八年级下册数学同步课程第09讲-因式分解(提高)-教案

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1、 2017年春季初二年级数学教材 A版第09讲 因式分解 温故知新回忆:运用之前所学的知识填空:(1)2(x3)_;(2)x2(3x)_;(3)m(abc)_.智慧乐园探究活动:我们已经学习了整式的乘法,知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式,反过来,在式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,本节课我们一起来探究这种变形:1、探索:你会做下面的填空吗?(1)2x6( )( );(2)3x2x3( )( );(3)mambmc( )2.2、归纳:“回忆”的是已熟悉的 运算,而要“探索”的问题,其过程正好与“回忆” ,它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式,这就是 因式分解

2、 (也叫做把这个多项式 分解因式 )知识要点一因式分解1、因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解。注意:(1)因式分解是恒等变形,因式分解的对象是多项式;(2)因式分解是有范围的,现阶段在有理数范围内进行;(3)因式分解的结果要以积的形式表示,每个因式必须是整式;(4)因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止。2、因式分解与整式乘法的关系 如果把整式乘法看成一个变形过程,那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程;如果把多项式的因式分解看成一个变形过程,那么整式乘法又是多项式的因式分解的逆过程。 典例分析例1、将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是(

3、)Aa21 Ba2+a Ca2+a2 D(a+2)22(a+2)+1【解析】选:C例2、下列从左到右边的变形,是因式分解的是()A(3x)(3+x)=9x2 B(y+1)(y3)=(3y)(y+1)C4yz2y2z+z=2y(2zyz)+z D8x2+8x2=2(2x1)2【解析】选:D例3、(x+3)(2x1)是多项式2x2+5x3因式分解的结果【解析】(x+3)(2x1)=2x2+5x3,故答案为:2x2+5x3学霸说:因式分解与整式乘法是相反方向的变形,二者是一个式子的不同表现形式; 举一反三1、下列等式从左到右的变形是因式分解的是()A6a2b2=3ab2ab B2x2+8x1=2x(

4、x+4)1Ca23a4=(a+1)(a4) D【解析】选C2、多项式x2+mx+6因式分解得(x2)(x+n),则m=5【解析】答案为:53、若多项式2x25x+m有一个因式为(x1),那么m=3【解析】答案为:3知识要点二因式分解的方法 一、提公因式法1、公因式的定义: 我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。2、确定公因式的方法: 确定公因式的一般步骤:(1)如果多项式的第一项系数是负数,应把公因式的符号取“”;(2)确定公因式的数字因数:当各项系数都是整数时,取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数;(3)确定公因式的字母及其指数:取多项式各项都含有的相同字母(或

5、因式),其指数取最低次。3、提公因式法: 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法。 提公因式法的依据是乘法的分配律,它的实质是单项式乘多项式时乘法分配律的“逆用”。二、公式法1、用平方差公式因式分解把乘法公式中的反过来,就可得: 2、用完全平方公式因式分解把乘法公式中的完全平方公式反过来,就可得: 3、因式分解的一般步骤步骤:(1)有公因式先提公因式;(2)没有公因式,可以尝试公式法因式分解;(3)如果上述方法都不可以,可以先整理多项式,然后分解;(4)必须分解到最后。 典例分析例1、把a24a多项式分

6、解因式,结果正确的是()Aa(a4) B(a+2)(a2)Ca(a+2)(a2) D(a2)24【解析】a24a=a(a4),故选:A例2、多项式4x24与多项式x22x+1的公因式是()Ax1 Bx+1 Cx21 D(x1)2【解析】选:A例3、把多项式x26x+9分解因式,结果正确的是()A(x3)2 B(x9)2 C(x+3)(x3) D(x+9)(x9)【解析】x26x+9=(x3)2,故选A例4、把8a38a2+2a进行因式分解,结果正确的是()A2a(4a24a+1) B8a2(a1)C2a(2a1)2 D2a(2a+1)2【解析】选:C例5、如图中的四边形均为矩形,根据图形,写出

7、一个正确的等式am+bm+cm=m(a+b+c)【解析】由题意可得:am+bm+cm=m(a+b+c)答案为:am+bm+cm=m(a+b+c)例6、分解因式:(m+1)(m9)+8m=(m+3)(m3)【解析】(m+1)(m9)+8m=m29m+m9+8m=m29=(m+3)(m3)答案为:(m+3)(m3)例7、(1)因式分解:(xy)(3xy)+2x(3xy);(2)设y=kx,是否存在实数k,使得上式的化简结果为x2?求出所有满足条件的k的值若不能,请说明理由【解析】(1)原式=(3xy)(xy+2x)=(3xy)(3xy)=(3xy)2;(2)将y=kx代入上式得:(3xkx)2=(

8、3k)x2=(3k)2 x2;令(3k)2=1,3k=1,解得:k=4或2例8、因式分解:(1)6xy29x2yy3 (2)(p4)(p+1)+3p【解析】(1)6xy29x2yy3=y(y26xy+9x2)=y(3xy)2; (2)(p4)(p+1)+3p=p23p4+3p=(p+2)(p2) 举一反三1、把(xa)3(ax)2分解因式的结果为()A(xa)2(xa+1) B(xa)2(xa1)C(xa)2(x+a) D(ax)2(xa1)【解析】原式=(xa)3(xa)2=(xa)2(xa1),选B2、分解因式:4x24xy+y2=(2xy)2【解析】4x24xy+y2=(2x)222xy

9、+y2=(2xy)23、先化简,再求值:(1)已知a+b=2,ab=2,求a3b+2a2b2+ab3的值(2)求(2xy)(2x+y)(2y+x)(2yx)的值,其中x=2,y=1【解析】(1)原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2,当a+b=2,ab=2时,原式=222=8;(2)原式=4x2y2(4y2x2)=5x25y2,当x=2,y=1时,原式=522512=15课堂闯关 初出茅庐 l 建议用时:10分钟1、下列各式从左到右的变形中,为因式分解的是()Ax(ab)=axbx Bx21+y2=(x1)(x+1)+y2Cy21=(y+1)(y1) Dax+by+c=x(a+b)

10、+c【解析】选:C2、对多项式3x23x因式分解,提取的公因式为()A3 Bx C3x D3x2【解析】3x23x=3x(x1),则对多项式3x23x因式分解,提取的公因式为3x,故选C3、下列因式分解正确的是()Ax2+9=(x+3)2 Ba2+2a+4=(a+2)2Ca34a2=a2(a4) D14x2=(1+4x)(14)【解析】故选C4、下列各式中,不能用完全平方公式分解的个数为()x210x+25;4a2+4a1;x22x1;A1个 B2个 C3个 D4个【解析】选:C5、把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则m+n的值为【解析】由x2+4mx+5因式分解得(x+

11、5)(x+n),得x2+4mx+5=(x+5)(x+n),(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n,x2+4mx+5=x2+(n+5)x+5n4m=n+5,5n=5解得n=1,m=,m+n=1+=,故答案为:6、如果把多项式x23x+n分解因式得(x1)(x+m),那么m=2,n=2【解析】x23x+n分解因式得(x1)(x+m),得x23x+n=x2+(m1)xmm1=3,n=m解得m=2,n=2,故答案为:2,27、分解因式:2a(b+c)3(b+c)=(b+c)(2a3)【解析】原式=(b+c)(2a3),故答案为:(b+c)(2a3)8、分解因式:x24x+4=(x2)2【解析】

12、x24x+4=(x2)2 优学学霸 l 建议用时:15分钟1、在实数范围内分解因式:x25【解析】x25=(x)(x+)2、阅读理解题:我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系,那么逆用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是否可以分解因式呢?当然可以,而且也很简单如:(1)x2+4x+3=x2+(1+3)x+13=(x+1)(x+3);(2)x24x5=x2+(15)x+1(5)=(x+1)(x5)请你仿照上述方法,把多项式分解因式:x27x18【解析】x27x18=x2+(9+2)x+(9)2=(x9)(x+2) 3、若a、b

13、、c为ABC的三边(1)判断代数式a22abc2+b2的值与0的大小关系,并说明理由;(2)满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,试判断ABC的形状【解析】(1)a22abc2+b2=(ab)2c2=(ab+c)(abc)a+cb,ab+c,ab+c0,abc0,a22abc2+b20(2)a2+b2+c2=ab+ac+bc,2a2+2b2+2c22ab2ac2bc=0,a22ab+b2+b22bc+c2+a22ac+c2=0,(ab)2+(bc)2+(ac)2=0,ab=0,bc=0,ac=0,a=b=c,ABC是等边三角形考场直播1、【2016春祁阳县期末】下列从左到右的变形:是因式分解

14、的个数是 ()(1)15x2y=3x5xy; (2)(a+b)(ab)=a2b2;(3)a22a+1=(a1)2; (4)x2+3x+1=x(x+3+)A0个 B1个 C2个 D3个【解析】选B2、【2014秋瑞金市期末】若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为(x1)(x3),则k+b的值为1【解析】由题意得:x2+kx+b=(x1)(x3)=x24x+3,k=4,b=3,则k+b=4+3=1故答案为:13、【2017春萧山区校级月考】分解因式:x2(x3)2=3(2x3)【解析】原式=(x+x3)(xx+3)=3(2x3),故答案为:3(2x3)套路揭密:(1)掌握因式分解的定义及意义

15、;(2)因式分解中,提公因式及公式法需要熟练的掌握应用。自我挑战l 建议用时:30分钟 1、下列各式从左到右的变形,是因式分解的是()Ax29+6x=(x+3)(x3)+6x B(x+5)(x2)=x2+3x10Cx28x+16=(x4)2 D6ab=2a3b【解析】选:C2、若(x3)(x+5)是x2+px+q的因式,则p为()A15 B2 C8 D2【解析】(x3)(x+5)=x2+2x15,p=2,q=15;故选D3、把多项式a29a分解因式,结果正确的是()Aa(a9) Ba(a+3)(a3) C(a+3)(a3) D(a3)29【解析】原式=a(a9)故选:A4、因式分解2x+x3的

16、正确结果是()A2(x+x3) Bx(2+x2) C2x(1+x) Dx(2+x3)【解析】2x+x3=x(2+x2)故选:B5、下列多项式中,在实数范围不能分解因式的是()Ax2+y2+2x+2y Bx2+y2+2xy2 Cx2y2+4x+4y Dx2y2+4y4【解析】选A6、分解因式:16x2=()A(4x)(4+x) B(x4)(x+4)C(8+x)(8x) D(4x)2【解析】16x2=(4x)(4+x)故选:A7、下列分解因式正确的是()Amam=m(a1) Ba21=(a1)2Ca26a+9=(a3)2 Da2+3a+9=(a+3)2【解析】选C8、甲、乙两个同学分解因式x2+a

17、x+b时,甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9),则a+b=15【解析】分解因式x2+ax+b,甲看错了b,但a是正确的,他分解结果为(x+2)(x+4)=x2+6x+8,a=6,同理:乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9)=x2+10x+9,b=9,因此a+b=15故应填159、如果x3是多项式2x211x+m的一个因式,则m的值15【解析】把x=3代入方程2x211x+m=0中得1833+m=0,解得:m=15故答案为:1510、因式分解:x22x=x(x2)【解析】原式=x(x2),故答案为:x(x2)11、把下列各式分解因式:(1)2

18、m(mn)28m2(nm)(2)8a2b+12ab24a3b3(2)直接提取公因式4ab,进而分解因式得出答案【解析】(1)2m(mn)28m2(nm)=2m(mn)(mn)+4m=2m(mn)(5mn);(2)8a2b+12ab24a3b3=4ab(2a3b+a2b2)12、已知:x+y=2,xy=7,求x3y+xy3的值【解析】x+y=2,xy=7,x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy(x+y)22xy=7(2227)=7013、已知x2+y24x+6y+13=0,求x26xy+9y2的值【解析】x2+y24x+6y+13=(x2)2+(y+3)2=0,x2=0,y+3=0,即x=2,y=3,则原式=(x3y)2=112=121思考乐优学产品中心 初中组11

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