1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第11讲-四边形与图形的变换 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 熟练掌握平行四边形的性质与判定定理； 掌握中位线的性质与多变形的相关知识； 掌握特殊的平行四边形的相关性质与判定定理； 理解平移、旋转的性质，能找出对应的关系； 能熟练应用四边形的知识，解决综合类问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一） 平行四边形1、 平行四边形的性质与判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）性质：*平行四边形的对
2、边平行且相等； *平行四边形的对角相等，邻角互补；*平行四边形的对角线互相平分；*平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心（3）判定：*两组对边分别平行的四边形是平行四边形； *两组对边分别相等的四边形是平行四边形；*一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；*两组对角分别相等的四边形是平行四边形；*对角线互相平分的四边形是平行四边形（4）两条平行线间的距离：*定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离*性质：夹在两条平行线间的平行线段相等（5）*平行四边形的面积=底高； *同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等2、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做
3、三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.3、多边形的内角和与外角和（1）多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段（2）多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n2)个三角形（3）多边形的角：n边形的内角和是(n2)180，外角和是360.（二） 特殊的平行四边形四边形性 质判 定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相
4、等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形中心对称图形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称等腰梯形两底平行两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴
5、对称图形*中点四边形相关问题（1）中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形（2）若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定（三）图形的变换1、 轴对称、翻折：对应线段相等；对应点的连线被对称轴垂直且平分。2、平移（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移（2）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离（3）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图
6、形的位置.（4）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离3、旋转（1）定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如AOA),如果图形上的点A经过旋转变为点A，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.（2）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（3）旋转的性质*对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA）；*对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；*旋转前、后的图形的形状与大小不变.（4）旋转的作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点， 将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相
7、应的图形4、中心对称（1）中心对称图形：把一个图形绕着中心旋转180后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心；中心对称图形指的是一个图形；线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.（2）中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点（3）中心对称满足的条件：*有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；*位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180能够与另一个图形重合.（4）关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.
8、即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立. 考点一： 平行四边形例1、如图，平行四边形ABCD的周长是26cm，对角线AC与BD交于点O，ACAB，E是BC中点，AOD的周长比AOB的周长多3cm，则AE的长度为（）A3cm B4cm C5cm D8cm【解析】B例2、如图，在ABCD中，AB=12，AD=8，ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CGBE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）A B4 C2 D【解析】ABC的平分线交CD于点F，ABE=CBE，四边形ABCD是平行四边形，DCAB，CBE=CFB=ABE=E，CF=BC=AD=8，AE=AB=12，AD=8，D
9、E=4，DCAB，EB=6，CF=CB，CGBF，BG=BF=2，在RtBCG中，BC=8，BG=2，根据勾股定理得，CG=2，故选：C例3、如图，平行四边形ABCD中，BDAD，A=45，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O（1）求证：BO=DO；（2）若EFAB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长【解析】（1）OBEODF（AAS）BO=DO （2）解：EFAB，ABDC，GE=OE+OF+FG=3，AE=3考点二：三角形中位线与多变形的内角和、外角和例1、在ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、
10、FE，则四边形DBEF的周长是（）A5 B7 C9 D11【解析】B例2、若一个正n边形的每个内角为144，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A7 B10 C35 D70【解析】一个正n边形的每个内角为144，144n=180（n2），解得：n=10这个正n边形的所有对角线的条数是：=35故选C例3、如图，在四边形ABCD中，ABC=90，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN（1）求证：BM=MN；（2）BAD=60，AC平分BAD，AC=2，求BN的长【解析】（1）证明：在CAD中，M、N分别是AC、CD的中点，MNAD，MN=AD，在RTABC中，M是AC中点
11、，BM=AC，AC=AD，MN=BM（2）解：BAD=60，AC平分BAD，BAC=DAC=30，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，BMC=BAM+ABM=2BAM=60，MNAD，NMC=DAC=30，BMN=BMC+NMC=90，BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，BN=考点三： 特殊的平行四边形例1、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，则DH等于（）A B C5 D4【解析】A例2、如图，在矩形ABCD中，AD=6，AEBD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（）A2 B C2 D3【解析】设BE
12、=x，则DE=3x，四边形ABCD为矩形，且AEBD，ABEDAE，AE2=BEDE，即AE2=3x2，AE=x，在RtADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=，AE=3，DE=3，如图，设A点关于BD的对称点为A，连接AD，PA，则AA=2AE=6=AD，AD=AD=6，AAD是等边三角形，PA=PA，当A、P、Q三点在一条线上时，AP+PQ最小，又垂线段最短可知当PQAD时，AP+PQ最小，AP+PQ=AP+PQ=AQ=DE=3，故选D例3、如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EFAD，与AC、DC分别交于点G，F，
13、H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH下列结论：EG=DF；AEH+ADH=180；EHFDHC；若=，则3SEDH=13SDHC，其中结论正确的有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】正确；EHFDHC（SAS），HEF=HDC，AEH+ADH=AEF+HEF+ADFHDC=AEF+ADF=180，故正确；CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，FH=CH，GFH=GFC=45=HCD，EHFDHC（SAS），故正确；=，AE=2BE，CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，FH=GH，FHG=90，EGH=FHG+HFG=90+HFG=HFD，在EGH和DFH中，EGHDFH（SA
14、S），EHG=DHF，EH=DH，DHE=EHG+DHG=DHF+DHG=FHG=90，EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则SDHC=HMCD=3x2，SEDH=DH2=13x2，3SEDH=13SDHC，故正确；故选：D考点四： 图形的变换例1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A3 B4 C5 D6【解析】B例2、如图，将ABE向右平移2cm得到DCF，如果ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（）A16cm
15、 B18cm C20cm D21cm【解析】ABE向右平移2cm得到DCF，EF=AD=2cm，AE=DF，ABE的周长为16cm，AB+BE+AE=16cm，四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BE+AE+EF+AD=16cm+2cm+2cm=20cm故选C例3、如图，将等腰ABC绕顶点B逆时针方向旋转度到A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F（1）求证：BCFBA1D（2）当C=度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由【解析】（1）证明：ABC是等腰三角形，AB=BC，A=C，将等腰ABC绕顶点B逆时针方向旋转度到A1BC
16、1的位置，A1B=AB=BC，A=A1=C，A1BD=CBC1，在BCF与BA1D中，BCFBA1D；（2）解：四边形A1BCE是菱形，将等腰ABC绕顶点B逆时针方向旋转度到A1BC1的位置，A1=A，ADE=A1DB，AED=A1BD=，DEC=180，C=，A1=，ABC=360A1CA1EC=180，A1=C，A1BC=AEC，四边形A1BCE是平行四边形，A1B=BC，四边形A1BCE是菱形P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列说法正确的是（）A对角线互相垂直的四边形是菱形 B矩形的对角线互相垂直C一组对边平行的四边形是平行四边形 D四边相等的四边形
17、是菱形【解析】D2、如图，在ABCD中，BF平分ABC，交AD于点F，CE平分BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A8 B10 C12 D14【解析】B3、如图，在ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AFBC，垂足为点F，ADE=30，DF=4，则BF的长为（）A4 B8 C2 D4【解析】在RTABF中，AFB=90，AD=DB，DF=4，AB=2DF=8，AD=DB，AE=EC，DEBC，ADE=ABF=30，AF=AB=4，BF=4故选D4、如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24，照这样走下去，他第一次回到出发地
18、A点时，一共走的路程是（）A140米 B150米 C160米 D240米【解析】多边形的外角和为360，而每一个外角为24，多边形的边数为36024=15，小华一共走了：1510=150米故选B5、如图，在边长为6的菱形ABCD中，DAB=60，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（）A189 B183 C9 D183【解析】四边形ABCD是菱形，DAB=60，AD=AB=6，ADC=18060=120，DF是菱形的高，DFAB，DF=ADsin60=6=3，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积扇形DEFG的面积=63=189故选：A6、如
19、图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A BC D【解析】连接BF，BC=6，点E为BC的中点，BE=3，又AB=4，AE=5，BH=，则BF=，FE=BE=EC，BFC=90，CF=故选：D7、如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO若COB=60，FO=FC，则下列结论：FB垂直平分OC；EOBCMB；DE=EF；SAOE：SBCM=2：3其中正确结论的个数是（）A4个 B3个 C2个 D1个【解析】错误；故选B8、已知：如图
20、，在ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O（1）求证：ABECDF；（2）连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，BAE=DCF，在ABE和CDF中，ABECDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，AE=CF，DE=BF，四边形BEDF是平行四边形，OB=OD，DG=BG，EFBD，四边形BEDF是菱形 课后反击1、关于ABCD的叙述，正确的是（）A若ABB
21、C，则ABCD是菱形 B若ACBD，则ABCD是正方形C若AC=BD，则ABCD是矩形 D若AB=AD，则ABCD是正方形【解析】C2、一个正多边形的内角和为540，则这个正多边形的每一个外角等于（）A108 B90 C72 D60【解析】C3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CEBD，DEAC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A4 B8 C10 D12【解析】B4、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A（0，0）B（1，） C（，） D（，）【解析】
22、如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BKOA于K四边形OABC是菱形，ACOB，GC=AG，OG=BG=2，A、C关于直线OB对称，PC+PD=PA+PD=DA，此时PC+PD最短，在RTAOG中，AG=，AC=2，OABK=ACOB，BK=4，AK=3，点B坐标（8，4），直线OB解析式为y=x，直线AD解析式为y=x+1，由解得，点P坐标（，）故选D5、如图，在三角形ABC中，ACB=90，B=50，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形ABC，若点B恰好落在线段AB上，AC、AB交于点O，则COA的度数是（）A50 B60C70 D80【解析】在三角形ABC中，ACB=90，
23、B=50，A=180ACBB=40由旋转的性质可知：BC=BC，B=BBC=50又BBC=A+ACB=40+ACB，ACB=10，COA=AOB=OBC+ACB=B+ACB=60故选B6、如图，RtABC中，C=90，ABC=30，AC=2，ABC绕点C顺时针旋转得A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）A B2 C3 D2【解析】ACB=90，ABC=30，AC=2，A=90ABC=60，AB=4，BC=2，CA=CA1，ACA1是等边三角形，AA1=AC=BA1=2，BCB1=ACA1=60，CB=CB1，BCB1是等边三角形，BB1
24、=2，BA1=2，A1BB1=90，BD=DB1=，A1D=故选A7、在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A（）2014 B（）2015C（）2015 D（）2014【解析】如图所示：正方形A1B1C1D1的边长为1，B1C1O=60，B1C1B2C2B3C3D1E1=B2E2，D2E3
25、=B3E4，D1C1E1=C2B2E2=C3B3E4=30，D1E1=C1D1sin30=，则B2C2=（）1，同理可得：B3C3=（）2，故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n1则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014故选：D8、如图，在菱形ABCD中，A=60，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG有下列结论：BGD=120；BG+DG=CG；BDFCGB；SABD=AB2其中正确的结论有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】正确，共3个故选C9、如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA
26、=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC=120时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由【解析】（1）证明： ABPCBP（SAS），PA=PC，PA=PE，PC=PE；（2）由（1）知，ABPCBP，BAP=BCP，DAP=DCP，PA=PE，DAP=E，DCP=E，CFP=EFD（对顶角相等），180PFCPCF=180DFEE，即CPF=EDF=90；（3）在菱形ABCD中，AB=BC，ABP=CBP=60，ABPCBP（SAS），PA=PC，BAP=BCP，PA=PE，
27、PC=PE，DAP=DCP，PA=PC，DAP=AEP，DCP=AEPCFP=EFD（对顶角相等），180PFCPCF=180DFEAEP，即CPF=EDF=180ADC=180120=60，EPC是等边三角形，PC=CE，AP=CE直击中考1、【2016广安】下列说法：三角形的三条高一定都在三角形内； 有一个角是直角的四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 两边及一角对应相等的两个三角形全等；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】A2、【2016宁波】如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无
28、缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A4S1 B4S2 C4S2+S3 D3S1+4S3【解析】：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=（a+c）（ac）=a2c2，S2=S1S3，S3=2S12S2，平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S12S2=4S1故选A3、【2016台湾】如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点若图中1、2、3、4的外角的角度和为220，则BOD的度数为何？（）A40 B45 C50 D60【解析
29、】A4、【2016新疆】如图所示，将一个含30角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（）A60 B90 C120 D150【解析】D5、【2016深圳】如图，CB=CA，ACB=90，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGCA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：AC=FG；SFAB：S四边形CBFG=1：2；ABC=ABF；AD2=FQAC，其中正确的结论的个数是（）A1 B2 C3 D4【解析】D6、【2014梅州】如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且D
30、F=BE（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且GCE=45，则GE=BE+GD成立吗？为什么？【解析】（1）证明： CBECDF（SAS）CE=CF（2）解：GE=BE+GD成立理由是：由（1）得：CBECDF，BCE=DCF，BCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90，又GCE=45，GCF=GCE=45ECGFCG（SAS）GE=GFGE=DF+GD=BE+GDS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 *平行四边形、特殊的平行四边形的性质与判定； *图形的翻折、平移与旋转名师点拨 该部分是历年中考的重难点，需要理解并熟记相关性质定理并能熟练应用，注意多加练习与总结。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15
