1、 学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：九年级（下） 课 时 数：3学员姓名：辅导科目：学科教师：授课主题第04讲-二次函数的图像及性质授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标 掌握二次函数表达式系数与的图像的关系； 能熟练画出二次函数图像； 掌握二次函数的图像的性质； 利用二次函数图像及性质解决相关问题。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂体系搭建 一、 知识框架二、知识概念1、二次函数基本形式：的图像与性质： 注：a 的绝对值越大，开口就越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0向下轴时，随的增大而减小；时，随
2、的增大而增大；时，有最大值0 2、二次函数+c的图像与性质 注：上加下减的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3、二次函数y=a（x-h）2+k的图像与性质 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值 4、二次函数图象的平移规律 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 总结：在原有函数的基础上“值正
3、右移，负左移；值正上移，负下移” 方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）总结：概括成八个字“左加右减，上加下减”5、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中6、二次函数图象的画法五点绘图法：一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.7、二次函数的性质 （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
4、当时，有最小值 （2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值8、二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1） 二次项系数 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小（2）一次项系数总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” （3） 常数项 当时，抛物线与轴的交点在x轴上方，即抛物线与轴交点的
5、纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的典例分析 考点一： 二次函数的图像与性质例1、下列关于抛物线y=x2和y= - x2的异同点说法错误的是（ ）A抛物线y=x2和y= - x2有共同的顶点和对称轴 B抛物线y=x2和y= - x2关于x轴对称C抛物线y=x2和y= - x2的开口方向相反D点A（-3，9）在抛物线y=x2上，也在抛物线y= - x2上【解析】D例2、点（x1，y1），（x2，y2）都在二次函
6、数y= - x2的图像上，如果 x1 x2 0，那么y1与y2的大小关系是（ ） Ay1 y2 0 By2 y1 0 Cy1 y2 0 Dy2 y1 0【解析】A例3、已知二次函数y = mxm+1，它的图像是开口 （填“向上”或“向下”） 的抛物线，当x 时，y的值随x的值增大而增大，此时图像有最 点，对应的y有最 值 （填数字）。 【解析】向上；0；低，小；0考点二：二次函数+c的图像与性质例1、在右图中画出函数y=- x2 和 y=- x2+1的图像，并根据图像回答下列问题：（1）抛物线y=- x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=- x2（2）函数y=- x2+1，当x当x 时，y的
7、值随x的值增大而减小；当x 时，函数有最大值，最大值是 ；其图像与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 （3）试说出抛物线y = x2 3的开口方向、对称轴和顶点坐标。【解析】略例2、函数y=x2+1的图象大致为（）A B C D【解析】B考点三：二次函数y=a（x-h）2+k的图像与性质例1、抛物线y3x2x4化为ya(xh)2k的形式为y_，开口向 ，对称轴是_顶点坐标是_当_时，有最_值，为_，当x_时，随增大而增大，当x_时，随增大而减小，抛物线与轴交点坐标为_【解析】略例2、在平面直角坐标系中，二次函数y=a（xh）2（a0）的图象可能是（）A B C D【解析】D考点四：二次函数
8、的图像及性质例1、如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象，则下列说法错误的是（）Aabc0 B当x1时，y随x的增大而减小Cab+c0 D当y0时，x2或x4【解析】C例2、点P1（1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay3y2y1 By3y1=y2 Cy1y2y3 Dy1=y2y3【解析】D考点五：图像的平移例1、若抛物线y=x22x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）Ay=（x2）2+3 By=（x
9、2）2+5 Cy=x21 Dy=x2+4【解析】C例2、在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）Ay=（x）2 By=（x+）2Cy=（x）2 Dy=（x+）2+【解析】抛物线的解析式为：y=x2+5x+6，设原抛物线上有点（x，y），绕原点旋转180后，变为（x，y），点（x，y）在抛物线y=x2+5x+6上，将（x，y）代入y=x2+5x+6得y=x25x+6，所以原抛物线的方程为y=x2+5x6=（x）2+，向下平移3个单位长度的解析式为y=（x）2+3=（x）2故选AP(Practice-Orie
10、nted)实战演练实战演练 课堂狙击1、已知二次函数、，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）A B C D【解析】D2、抛物线y=，y=x2，y=x2的共同性质是：都是开口向上；都以点（0，0）为顶点；都以y轴为对称轴；都关于x轴对称其中正确的个数有（）A1个 B2个 C3个 D4个【解析】错误；正确；错误；故选：B3、将y=x2向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（）Ay=x2+2 By=x22 Cy=（x+2）2 Dy=（x2）2【解析】A4、如图，RtAOB中，ABOB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（）A
11、B C D【解析】RtAOB中，ABOB，且AB=OB=3，AOB=A=45，CDOB，CDAB，OCD=A，AOD=OCD=45，OD=CD=t，SOCD=ODCD=t2（0t3），即S=t2（0t3）故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为0，3、开口向上的二次函数图象；故选D5、已知二次函数y=（xh）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1x4的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A1或6 B1或6 C1或4 D1或4【解析】当xh时，y随x的增大而增大，当xh时，y随x的增大而减小，若h1x4，x=1时，y取得最小值5，可得：（1h）2+1=5，解得：h=1或h=3
12、（舍）；若1x4h，当x=4时，y取得最小值5，可得：（4h）2+1=5，解得：h=6或h=2（舍）综上，h的值为1或6，故选B6、函数y=2x2+4x5中，当3x2时，则y值的取值范围是（）A3y1 B7y1 C7y11 D7y11【解析】D7、如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？【解析】（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a0），由CD=10m，可设D（5，b），由AB=2
13、0m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b3），把D、B的坐标分别代入y=ax2得：，解得y=；（2）b=1，拱桥顶O到CD的距离为1m，=5（小时）所以再持续5小时到达拱桥顶8、已知抛物线 y=x22x3（1）此抛物线的顶点坐标是（1，4），与x轴的交点坐标是（3，0），（1，0），与y轴交点坐标是（0，3），对称轴是x=1（2）在平面直角坐标系中画出y=x22x3的图象；（3）结合图象，当x取何值时，y随x的增大而减小【解析】（1）y=x22x3=（x1）24，抛物线顶点坐标为（1，4），对称轴为x=1，令y=0可得x22x3=0，解得x=3或1，抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）
14、和（1，0），令x=0可得y=3，抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），故答案为：（1，4）；（3，0）；（1，0）；（0，3）；x=1；（2）利用（1）所求的四个点，结合对称轴画出其图象，图略（3）由图象可知当x1时，y随x的增大而减小9、如图，已知抛物线y=x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标【解析】（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=x2+mx+3得：0=32+3m+3，解得：m=2，y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点坐标为：（1，
15、4）（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，点C（0，3），点B（3，0），解得：，直线BC的解析式为：y=x+3，当x=1时，y=1+3=2，当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2） 课后反击1、如图图形中，阴影部分面积相等的是（）A甲 乙 B甲 丙 C乙 丙 D丙 丁【解析】B2、在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（）Ay=x2x By=x2+xCy=x2+x Dy=x2x【解析】A3、已知函数y=ax22ax1（a是常数，a0），下列结论正确的是（）A
16、当a=1时，函数图象过点（1，1） B当a=2时，函数图象与x轴没有交点C若a0，则当x1时，y随x的增大而减小 D若a0，则当x1时，y随x的增大而增大【解析】D4、函数y=ax2+bx+a+b（a0）的图象可能是（）A B C D【解析】A：由图象可知，开口向下，则a0，又因为顶点在y轴左侧，则b0，则a+b0，而图象与y轴交点为（0，a+b）在y轴正半轴，与a+b0矛盾，故此选项错误；C：由图象可知，开口向上，则a0，顶点在y轴右侧，则b0，a+b=1，故此选项正确；故选C5、二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；c0；a+cb；b24ac0，其中正确的个数
17、是（）A1 B2 C3 D4【解析】错误正确正确正确；故选：C6、已知二次函数y=2x2+8x6（1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围【解析】（1）y=2x2+8x6=2（x24x）6=2（x2）2+2，这个二次函数图象的顶点坐标为（2，2），对称轴为直线x=2（2）图象如右：函数值不小于0时，1x37、设二次函数y1，y2的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=c，b=2d，且开口方向相同时，则称y1是y2的“反倍顶二次函数”（1）请写出二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x的二次
18、函数y1=x2+nx和二次函数y2=nx2+x，函数y1+y2恰是y1y2的“反倍顶二次函数”，求n【解析】（1）y=x2+x+1，y=，二次函数y=x2+x+1的顶点坐标为（，），二次函数y=x2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），反倍顶二次函数的解析式为y=x2x+；（2）y1+y2=x2+nx+nx2+x=（n+1）x2+（n+1）x，y1+y2=（n+1）（x2+x+），顶点坐标为（，），y1y2=x2+nxnx2x=（1n）x2+（n1）x，y1y2=（1n）（x2x+），顶点坐标为（，），由于函数y1+y2恰是y1y2的“反倍顶二次函数”，则2=，解得n=直击中考
19、1、【2013深圳】已知二次函数y=a（x1）2c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（ ）A B C D【解析】A2、【2011深圳】对抛物线：y=x2+2x3而言，下列结论正确的是（ ）A与x轴有两个交点 B开口向上C与y轴的交点坐标是（0，3） D顶点坐标是（1，2）【解析】D3、【2009深圳】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）Ay1y2 By1=y2 Cy1y2 D不能确定【解析】C4、【2016兰州】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1，有以下结论
20、：abc0；4acb2；2a+b=0；ab+c2其中正确的结论的个数是（）A1 B2 C3 D4【解析】 正确 正确 错误 正确选 C5、【2016山西】将抛物线y=x24x4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）Ay=（x+1）213 By=（x5）23Cy=（x5）213 Dy=（x+1）23【解析】DS(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾 1、二次函数的图像与性质2、二次函数+c的图像与性质3、二次函数y=a（x-h）2+k的图像与性质4、二次函数的图像及性质名师点拨 明确图像与各个系数的关系，熟练画出对应二次函数的图像并掌握函数性质，是学好本节内容的关键。学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是 15
