnx+ex，x0，若g（x）f（x）kx有两个不等的零点，则实数k的取值范围为 13在ABC中，D为AC的中点，若cosDBC=35，cosDBA=725，且ABAC=2，则BABC的值为 14在平面直角坐标系xOy中，异于原点的A、B、C三点满足OA2+2OB2+3OC26，则ABC面积的最大值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15（14分）已知角（0，），且满足sin=154（1）若是锐角，求tan（-3）；（2）若是钝角，求cos（2+4）16（14分）将
4、正方体ABCDA1B1C1D1沿三角形A1BC1所在平面削去一角可得到如图所示的几何体（1）连结BD，BD1，证明：平面BDD1平面A1BC1；（2）已知P，Q，R分别是正方形ABCD、CDD1C1、ADD1A1的中心（即对角线交点），证明：平面PQR平面A1BC117（14分）某工厂打算设计一种容积为2m3的密闭容器用于贮藏原料，容器的形状是如图所示的直四棱柱，其底面是边长为x米的正方形，假设该容器的底面及侧壁的厚度均可忽略不计（1）请你确定x的值，使得该容器的外表面积最小；（2）若该容器全部由某种每平方米价格为100元的材料做成，且制作该容器仅需将购置的材料做成符合需要的矩形，这些矩形即是
5、直四棱柱形容器的上下底面和侧面（假设这一过程中产生的费用和材料损耗可忽略不计），再将这些上下底面和侧面的边缘进行焊接即可做成该容器，焊接费用是每米500元，试确定x的值，使得生产每个该种容器的成本（即原料购置成本+焊接费用）最低18（16分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左右焦点分别为F1、F2，左右顶点分别为A、B，上顶点为T，且TF1F2为等边三角形（1）求此椭圆的离心率e；（2）若直线ykx+m（k0）与椭圆交与C、D两点（点D在x轴上方），且与线段F1F2及椭圆短轴分别交于点M、N（其中M、N不重合），且|CM|DN|求k的值；设AD、BC的斜率分别为k1，k2，求k1k2
6、的取值范围19（16分）已知函数f（x）axax，a0且a1，函数g（x）=x1+x2（1）判断并证明f（x）和g（x）的奇偶性；（2）求g（x）的值域；（3）若xR，都有|f（x）|g（x）|成立，求a的取值范围20（16分）若数列an满足：对任意nN*，均有anbn+cn成立，且bn，cn都是等比数列，则称（bn，cn）是数列an的一个等比拆分（1）若an2n，且（bn，bn+1）是数列an的一个等比拆分，求bn的通项公式；（2）设（bn，cn）是数列an的一个等比拆分，且记bn，cn的公比分别为q1，q2；若an是公比为q的等比数列，求证：q1q2q；若a11，a22，q1q21，且对任
7、意nN*，an+13anan+1an+2+an+2an恒成立，求a3的取值范围选做题（在21、22、23三小题中选做2题，若多做按前两题计分，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内）选修4-2：矩阵与变换21（10分）已知A=31-10，=32，求A1a选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）曲线C的参数方程为x=1-2t21+2t2y=22t1+2t2，直线l的参数方程为x=1+2ay=3a（1）求曲线C的一般方程；（2）求直线l被曲线C截得的弦长选修4-5：不等式选讲23已知x，y0，且xy4，证明：yx2+4+xy2+412必做题（第24、25题，每小题10分，计20分请
8、把答案写在答题纸的指定区域内）24（10分）如图所示是一个上下底面均是边长为2的正三角形的直三棱柱，且该直三棱柱的高为4，D为AB的中点，E为CC1的中点（1）求DE与平面ABC夹角的正弦值；（2）求二面角AA1DE的余弦值25（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A1，A2，An，B1，B2，Bn，均在抛物线xy2上，线段AnBn与x轴的交点为Hn将OA1B1，H1A2B2，HnAn+1Bn+1，的面积分别记为S1，S2，Sn+1，已知上述三角形均为等腰直角三角形，且它们的顶角分别为O，H1，Hn，（1）求S1和S2的值；（2）证明：nsnn2一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计
9、70分请把答案写在答题纸的指定位置上1【详解详析】集合A2，1，2，Bx|x22x|x-2或x2，AB2故答案为：22【详解详析】由（1i）zi，得z=i1-i=i(1+i)(1-i)(1+i)=-12+12i，z=-12-12i，则z的虚部为-12故答案为：-123【详解详析】已知从军区总院全体900名医生中抽取的人数为40，则则从鼓楼医院抽取的医生总人数为1004060，设鼓楼医院的医生总人数为m，这由60m=40900，m1350，故答案为：13504【详解详析】由题意a21，b2=14，焦点在y轴上，所以渐近线的方程为：y=abx，即y2x，故答案为：y2x5【详解详析】某厂生产的6个
10、网球中有2个是劣等品，且劣等品只要被检测就一定会被发现，现从这6个网球中任取3个进行检测，基本事件总数n=C63=20，检测出劣等品包含的基本事件个数m=C21C42+C22C41=12，则检测出劣等品的概率是p=mn=1220=35故答案为：356【详解详析】i3，n1，第一次执行循环体后，n4，i6，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，n10，i9，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，n19，i12，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，n31，i15，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，n46，i18，满足退出循环的条件；故答案为：输出i值为18，7【详解详析】设公
11、差为d，由S104S5100，可得10a1+1092d=1005a1+542d=25，解得a11，d2，故an2n1，故答案为：an2n18【详解详析】函数f（x）是偶函数，xR，都有f（x）f（x）f（|x|）；又由于f（x）在区间0，+）上单调递增，不等式f（1）f（2lgx）f（1）f（|2lgx|）12|lgx|；lgx12或lgx-12解得x10或0x1010；不等式f（1）f（2lgx）的解集为：x|x10或0x1010故答案为：x|x10或0x10109【详解详析】由题意可得函数g（x）cos（3x+）（|2）的图象向左平移4个单位得到奇函数yf（x）的图象，而把函数g（x）co
12、s（3x+）（|2）的图象向左平移4个单位得到ycos（3x+34+）的图象，34+k+2，kZ，=-4，故答案为：-410【详解详析】如图，ABC与BCD均为等边三角形，边长为2，AD1，取AD中点O，连接OB，OC，可得OBOC=22-(12)2=152，SOBC=122(152)2-12=112VA-BCD=131121=116故答案为：11611【详解详析】根据题意，A的坐标为（2，0），以C为圆心的圆经过O、A、B三点，则圆心C在线段OA的垂直平分线上，设圆心C的坐标为（1，b），圆C在点A，B处的切线相交于P，若P的坐标为（4，2），则kPA=2-04-2=1，则kAC=b-01-
13、2=-1，解可得：b1，即C（1，1），圆C的半径r|AC|=2，其圆C的方程为（x1）2+（y1）22，直线PB的斜率必定存在，设PB的方程为y2k（x4），即kxy4k+20，则有|-3k+1|1+k2=2，解可得k=-17或1（舍）；故PB的方程为y2=-17（x4），变形可得x+7y180；故答案为：x+7y18012【详解详析】函数g（x）f（x）kx有两个不等的零点，即方程f（x）kx有2个不等根，因为x0，所以也等价于f(x)x=k有2个不等实根，根据条件令h（x）=f(x)x=1-1x2，x0lnxx+e，x0，因为x0时，h（x）1-1x21，x0时，h（x）=1-lnxx2
14、，当0xe时，h（x）单调递增，当xe时，h（x）单调递减，且当x+时，h（x）e，作出函数f（x）的图象如图：根据图象可知，k（，1）（e，e+1e），故答案为：（，1）（e，e+1e）13【详解详析】记ABc，ACb，BCa，则ABAC=cbcosBAC=b2+c2-a22=2，即b24+a2c2，因为D为AC的中点，所以SDCBSDBA，即45a=2425c，所以a=65c，又由cosABCcos（DBA+DBA）=72535-242545=-35=a2+c2-b22ac，解得c2=5043，则BABC=-35ac=-3565c2=-3643，故答案为：-364314【详解详析】如图，以
15、A为坐标原点建系，设ABa，O（x，y），OA2+2OB2+3OC26，OA2+2OB263OC2，x2+y2+2（xa）2+y263OC2，化简得(x-23a)2+y2=2-OC2-29a2，所以y的最大值为2-OC2-29a2，所以yC2-OC2-29a2+OC2(2-OC2-29a2+OC2)=21-19a2，所以SABC12a1-19a2=a2(1-19a2)=319a2(1-19a2)32，当且仅当“a=322”时取等号，经验证成立故答案为：32二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15【详解详析】（1）时锐角，cos
16、0，cos=1-sin2=14，tan=sincos=15，tan(-3)=tan-tan31+tantan3=43-1511；（2）是钝角，cos0，cos=-1-sin2=-14，cos2=cos2-sin2=-78，sin2=2sincos=-158，cos(2+4)=cos2cos4-sin2sin4=30-721616【详解详析】证明：（1）连接AC，正方体ABCDA1B1C1D1，AA1CC1，A，A1，C，C1共面，正方体ABCDA1B1C1D1，DD1平面A1C1D1，A1C1在平面A1C1D1内，DD1A1C1，正方体ABCDA1B1C1D1，四边形ABCD为正方形，ACBD
17、，正方体ABCDA1B1C1D1，AA1平面ABCD，BD在平面A1C1D1内，AA1BD，ACAA1A且都在平面AA1C1C捏，BD平面AA1C1C，A1C1在平面AA1C1C内，BDA1C1，BDDD1D，且都在平面BDD1内，A1C1平面BDD1，A1C1在平面A1BC1内，平面BDD1平面A1BC1；（2）连接A1D，BD，C1D，P，Q，R分别是正方形ABCD，CDD1C1，ADD1A1的中心，P，Q，R分别是BD，C1D，A1D的中点，PQBC1，BC1在平面A1BC1内，PQ不在平面A1BC1内，PQ平面A1BC1，同理可得PR平面A1BC1，又PQPRP且都在平面PQR内，平面
18、PQR平面A1BC117【详解详析】（1）设该容器高为h，据体积为2m3得x2h2，即h=2x2，设该容器的外表面积为S，则S=2x2+4xh=2x2+8x，x0，则S=4x-8x2=4(x-32)(x2+32x+34)x2，令S0，解得x32，此时函数S（x）单调递增，令S0，解得0x32，此时函数S（x）单调递减，当x=32时，该容器的表面积最小；（2）设生产每个容器的成本为C（单位：元），则C=100S+500(8x+4h)=200(x2+20x+4x+20x2)，x0，C=400(x+10)(x-32)(x2+32x+34)x3，令C0，解得x32，此时函数C（x）单调递增，令C0，解
19、得0x32，此时函数C（x）单调递减，当x=32时，生产每个容器的成本最低；18【详解详析】（1）设x2a2+y2b2=1(ab0)的半焦距为c，由TF1F2为等边三角形得a2c，即椭圆的离心率e=ca=12；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由ykx+m，可知M(-mk，0)，N（0，m），联立ykx+m与x2a2+y2b2=1，整理得（a2k2+b2）x2+2kma2x+a2m2a2b20，其中4a2b2（a2k2+b2m2）0，易值，x1+x2xM+xN，即-2kma2a2k2+b2=-mk，解得k2=b2a2=1-e2=34，因为，k0，所以k=32，由M在线段F1F2，且M
20、，N不重合，可知，xM=-mk=-amb-c，0)(0，c，从而m-bca，0)(0，bca，即k1=y2x2+a，k1=y1x1-a，并结合在曲线上，则有，所以k12k22=y22y12(x1-a)2(x2+a)2=a2-x22a-x12(x1-a)2(x2+a)2=(x1-a)(x2-a)(x1+a)(x2+a)=x1x2-a(x1+x2)+a2x1x2+a(x1+x2)+a2=(m+b)2(m-b)2，从而可得，k1k2=-m+bm-b=-1-2bm-ba-ca+c，1)(1，a+ca-c，所以k1k2的取值范围为13，1)(1，319【详解详析】（1）首先，f（x），g（x）的定义域都
21、是R，是关于原点对称的，其次，f（x）axa（x）（axax）f（x），g(-x)=-x1+(-x)2=-x1+x2=-g(x)，函数f（x），g（x）均为奇函数；（2）当x0时，g（0）0；当x0时，g(x)=x1+x2=1x+1x，令t=x+1x(x0)，则由双勾函数的性质可知，t（，22，+），1t-12，0)(0，12，即此时g(x)-12，0)(0，12，综上，函数g（x）的值域为-12，12；（3）考虑到函数f（x），g（x）都是奇函数，故只需保证x0时都有|f（x）|g（x）|即可，这是因为当x0时，|f（x）|f（x）|，|g（x）|g（x）|，先考虑a1的情形，此时f（x）a
22、xax110，g（x）0，因此只需当x0时，f（x）g（x）0恒成立即可，令h(x)=ax-a-x-x1+x2，x0，则h(x)=(ax+a-x)lna+x2-1(1+x2)2，令(x)=x2-1(1+x2)2，x0，则(x)=2x(3-x2)(1+x2)3，当x0，3)时，（x）0，即（x）单增，故此时（x）min（0）1；当x3，+)时，(x)=x2-1(1+x2)20，故x0时，（x）气的最小值1，若ae，则h（x）（ax+ax）lna+（x）2lna10，h（x）单增，故h（x）h（0）0，符合题设；若1ae，则h(0)=-10，h(1)=(a+1a)lna0，且0x1时，h(x)=(
23、ax-a-x)ln2a+2x(3-x2)(1+x2)30，h（x）单增，故由零点存在性定理可知存在x0（0，1），使得h（x0）0，且x（0，x0）时h（x）0，h（x）单减，当x（x0，1）时h（x）0，h（x）单增，则h（x0）h（0）0，不符合题意，故ae，+)；再考虑0a1的情形，此时|f(x)|-|g(x)|=(1a)x-(1a)-x-x1+x2，此时的1a与中的a地位等价，同理可知1ae，即a(0，1e，综合可知，实数a的取值范围是(0，1ee，+)20【详解详析】（1）设数列bn的公比为q0，则b1q0n-1+b1q0n=2n（b1q00）对任意nN*成立，令n1，2可得：b1+
24、b1q0=2b1q0+b1q02=4，解得：b1=23q0=2，bn=232n-1=2n3，经检验符合题意；（2）由anbn+cn，可得a1qn-1=b1q1n-1+c1q2n-1，令n1，2，3得：a1=b1+c1(1)a1q=b1q1+c1q2(2)a1q2=b1q12+c1q22(3)（1）代入（2）得b1（q1q）c1（qq2），（2）代入（3）得b1q1（q1q）c1q2（qq2），如果q1，q2不全等于q，显然它们一定都不等于q，因此考虑q1q且q2q的情况，此时用后式除以前式可得q1q2，再将其代入到a1b1+c1，a1qb1q1+c1q2，可得q1q2q，矛盾，因此只能q1q2
25、q，经验证符合题意；令Tn=an+12-anan+2，则当n为偶数时，Tn=(b1q1n+c11q1n)2-(b1q1n-1-c11q1n-1)(b1q1n+1-c11q1n+1)=b1c1(q1+1q1)2，同理，当n为奇数时，可算的Tn=-b1c1(q1+1q1)2，所以对任意nN*，均有Tn+1Tn成立由Tn+1Tn可得an+22-an+1an+3=-an+12+anan+2，因为an0，因此可化简得an+2-anan+1=an+3-an+1an+2，所以an+2-anan+1=a3-a1a2=a3-12，要使原不等式恒成立，显然必有an0，即an+12anan+2+an+2-anan+
26、1恒成立，而T14a3，因此可得4-a3a3-12a3-4a3-12，解得3a37，综上所述，a3的取值范围为（3，7）选做题（在21、22、23三小题中选做2题，若多做按前两题计分，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内）选修4-2：矩阵与变换21【详解详析】设A1=abcd，由A1A=1001，可得：3a-ba3c-dc=1001，3ab1，a0，3cd0，c1解得a0，b1，c1，d3A1a=0-11332=-29选修4-4：坐标系与参数方程22【详解详析】（1）曲线C的参数方程为x=1-2t21+2t2y=22t1+2t2，x2+y2=1-4t2+4t41+4t2+4t4
27、+8t21+4t2+4t4=1，即曲线C的一般方程为 x2+y21（2）直线l的参数方程为x=1+2ay=3a，即 y=3（x-12），即 3x2y-3=0，圆心O到直线l的距离为d=|0-0-3|3+4=37，弦长为 2r2-d2=21-37=477选修4-5：不等式选讲23【详解详析】x，y0且xy4，yx2+4+xy2+4=yx2+xy+xy2+xy=yx(x+y)+xy(x+y)=1x-1x+y+1y-1x+y=1x+1y-2x+y 21xy-22xy=12，当且仅当xy2时等号成立，yx2+4+xy2+412必做题（第24、25题，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内
28、）24【详解详析】（1）如图所示，建立空间直角坐标系D（32，12，0），E（0，2，2），DE=（-32，32，2），平面ABC的法向量为m=（0，0，1）DE与平面ABC夹角的正弦值|cosm，DE|=|DEm|DE|m|=27=277（2）设平面A1DE的法向量为u=（x，y，z），由uDE=uA1E=0，可得-32x+32y+2z0，2y2z0，取u=（7，3，3）同理可得平面AA1D的法向量v=DC=（-32，32，0），cosu，v=-23553=-25555二面角AA1DE的余弦值为2555525【详解详析】（1）由OA1：yx与xy2联立可得x0或1，故A1（1，1），即S11
29、，由H1A2：yx1与xy2联立可得x=352，故A2（3+52，1+52），因此S2（1+52）2=3+52；（2）设A1，A2，An，的纵坐标为x1，x2，xn，可得Snxn2，且HnAn+1：yx（xn+xn1+x1），与xy2联立可得xn+1xn+12（xn+xn1+x1），即i=1n+1 xixn+12，将i=1n+1 xixn+12与i=1n xixn2相减可得xn+1xn+12xn2，进而解得xn+1=12+xn2+14，下面运用数学归纳法证明nSnn2当x1，2时，S11，S23+52，符合题意；当nk时，假设kxkk成立，一方面，xk+1-k+1=12+xk2+14-k+112+k+14-k+1=2(k+14+k+1)-34(k+14+k+1)0，即有k+1xk+1；另一方面，xk+1（k+1）=12+xk2+14-（k+1）xk2+14-（k+12）0，即有xk+1k+1可得nk+1时，k+1xk+1k+1因此nxnn，即nSnn216
