八年级下册数学升学课程第06讲一平行四边形(提高)-教案

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1、高效提分 源于优学 第06讲 平行四边形 温故知新问题1:你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出平行四边形吗?请同学将拼出的六种形状不同的四边形展示在黑板上问题2:观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系?说说你的理由结合拼出的这个特殊四边形,给出平行四边形定义定义的几何语言表述 ABCD ADBC 四边形ABCD是平行四边形 课堂导入知识要点一 一、平行四边形的性质 (1)平行四边形的概念 定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法:用符号“”表示,平行四边形记作“”。 (2)平行四边形的边、角性质 边的性质:平行四边形的对边平行;平行四边形的对边相等。 角的性质:平行四边形的

2、对角相等;平行四边形的邻角互补。 (3)两条平行线之间的距离:两条平行线中,一条直线上任意一点到另外一条直线的距离,叫做这两条平行线之间的距离。 (4)平行四边形的对角线的性质:平行四边形的对角线互相平分。、 (5)平行四边形的周长与面积 面积公式:平行四边形的面积=底高; 等底等高的平行四边形的面积相等; 平行四边形的周长等于两邻边和的2倍。二、平行四边形判定方法 (1)从边看:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (2)从角看:两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (3)从对角线看:对角线互相平分的四边形是

3、平行四边形。三、三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线; (2)中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半。 典例分析例1、如图,在平行四边形ABCD中,ABC的平分线交AD于E,BED=150,则A的大小为()A150 B130C120 D100【解答】选C例2、如图,ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则OBC的周长为()A13 B17C20 D26【解答】选:B例3、已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC、BD交于点O,E是BC的中点,以下说法错误的是()AOE=DC BOA=OCCBOE=

4、OBA DOBE=OCE【解答】四边形ABCD是平行四边形,OA=OC,OB=OD,ABDC,又点E是BC的中点,OE是BCD的中位线,OE=DC,OEDC,OEAB,BOE=OBA,选项A、B、C正确;OBOC,OBEOCE,选项D错误;故选:D例4、如图,在ABCD中,E为边CD上一点,将ADE沿AE折叠至ADE处,AD与CE交于点F若B=52,DAE=20,则FED的大小为36【解答】四边形ABCD是平行四边形,D=B=52,由折叠的性质得:D=D=52,EAD=DAE=20,AEF=D+DAE=52+20=72,AED=180EADD=108,FED=10872=36;故答案为:36例

5、5、如图,四边形ABCD为平行四边形,BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E(1)求证:BE=CD;(2)连接BF,若BFAE,BEA=60,AB=4,求平行四边形ABCD的面积【解答】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ABCD,AB=CD,AEB=DAE,AE是BAD的平分线,BAE=DAE,BAE=AEB,AB=BE,BE=CD;(2)解:AB=BE,BEA=60,ABE是等边三角形,AE=AB=4,BFAE,AF=EF=2,BF=2,ADBC,D=ECF,DAF=E,在ADF和ECF中,ADFECF(AAS),ADF的面积=ECF的面积,平行四边形ABCD

6、的面积=ABE的面积=AEBF=42=4例6、如图,DE是ABC的中位线,若BC=8,则DE的长为()A2 B4C6 D8【解答】DE是ABC的中位线,BC=8,DE=BC=4,故选B例7、如图,ABC和BEF都是等边三角形,点D在BC边上,点F在AB边上,且EAD=60,连接ED、CF(1)求证:ABEACD;(2)求证:四边形EFCD是平行四边形【解答】证明:(1)ABC和BEF都是等边三角形,AB=AC,EBF=ACB=BAC=60,EAD=60,EAD=BAC,EAB=CAD,在ABE和ACD中,ABEACD(2)由(1)得ABEACD,BE=CD,BEF、ABC是等边三角形,BE=E

7、F,EFB=ABC=60,EFCD,BE=EF=CD,EF=CD,且EFCD,四边形EFCD是平行四边形学霸说者归纳一:(1)熟练掌握平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质及内角和定理;(2)熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定、勾股定理与平行四边行的综合运用;裸的残酷的掠夺,激起了当地土著民族顽强的反抗。举一反三1、如图,在ABCD中,AB=6,BC=8,C的平分线交AD于E,交BA的延长线于F,则AE+AF的值等于()A2 B3C4 D6【解答】四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AD=BC=8,CD=AB=6,F=DCF,CF平分BCD,FCB=DCF,F=FCB,

8、BF=BC=8,同理:DE=CD=6,AF=BFAB=2,AE=ADDE=2,AE+AF=4;故选:C2、如图,平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,ACAB,E是BC中点,AOD的周长比AOB的周长多3cm,则AE的长度为()A3cm B4cmC5cm D8cm【解答】ABCD的周长为26cm,AB+AD=13cm,OB=OD,AOD的周长比AOB的周长多3cm,(OA+OD+AD)(OA+OB+AB)=ADAB=3cm,AB=5cm,AD=8cmBC=AD=8cmACAB,E是BC中点,AE=BC=4cm;故选:B3、如图,在ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延

9、长交DC的延长线于点F(1)求证:AB=CF;(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DEAF【解答】(1)四边形ABCD是平行四边形,ABDF,ABE=FCE,E为BC中点,BE=CE,在ABE与FCE中,ABEFCE(ASA),AB=FC;(2)AD=2AB,AB=FC=CD,AD=DF,ABEFCE,AE=EF,DEAF4、如图,四边形ABCD的对角线交于点O,下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形()AOA=OC,OB=OD BBAD=BCD,ABCDCADBC,AD=BC DAB=CD,AO=CO【解答】选:D5、如图,DE是ABC的中位线,过点C作CFBD交DE的延长线于点F

10、,则下列结论正确的是()AEF=CF BEF=DECCFBD DEFDE【解答】DE是ABC的中位线,E为AC中点,AE=EC,CFBD,ADE=F,在ADE和CFE中,ADECFE(AAS),DE=FE故选B6、如图,等边ABC的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接CD和EF(1)求证:DE=CF;(2)求EF的长;(3)求四边形DEFC的面积【解答】(1)在ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,DE为ABC的中位线,DE=BC,CF=BC,DE=CF(2)AC=BC,AD=BD,CDAB,BC=4,BD=2,CD=2,DECF,DE=CF,四边形DE

11、FC是平行四边形,EF=CD=2(3)过点D作DHBC于HDHC=90,DCB=30,DH=DC=,DE=CF=2,S四边形DEFC=CFDH=2=2 课堂闯关初出茅庐1、如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则ABO的周长是()A10 B14C20 D22【解答】四边形ABCD是平行四边形,AO=CO,BO=DO,DC=AB=6,AC+BD=16,AO+BO=8,ABO的周长是:14故选:B2、如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B处,若1=2=44,则B为()A66 B104C114 D124【解答】四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ACD=

12、BAC,由折叠的性质得:BAC=BAC,BAC=ACD=BAC=1=22,B=1802BAC=1804422=114;故选:C3、能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是:A:B:C:D的值为()A1:2:3:4 B1:4:2:3C1:2:2:1 D1:2:1:2【解答】选D4、某地需要开辟一条隧道,隧道AB的长度无法直接测量如图所示,在地面上取一点C,使点C均可直接到达A,B两点,测量找到AC和BC的中点D,E,测得DE的长为1100m,则隧道AB的长度为()A3300m B2200mC1100m D550m【解答】选:B5、如图,四边形ABCD中,A=ABC=90,点E是边CD上一点,连接

13、BE,并延长与AD的延长线相交于点F,请你只添加一个条件:BC=DF,使四边形BDFC为平行四边形【解答】四边形ABCD中,A=ABC=90,BCDF,当BC=DF时,四边形BDFC是平行四边形故答案为:BC=DF6、如图,在ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,且A+B=136,则ANM=44【解答】在ABC中,A+B=136,ACB=180(A+B)=180136=44,ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,MNBC,ANM=ACB=44故答案为:44 优学学霸 l 建议用时:15分钟1、如图,在等边三角形ABC中,BC=6cm,射线AGBC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度

14、运动,点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动如果点E、F同时出发,设运动时间为t(s)当t=2或6s时,以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形【解答】当点F在C的左侧时,根据题意得:AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BCBF=62t(cm),AGBC,当AE=CF时,四边形AECF是平行四边形,即t=62t,解得:t=2;当点F在C的右侧时,根据题意得:AE=tcm,BF=2tcm,则CF=BFBC=2t6(cm),AGBC,当AE=CF时,四边形AEFC是平行四边形,即t=2t6,解得:t=6;综上可得:当t=2或6s时,以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形故答案为:2或6

15、2、如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,M、N、P分别是AD、BC、BD的中点,ABD=20,BDC=70,求PMN的度数【解答】在四边形ABCD中,M、N、P分别是AD、BC、BD的中点,PN,PM分别是CDB与DAB的中位线,PM=AB,PN=DC,PMAB,PNDC,AB=CD,PM=PN,PMN是等腰三角形,PMAB,PNDC,MPD=ABD=20,BPN=BDC=70,MPN=MPD+NPD=20+(18070)=130,PMN=253、如图,四边形ABCD中,已知AB=CD,点E、F分别为AD、BC的中点,延长BA、CD,分别交射线FE于P、Q两点求证:BPF=CQF【解答】

16、证明:如图,连接BD,作BD的中点M,连接EM、FM点E是AD的中点,在ABD中,EMAB,EM=AB,MEF=P,同理可证:FMCD,FM=CDMGH=DFH又AB=CD,EM=FM,MEF=MFE,P=CQF考场直播1、(2016春深圳期末)如图,四边形ABCD的对角线交于点O,从下列条件:ADBC,AB=CD,AO=CO,ABC=ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形,则你选的两个条件是(填写一组序号即可)【解答】可选条件,ADBC,DAO=OCB,ADO=CBO,在AOD和COB中,AODCOB(AAS),DO=BO,四边形ABCD是平行四边形故答案为:2、(2015深圳)如图

17、,分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD及等边ABE,已知:BAC=30,EFAB,垂足为F,连接DF(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形【解答】证明:(1)RtABC中,BAC=30,AB=2BC,又ABE是等边三角形,EFAB,AB=2AFAF=BC,在RtAFE和RtBCA中,RtAFERtBCA(HL),AC=EF;(2)ACD是等边三角形,DAC=60,AC=AD,DAB=DAC+BAC=90又EFAB,EFAD,AC=EF,AC=AD,EF=AD,四边形ADFE是平行四边形套路揭密:(1)平行四边形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上

18、的中线性质、等腰三角形的性质、平行线的判定是常考的知识点; 自我挑战1、如图,在ABCD中,M是BC延长线上的一点,若A=135,则MCD的度数是()A45 B55C65 D75【解答】四边形ABCD是平行四边形,A=BCD=135,MCD=180DCB=180135=45故选A2、如图,已知平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,B=150,则平行四边形ABCD的面积为()A2 B3C D6【解答】选B3、下列结论中一定成立的是()A如果一个四边形任意相邻的两个内角都互补,那么这个四边形是平行四边形B一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形C如果四边形ABCD的对角线AC平分BD,

19、那么四边形ABCD是平行四边形D三条边相等的四边形是平行四边形【解答】选A4、如图,在ABC中,AB=BC=10,BD是ABC的平分线,E是AB边的中点则DE的长是()A6 B5C4 D3【解答】在ABC中,AB=BC=10,BD是ABC的平分线,D是AC的中点E是AB边的中点,DE=BC=10=5故选B5、如图,在ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,若ABC的周长为10cm,则DEF的周长是5 cm【解答】如上图所示,D、E分别是AB、BC的中点,DE是ABC的中位线,DE=AC,同理有EF=AB,DF=BC,DEF的周长=(AC+BC+AB)=10=5故答案为56、如图所示

20、,在ABCD中,C=40,过点D作AD的垂线,交AB于点E,交CB的延长线于点F,则BEF的度数为50【解答】四边形ABCD是平行四边形,DCAB,C=ABF又C=40,ABF=40EFBF,F=90,BEF=9040=50故答案是:507、如图,分别以RtABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边ACD、等边ABE,EFAB,垂足为F,连接DF,当=时,四边形ADFE是平行四边形【解答】当=时,四边形ADFE是平行四边形理由:=,CAB=30,ABE为等边三角形,EFAB,EF为BEA的平分线,AEB=60,AE=AB,FEA=30,又BAC=30,FEA=BAC,在ABC和EAF中,ABC

21、EAF(AAS);BAC=30,DAC=60,DAB=90,即DAAB,EFAB,ADEF,ABCEAF,EF=AC=AD,四边形ADFE是平行四边形故答案为:8、如图,已知ABCD中,DEBC于点E,DHAB于点H,AF平分BAD,分别交DC、DE、DH于点F、G、M,且DE=AD(1)求证:ADGFDM(2)猜想AB与DG+CE之间有何数量关系,并证明你的猜想【解答】证明:(1)四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ADBC,BAF=DFA,AF平分BAD,DAF=DFA,AD=FD,DEBC,DHAB,ADG=FDM=90,在ADG和FDM中,ADGFDM(ASA)(2)AB=DG+EC

22、证明:延长GD至点N,使DN=CE,连接AN,DEBC,ADBC,ADN=DEC=90,在ADN和DEC中,ADNDEC(SAS),NAD=CDE,AN=DC,NAG=NAD+DAG,NGA=CDE+DFA,NAG=NGA,AN=GN=DG+CE=DC,四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,AB=DG+EC9、如图,已知点E,C在线段BF上,BE=EC=CF,ABDE,ACB=F(1)求证:ABCDEF;(2)试判断:四边形AECD的形状,并证明你的结论【解答】证明:(1)ABDE,B=DEF,BE=EC=CF,BC=EF,在ABC和DEF中,ABCDEF(2)四边形AECD的形状是平行四边

23、形,证明:ABCDEF,AC=DF,ACB=F,ACDF,四边形ACFD是平行四边形,ADCF,AD=CF,EC=CF,ADEC,AD=CE,四边形AECD是平行四边形10、如图,在ABC中,点D是边BC的中点,点E在ABC内,AE平分BAC,CEAE,点F在边AB上,EFBC(1)求证:四边形BDEF是平行四边形;(2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系?证明你所得到的结论【解答】(1)证明:延长CE交AB于点G,AECE,AEG=AEC=90,在AEG和AEC中,AGEACE(ASA)GE=ECBD=CD,DE为CGB的中位线,DEABEFBC,四边形BDEF是平行四边形(2)解

24、:BF=(ABAC)理由如下:四边形BDEF是平行四边形,BF=DED、E分别是BC、GC的中点,BF=DE=BGAGEACE,AG=AC,BF=(ABAG)=(ABAC)11、如图RtACB中,已知BAC=30,BC=2,分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD,等边ABE EFAB,垂足为F,连接DF(1)求证:四边形ADFE是平行四边形;(2)求四边形ADFE的周长【解答】(1)证明:RtABC中,BAC=30,AB=2BC,又ABE是等边三角形,EFAB,AB=2AFAF=BC,在RtAFE和RtBCA中,AFEBCA(HL),AC=EF;ACD是等边三角形,DAC=60

25、,AC=AD,DAB=DAC+BAC=90,又EFAB,EFAD,AC=EF,AC=AD,EF=AD,四边形ADFE是平行四边形;(2)解:BAC=30,BC=2,ACB=90,AB=AE=4,AF=BF=AB=2,则EF=AD=2,故四边形ADFE的周长为:2(4+2)=8+412、如图,四边形ABCD中,A=ABC=90,AD=1,BC=3,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F(1)求证:四边形BDFC是平行四边形;(2)若BCD是等腰三角形,求四边形BDFC的面积【解答】(1)证明:A=ABC=90,BCAD,CBE=DFE,在BEC与FED中,BECFED,BE=F

26、E,又E是边CD的中点,CE=DE,四边形BDFC是平行四边形;(2)BC=BD=3时,由勾股定理得,AB=2,所以,四边形BDFC的面积=32=6;BC=CD=3时,过点C作CGAF于G,则四边形AGCB是矩形,所以,AG=BC=3,所以,DG=AGAD=31=2,由勾股定理得,CG=,所以,四边形BDFC的面积=3=3;BD=CD时,BC边上的中线应该与BC垂直,从而得到BC=2AD=2,矛盾,此时不成立;综上所述,四边形BDFC的面积是6或313、如图,点O是ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;(2)如果OBC=45,OCB=30,OC=4,求EF的长【解答】证明:AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G,DGBC,DG=BC,EFBC,EF=BC,DGEF,DG=EF,四边形DEFG是平行四边形;(2)解:过点O作OMBC于M,RtOCM中,OCM=30,OC=4OM=OC=2,CM=2,RtOBM中,BMO=OMB=45,BM=OM=2,BC=2+2,EF=1+ 17 2017年秋季初三升学课程

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