1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下）课 时 数：3学员姓名：辅导科目：数 学学科教师：授课主题第07讲-反比例函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 理解反比例函数的定义，熟练利用待定系数法求解表达式； 熟练掌握反比例函数的图像与性质； 掌握反比例函数与一次函数的相关应用，学会利用函数图像解决问题； 掌握系数K的几何意义并解决问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建一、 知识梳理二、 知识概念（一）反比例与反比例函数 1、成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。 2、反比例函数 （1）定义 （2）反比例
2、函数解析式的特征 等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1. 比例系数 自变量的取值为一切非零实数。 函数的取值是一切非零实数。 （3）待定系数法 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）。 （二）反比例函数的图像与性质1、图像的画法：描点法（列表、描点、连线）2、图像特征：（1）反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（2）反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或），也是中心对称图形
3、。（3）系数的几何意义：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。（三）反比例函数与直线相交问题1、解决直线与双曲线的交点问题时，就是将反比例函数与直线联立组成方程组求得方程组的解即为交点坐标；2、判断直线与双曲线有无公共点，可用=b2-4ac来确定；3、交点个数可以通过的正负判断：1）0，有两个交点； 2）=0，只有一个交点； 3）0，没有交点。（四）用反比例函数图解不等式 1、比较反比例函数的大小 1）利用反比例函数的增减性可以比较反比例函数值的大小，也可以利用反比例函数的图形比较大小； 2）根据反比例函数的增减性可以确定反比例函数系数的符号。 2、利用函数图像解不等式 模型建立：
4、如图，一次函数y=kx+b的图像与反比函数y=的图像相交于M,N两点。1） 利用图中图像求反比例和一次函数的解析式；2） 根据图像写出关于的方程y=kx+b=的解；3） 根据图像写出关于x的不等式：kx+b的解集。3、求线段的最值1）给出x与y的取值范围，求线段最短或最长距离转换成求两点之间的距离，并结合反比例图像的对称性质计算；2）求反比例函数外的点到反比例函数上点通过对称性质，转换到同一线段求解。4、系数“K”的几何意义：求图形的面积或已知面积求K值1）反比例函数上的任意一个点的面积(向x轴、y轴作垂线形成的矩形，或者与原点形成的三角形面积分别为k、；2）技巧：求解析式或面积都必须转换成反
5、比例函数上的点计算。考点一： 反比例函数的定义与表达式例1、下列函数：xy=1，y=，y=，y=，y=2x2中，是y关于x的反比例函数的有（）个A1个 B2个 C3个 D4个【解析】A例2、函数是反比例函数，则m的值是（）Am=1 Bm=1 Cm= Dm=1【解析】D考点二： 反比例函数的图像及性质例1、对于反比例函数y=图象对称性的叙述错误的是（）A关于原点对称 B关于直线y=x对称C关于直线y=x对称 D关于x轴对称【解析】D例2、如图，在同一直角坐标系中，函数y=与y=kx+k2的大致图象是（）A B C D【解析】当k0时，直线经过一二三象限，双曲线分布在一三象限，与各选项不符；当k0
6、时，直线经过一二四象限，双曲线分布在二四象限，与C选项符合，故选C例3、已知反比例函数的图象经过点（2，4），当x2时，所对应的函数值y的取值范围是（）A2y0 B3y1 C4y0 D0y1【解析】C考点三： 系数K的几何意义例1、如图，两个反比例函数y1=（其中k10）和y2=在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EFx轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）A1 B2 C21 D2914【解析】B、C反比例函数y2=的图象上，SODB=SOAC=3=，P在反比例函数y1=的图象上， S矩形PDOC=k1
7、=6+=9，图象C1的函数关系式为y=，E点在图象C1上，SEOF=9=，=3，ACx轴，EFx轴，ACEF，EOFAOC，=，故选：A例2、如图，P，Q分别是双曲线y=在第一、三象限上的点，PAx轴，QBy轴，垂足分别为A，B，点C是PQ与x轴的交点设PAB的面积为S1，QAB的面积为S2，QAC的面积为S3，则有（）AS1=S2S3 BS1=S3S2 CS2=S3S1 DS1=S2=S3【解析】延长QB与PA的延长线交于点D，如右图所示，设点P的坐标为（a，b），点Q的坐标为（c，d），DB=a，DQ=ac，DA=d，DP=bd，DBDP=a（bd）=abad=kad，DADQ=d（ac）
8、=ad+cd=ad+k=kad，DBDP=DADQ，即，ADB=PDQ，DBADQP，ABPQ，点B到PQ的距离等于点A到PQ的距离，PAB的面积等于QAB的面积，ABQC，ACBQ，四边形ABQC是平行四边形，AC=BQ，QAB的面积等于QAC，S1=S2=S3，故选D考点四： 反比例函数与一次函数例1、如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=的图象交与A（1，M），B（n，1）两点，过点A作ACx轴于点C，过点B作BDx轴于点D，连接AO，BO得出以下结论：点A和点B关于直线y=x对称； 当x1时，y2y1；SAOC=SBOD； 当x0时，y1，y2都随x的增大而增大其中正确的是
9、（）A B C D【解析】把A（1，M），B（n，1）两点代入y1=x+1得m=2，n=2，则A点坐标为（1，2），B（2，1），所以点A和点B关于直线y=x对称，所以正确；当x2或0x1时，y2y1，所以错误；SAOC=SBOD，所以正确；当x0时，y1都随x的增大而增大；y2都随x的增大而减小，所以错误故选C例2、如图，反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象交于点A（2，2）、B（，n）（1）求这两个函数解析式；（2）将一次函数y=ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点，求m的值【解析】（1）A（2，2）在反比例函数的图象上，k=4反比例
10、函数的解析式为又点B（，n）在反比例函数的图象上，解得：n=8，即点B的坐标为（，8）由A（2，2）、B（，8）在一次函数y=ax+b的图象上，得：，解得：，一次函数的解析式为y=4x+10（2）将直线y=4x+10向下平移m个单位得直线的解析式为y=4x+10m，直线y=4x+10m与双曲线有且只有一个交点，令，得4x2+（m10）x+4=0，=（m10）264=0，解得：m=2或m=18P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（）A匀速行驶过程中，行驶路程与时间的关系 B体积一定时，物体的质量与密度的关系C质量一定时，物体
11、的体积与密度的关系 D长方形的长一定时，它的周长与宽的关系【解析】C2、函数y=（m2m）是反比例函数，则（）Am0 Bm0且m1 Cm=2 Dm=1或2【解析】C3、当k0时，反比例函数y=和一次函数y=kx+2的图象大致是（）A B C D【解析】C4、点P（x，y）满足则经过P的反比例函数y=的图象经过（）A第一、二象限 B第三、四象限 C第一、三象限 D第二、四象限【解析】C5、在反比例函数的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（）A1 B1 C2 D3【解析】A6、若点A（5，y1），B（3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系
12、是（）Ay1y3y2 By1y2y3 Cy3y2y1 Dy2y1y3【解析】D7、如图，点A、C为反比例函数y=图象上的点，过点A、C分别作ABx轴，CDx轴，垂足分别为B、D，连接OA、AC、OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当AEC的面积为时，k的值为（）A4 B6 C4 D6【解析】C8、如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x0）的图象上，当m1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、DQD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A减小 B增大 C先减小后增大 D先增大后减小【解
13、析】AC=m1，CQ=n，则S四边形ACQE=ACCQ=（m1）n=mnnP（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x0）的图象上，mn=k=4（常数）S四边形ACQE=ACCQ=4n，当m1时，n随m的增大而减小，S四边形ACQE=4n随m的增大而增大故选B9、如图，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，直角边AB垂直x轴，垂足为Q，已知ACB=60，点A，C，P均在反比例函数y=的图象上，分别作PFx轴于F，ADy轴于D，延长DA，FP交于点E，且点P为EF的中点（1）求点B的坐标；（2）求四边形AOPE的面积【解析】（1）ACB=60，AOQ=60，=，设点A（a，b），则，解得：或（不合题
14、意，舍去）点A的坐标是（2，2），点C的坐标是（2，2），点B的坐标是（2，2），（2）点A的坐标是（2，2），AQ=2，EF=AQ=2，点P为EF的中点，PF=，设点P的坐标是（m，n），则n=点P在反比例函数y=的图象上，=，SOPF=|4|=2，m=4，OF=4，S长方形DEFO=OFOD=42=8，点A在反比例函数y=的图象上，SAOD=|4|=2，S四边形AOPE=S长方形DEFOSAODSOPF=822=410、已知反比例函数和一次函数y=2x1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标
15、：（3）根据函数图象，求不等式2x1的解集；（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由【解析】（1）一次函数的图象经过（a，b），（a+k，b+k+2）两点，b=2a1，2a+2k1=b+k+2， 整理得：b=2a1+k2，由得：2a1=2a1+k2， k2=0， k=2，反比例函数的解析式为：y=；（2）解方程组，解得：，A（1，1），B（，2）；（3）根据函数图象，可得出不等式2x1的解集；即0x1或x；（4）当AP1x轴，AP1=OP1，P1（1，0），当AO=OP2，P2（，0），当AO=AP3，P3（2
16、，0），当AO=P4O，P4（，0）存在P点P1（1，0），P2（，0），P3（2，0），P4（，0） 课后反击1、下列函数中，y是x的反比例函数有（）（1）y=3x；（2）y=；（3）；（4）xy=3；（5）；（6）y=2x2；（7）A（2）（4） B（2）（3）（5） C（2）（7） D（1）（3）（4）（6）【解析】A2、已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A3 B3 C3 D【解析】B3、函数y=axa与y=（a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A B C D【解析】D4、如图，直线l和双曲线（k0）交于A、B两点，P是线段AB上的点（不与A、
17、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别是C、D、E，连接OA、OB、OP，设AOC面积是S1，BOD面积是S2，POE面积是S3，则（）AS1S2S3 BS1S2S3CS1=S2S3 DS1=S2S3【解析】点A在y=上，SAOC=k，点P在双曲线的上方，SPOEk，点B在y=上，SBOD=k，S1=S2S3故选D5、如图，平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一个定点，点P是函数（x0）上一个动点，PBy轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A逐渐增大 B先减后增 C逐渐减小 D先增后减【解析】设点P的坐标为（x，），PBy轴于点B，点A是x轴正半轴上的一
18、个定点，四边形OAPB是个直角梯形，四边形OAPB的面积=（PB+AO）BO=（x+AO）=2，AO是定值，四边形OAPB的面积是个增函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐增大故选A6、若点A（5，y1），B（3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y3y2 By1y2y3 Cy3y2y1 Dy2y1y3【解析】D7、如图，已知矩形OABC面积为，它的对角线OB与双曲线相交于D且OB：OD=5：3，则k=（）A6 B12 C24 D36【解析】由题意，设点D的坐标为（xD，yD），则点B的坐标为（xD，yD），矩形OABC的面
19、积=|xDyD|=，图象在第一象限，k=xDyD=12故选B8、反比例函数y=（a0，a为常数）和y=在第一象限内的图象如图所示，点M在y=的图象上，MCx轴于点C，交y=的图象于点A；MDy轴于点D，交y=的图象于点B，当点M在y=的图象上运动时，以下结论：SODB=SOCA； 四边形OAMB的面积不变；当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点其中正确结论的个数是（）A0 B1 C2 D3【解析】由于A、B在同一反比例函数y=图象上，则ODB与OCA的面积相等，都为2=1，正确；由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；连接OM，点A是MC
20、的中点，则OAM和OAC的面积相等，ODM的面积=OCM的面积=，ODB与OCA的面积相等，OBM与OAM的面积相等，OBD和OBM面积相等，点B一定是MD的中点正确；故选：D9、如图，已知矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点B的坐标是（6，4），反比例函数y=（x0）的图象经过矩形对角线的交点E，且与BC边交于点D（1）求反比例函数的解析式与点D的坐标；直接写出ODE的面积；（2）若P是OA上的动点，求使得“PD+PE之和最小”时的直线PE的解析式【解析】（1）连接OB，则O、E、B三点共线B的坐标是（6，4），E是矩形对角线的交点，E的坐标是（3，2），k=32=
21、6，则函数的解析式是y=当y=4时，x=1.5，即D的坐标是（1.5，4）；SOBC=BCOC=64=12，SOCD=OCCD=41.5=3，SBDE=（61.5）2=4.5，则SODE=SOBCSOCDSBDE=12334.5=4.5；（2）作E关于OA轴的对称点E，则E的坐标是（3，2）连接ED，与x轴交点是P，此时PO+PE最小设y=mx+n，把E和D的坐标代入得：，解得：，则 直线PE的解析式是y=4x+10直击中考1、【2009深圳】如图，反比例函数y=的图象与直线y=x的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC的面积为（ ）A8 B6 C4 D2
22、【解析】A2、【2011鞍山】在同一个直角坐标系中，函数y=kx和的图象的大致位置是（ ）A BCD【解析】B3、【2016菏泽】如图，OAC和BAD都是等腰直角三角形，ACO=ADB=90，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，则OAC与BAD的面积之差SOACSBAD为（）A36 B12 C6 D3【解析】设OAC和BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为（a+b，ab）点B在反比例函数y=的第一象限图象上，（a+b）（ab）=a2b2=6SOACSBAD=a2b2=（a2b2）=6=3故选D4、【2016深圳】如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴
23、上，将ABCO绕点A逆时针旋转得到ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y=（x0）的图象上，则k的值为 【解析】过点D作DMx轴于点M，由题意可得：BAO=OAF，AO=AF，ABOC，则BAO=AOF=AFO=OAF，故AOF=60=DOM，OD=ADOA=ABOA=62=4，MO=2，MD=2，D（2，2），k=2（2）=4故答案为：45、【2015深圳】如图，已知点A在反比例函数y=（x0）上，作RtABC，点D为斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E若BCE的面积为8，则k= 【解析】BCE的面积为8，BCOE=16，点D为斜边AC的中点，BD=DC
24、，DBC=DCB=EBO，又EOB=ABC，EOBABC，ABOB=BCOEk=ABBO=BCOE=16故答案为：166、【2014深圳】）如图，双曲线y=经过RtBOC斜边上的点A，且满足=，与BC交于点D，SBOD=21，求k= 【解析】过A作AEx轴于点ESOAE=SOCD，S四边形AECB=SBOD=21，AEBC，OAEOBC，=（）2=，SOAE=4，则k=8故答案是：87、【2016兰州】如图，在平面直角坐标系中，OAOB，ABx轴于点C，点A（，1）在反比例函数y=的图象上（1）求反比例函数y=的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得SAOP=SAOB，求点P的坐标；（
25、3）若将BOA绕点B按逆时针方向旋转60得到BDE直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由【解析】（1）k=1=，反比例函数的表达式为y=；（2）A（，1），ABx轴于点C，OC=，AC=1，由射影定理得OC2=ACBC，可得BC=3，B（，3），SAOB=4=2SAOP=SAOB=设点P的坐标为（m，0），|m|1=，|m|=2，P是x轴的负半轴上的点，m=2，P（2，0）；（3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下：OAOB，OA=2，OB=2，AB=4，=，ABO=30，将BOA绕点B按逆时针方向旋转60得到BDE，BOABDE，OBD=60，BO=BD=2，OA=DE=2，BOA=BDE=90，ABD=30+60=90，而BDOC=，BCDE=1，E（，1），（1）=，点E在该反比例函数的图象上S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾反比例函数的定义与表达式、图像与性质；系数K的几何意义；反比例函数与一次函数；综合应用。名师点拨 掌握好反比例函数的定义与图像性质是解决本节问题的前提；另外系数K的几何意义、反比例函数与一次函数结合是考试重点，务必多加练习总结规律。学霸经验 本节课我学到 我需要努力的地方是15
