1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第01讲-特殊的平行四边形 授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质与判定； 熟练掌握特殊的平行四边形之间的区别和联系； 综合利用不同特殊平行边形的性质与判定进行证明或解决相关问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理 二、 知识概念（一）菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质： 菱形具有平行四边形的一切性质； 菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组
2、对角； 菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线 3、菱形的面积计算利用平行四边形的面积公式 菱形面积=ab（a、b是两条对角线的长度）4、菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”） （二）矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 2、矩形的性质： l 平行四边形的性质矩形都具有； 角：矩形的四个角都是直角； l 边：邻边垂直； 对角线：矩形的对角线相等； l 矩形是轴对称图形，又是中心对称图形 3、由矩形的性质，可以得到直角三角形的一
3、个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）说明：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形（三）正方形1、定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2、正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、
4、菱形的一切性质 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴3、正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定考点一： 菱形的性质与判定例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A对边相等 B对角相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直【解析】D例2、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DHAB于H，则DH等于（）A B C5 D4【解析】A例3、如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作BAD的平分线交BC于点E（尺规作图
5、的痕迹保留在图中了），连接EF（1）求证：四边形ABEF为菱形；（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长【解析】（1）证明：由尺规作BAF的角平分线的过程可得AB=AF，BAE=FAE，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，FAE=AEB，BAE=AEB，AB=BE，BE=FA，四边形ABEF为平行四边形，AB=AF，四边形ABEF为菱形；（2）解：四边形ABEF为菱形，AEBF，BO=FB=3，AE=2AO，在RtAOB中，AO=4，AE=2AO=8考点二： 矩形的性质与判定例1、矩形具有而菱形不具有的性质是（）A对角线相等 B两组对边分别平行C对角线互相平分 D两组对角
6、分别相等【解析】A例2、矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分DMB，则DM的长是（）A BC D【解析】四边形ABCD是矩形，CD=AB=2，ABCD， BC=AD=1，C=90，BAM=AMD，AM平分DMB，AMD=AMB，BAM=AMB，BM=AB=2，CM=，DM=CDCM=2；故选：D例3、如图，在ABCD中，ABD的平分线BE交AD于点E，CDB的平分线DF交BC于点F（1）求证：ABECDF；（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形【解析】证明：（1）ABD的平分线BE交AD于点E，ABE=ABD，CDB的平分线DF交BC于点F，CDF=CDB，在
7、平行四边形ABCD中，ABCD，ABD=CDB，CDF=ABE，四边形ABCD是平行四边形，CD=AB，A=C，即，ABECDF（ASA）；（2）ABECDF，AE=CF，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，DEBF，DE=BF，四边形DFBE是平行四边形，AB=DB，BE平分ABD，BEAD，即DEB=90平行四边形DFBE是矩形考点三：正方形的性质与判定例1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角相等【解析】B例2、如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两
8、正方形的边长均为2，则两正方形重合部分（阴影部分）的面积为（）A4+4 B4+4C84 D+1【解析】四边形ABCD是正方形，D=90，ACD=45，AD=CD=2，则SACD=ADCD=22=2；AC=AD=2，则EC=22，MEC是等腰直角三角形，SMEC=MEEC=（22）2=64，阴影部分的面积=SACDSMEC=2（64）=44故选：A例3、已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF=BP=CQ=DE求证：（1）EF=FP=PQ=QE；（2）四边形EFPQ是正方形【解析】证明：（1）四边形ABCD是正方形，A=B=C=D=90，AB=BC=CD=AD，A
9、F=BP=CQ=DE，DF=CE=BQ=AP，在APF和DFE和CEQ和BQP中，APFDFECEQBQP（SAS），EF=FP=PQ=QE；（2）EF=FP=PQ=QE，四边形EFPQ是菱形，APFBQP，AFP=BPQ，AFP+APF=90，APF+BPQ=90，FPQ=90，四边形EFPQ是正方形考点四： 线段和最短问题例1、 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A（3，1） B（3，） C（3，） D（3，2）【解析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时C
10、DE的周长最小D（，0），A（3，0），H（，0），直线CH解析式为y=x+4，x=3时，y=，点E坐标（3，）故选：B例2、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（）A（0，0） B（1，） C（，） D（，）【解析】如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BKOA于K四边形OABC是菱形，ACOB，GC=AG，OG=BG=2，A、C关于直线OB对称，PC+PD=PA+PD=DA，此时PC+PD最短，在RTAOG中，AG=，AC=2，OABK=ACOB，BK=4，AK=3，点B
11、坐标（8，4），直线OB解析式为y=x，直线AD解析式为y=x+1，由解得，点P坐标（，）故选D考点五：折叠问题例1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A3 B4 C5 D6【解析】设CH=x，则DH=EH=9x，BE：EC=2：1，BC=9，CE=BC=3，在RtECH中，EH2=EC2+CH2，即（9x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4故选（B）例2、如图，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E（1）求证：BEADEF；（2）若AB=2，AD=4，求AE的长【解析】
12、（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB=CD，A=C=90，把矩形ABCD沿对角线BD折叠使点C落在F处，BF交AD于点E，DF=CD，F=C=90，AB=FD，A=F，在BEA和DEF中BEADEF（AAS）；（2）解：BEADEF，BE=DE=ADAE=4AE，在RtBAE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，22+AE2=（4AE）2，解得：AE=P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列性质中，菱形对角线不具有的是（）A对角线互相垂直 B对角线所在直线是对称轴C对角线相等 D对角线互相平分【解析】C2、菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F
13、分别是AD，CD边上的中点，连接EF若EF=，BD=2，则菱形ABCD的面积为（）A2 B C6 D8【解析】A3、菱形ABCD中，已知AC=6，BD=8，则此菱形的周长为（）A5 B10 C20 D40【解析】C4、如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若B=70，则EDC的大小为（）A10 B15 C20 D30【解析】根据菱形的对角相等得ADC=B=70AD=AB=AE，AED=ADE根据折叠得AEB=B=70ADBC，DAE=AEB=70，ADE=AED=（180DAE）2=55EDC=7055=15故选B5、如图所示，矩形ABCD中，AE平分BAD交BC于E，CA
14、E=15，则下面的结论：ODC是等边三角形；BC=2AB；AOE=135；SAOE=SCOE，其中正确结论有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】错误，故选C6、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），过点E作EMOB于M，ENOC于N，则EM+EN的值为（）A6 B1.5 C D【解析】连接OE，OBE的面积+OCE的面积=OBC的面积，OBEM+OCEN=BCAB，（EM+EN）=23，得：EM+EN=；故选D7、如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则PA+PE的最小值是
15、（）A B C D【解析】连接AC，EC，EC与BD交于点P，此时PA+PE的最小，正方形ABCD中，AB=BC=1，E为AB中点，BE=，EC=，故选A8、如图，已知点E，F分别是ABCD的边BC，AD上的中点，且BAC=90（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若B=30，BC=10，求菱形AECF面积【解析】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，在RtABC中，BAC=90，点E是BC边的中点，AE=BC=CE，同理，AF=AD=CF，AE=CE=AF=CF，四边形AECF是菱形；（2）解：连接EF交AC于点O，如图所示：在RtABC中，BAC=90，B=30，BC=10
16、，AC=BC=5，AB=AC=5，四边形AECF是菱形，ACEF，OA=OC，OE是ABC的中位线，OE=AB=，EF=5，菱形AECF的面积=ACEF=55=9、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在DG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，求CH的长【解析】正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，AB=BC=1，CE=EF=3，E=90，延长AD交EF于M，连接AC、CF，则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EFAB=31=2，AMF=90，四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，ACD=GCF=45，ACF=90，H为AF的中点，CH=AF，在Rt
17、AMF中，由勾股定理得：AF=2，CH=AF= 课后反击1、在平面中，下列命题为真命题的是（）A四边相等的四边形是正方形 B对角线相等的四边形是菱形C四个角相等的四边形是矩形 D对角线互相垂直的四边形是平行四边形【解析】C2、已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，则此菱形的面积为（）A48cm2 B24cm2 C18cm2 D12cm2【解析】B3、如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（）A4.5 B5 C6 D9【解析】四边形ABCD为菱形，且周长为36，AB=BC=CD=AD=9，又O为BD中
18、点，H为AD的中点，OH为ABD的中位线，OH=AB=4.5，故选A4、如图，菱形的边长为2，ABC=45，则点A的坐标为（）A（2，2） B（，2）C（2，） D（，）【解析】D5、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A B C D【解析】：连接BF，BC=6，点E为BC的中点，BE=3，又AB=4，AE=5，BH=，则BF=，FE=BE=EC，BFC=90，CF=故选：D6、如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1
19、 O1的对角线交BD于点O2，同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2，依此类推，则平行四边形ABC2016O2016的面积为（）A B C D【解析】=S矩形ABCD，=，=S矩形ABCD=，同理可得：平行四边形ABO2C2的面积=，平行四边形ABO3C3的面积=，平行四边形ABC2016O2016的面积=故选B7、如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，AEF=45，求矩形ABCD的面积【解析】（1）证明：四边形ABCD是矩形，A=ABC=C=ADC=90，AB=C
20、D，AD=BC，ABCD，ADBC，E=F，BE=DF，AE=CF，在CFP和AEQ中，CFPAEQ（ASA），CP=AQ；（2）解：ADBC，PBE=A=90，AEF=45，BEP、AEQ是等腰直角三角形，BE=BP=1，AQ=AE，PE=BP=，EQ=PE+PQ=+2=3，AQ=AE=3，AB=AEBE=2，CP=AQ，AD=BC，DQ=BP=1，AD=AQ+DQ=3+1=4，矩形ABCD的面积=ABAD=24=8直击中考1、【2016广安】下列说法：三角形的三条高一定都在三角形内；有一个角是直角的四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；两边及一角对应相等的两个三角形全等；一组对边
21、平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；其中正确的个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】正确的只有，故选A2、【2016广东】如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A B2 C+1 D2+1【解析】正方形ABCD的面积为1，BC=CD=1，BCD=90，E、F分别是BC、CD的中点，CE=BC=，CF=CD=，CE=CF，CEF是等腰直角三角形，EF=CE=，正方形EFGH的周长=4EF=4=2；故选：B3、【2016遵义】如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（）A
22、AB=AD BACBDCAC=BD DBAC=DAC【解析】C4、【2009深圳】如图，在矩形ABCD中，DEAC于E，EDC：EDA=1：3，且AC=10，则DE的长度是（）A3 B5 C D【解析】D5、【2006淮安】如图，正方形ABCD的边长为2，点E在AB边上四边形EFGB也为正方形，设AFC的面积为S，则（）AS=2 BS=2.4 CS=4 DS与BE长度有关【解析】连接FB四边形EFGB为正方形；FBA=BAC=45，FBAC；ABC与AFC是同底等高的三角形2SABC=S正ABCD，S正ABCD=22=4；S=2；故选A6、【2016贺州】如图，AC是矩形ABCD的对角线，过A
23、C的中点O作EFAC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，DCF=30，求四边形AECF的面积（结果保留根号）【解析】（1）证明：O是AC的中点，且EFAC，AF=CF，AE=CE，OA=OC，四边形ABCD是矩形，ADBC，AFO=CEO，在AOF和COE中，AOFCOE（AAS），AF=CE，AF=CF=CE=AE，四边形AECF是菱形；（2）解：四边形ABCD是矩形，CD=AB=，在RtCDF中，DCF=30，CF=2，四边形AECF是菱形，CE=CF=2，四边形AECF是的面积为：ECAB=2S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、菱形、矩形、正方形的性质与判定； 2、最短问题与翻折问题的解决。名师点拨 本单元内容较多，准确理解性质及判定定理多加练习是解决本单元问题的关键，同时注意总结最短问题及翻折问题的解题思路。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是14
