1、精锐教育辅导讲义学员姓名： 学科教师：徐泽文年 级：初三 辅导科目：数学授课日期主 题第6讲-平面向量的线性运算学习目标1理解实数与向量相乘的意义，会画实数与向量相乘所得的向量，会进行向量的线性运算和化简算式；2知道向量加法、实数与向量相乘的有关运算律；3知道平行向量定理，知道向量的线性表示和向量的分解的意义教学内容1、平面向量的有关概念（1）向量的基本要素：大小和方向（2）表示方法用有向线段来表示向量。有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。用字母或表示。（3）模：向量的长度，记作或|（4）特殊的向量零向量0 单位向量为单位向量1（5）相等的向量：长度相等，且方向相同的
2、向量叫相等的向量。（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量。（只要方向相同或相反，与长度无关）由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。规定零向量与任何向量共线。2、向量数乘运算及其几何意义（1）实数与向量的积 定义：实数与向量的积是一个向量，记作： 。其大小和方向规定如下：大小：方向：0时，与方向相同；0时,与同向; 0时,与异向;=0时, =0复习： 向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律：（与实数加法类似）练习：1、如图，矩形ABCD中，E、M、F、N 是AB、DC 的三等分点，设试用向量表示向量.AEDMBFNC2、下
3、面给出四个命题中不正确的是（ ）A对于实数和向量恒有：B对于实数、和向量，恒有C对于实数和向量，若，则有D对于实数和向量，若，则3、计算：.4、如果向量满足关系式，试用向量表示向量.4、向量平行定理向量平行定理：向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得 。练习：1设非零向量，满足，判断向量，是否平行？2已知，其中是非零向量，判断向量，是否平行？5、平面向量的分解（1）向量的线性运算 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算（2）向量的线性组合 如果是两个不平行的向量，是两个实数，那么叫做的线性组合（3）向量的分解式 如果是两个不平行的向量，那么向量就是的合成，
4、用的线性组合表示向量，也就是对向量分解，这时就是分别在方向上的分向量，是向量关于的分解式。 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上进行分解练习：ABCDEFGH1、如图，已知平行四边形中，点、分别是边、的中点，、分别与对角线相交于点、.设,分别求向量、关于、的分解式. 3、如图，给定两个不平行的向量，对于平面内任意一个向量，都可以确定它关于的分解式吗？ O 6、平面向量的线性运算（1）向量的数乘：求实数与向量的乘积的运算叫向量的数乘，记作： 规定：（1）仍然是个向量 （2）如果 （3）当时向量的方向与的方向相同，当时，向量与的方向相反，当或时， .（2）为实数，、为向量. （数
5、乘运算满足交换律、结合律、分配律）（3）平行向量定理：向量与共线（），当且仅当有唯一一个实数，使. 练习：1、我们把长度为1的向量叫做单位向量，通常用符号表示，模长表示为：，则下列说法错误的是（ ）A. 有无数个 B. 不同的单位向量，它们的方向不同C. 设是非零向量，且，则 D. 设是非零向量，且，则2、若向量与单位向量的方向相同，且，则_（用表示）3、 如图，已知两个不平行的向量先化简，再求作：（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）题型1：平行向量相关【例1】下列命题请判断正误（1）平行向量的方向一定相同； （ ）（2）不相等的向量一定不平行； （ ）（3）与零向量相等的向量是零
6、向量； （ ）（4）与任何向量都平行的向量是零向量； （ ）（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是相等向量； （ ）（6）平行向量一定在同一直线上 （ ）试一试：1、 设为单位向量，若为平面内某向量，则 （ ）2、 设为单位向量，若与平行，则 （ ）3、 设为单位向量，若，若与平行，且，则 （ ）4、 若是单位向量，是实数，则 （ ）5、 若（为非零向量），则存在唯一实数，使 （ ）6、 若，则 （ ）7、 若，则或 （ ）8、 任意一个向量都存在一个它的相反向量，使 （ ）【例2】若是非零向量，则下列等式正确的是（ ）【例3】四边形中，若向量与是平行向量，则四边形是（ ）平行四边形
7、； 梯形； 平行四边形或梯形； 不是平行四边形，也不是梯形【例4】如果，与方向相反，且，则 【例5】如图，已知点D、E分别在的边AB、AC上，试用向量 表示向量。题型2：向量模的计算【例1】已知菱形，其边长为2，如果，求【例2】在矩形中，则向量的长度等于（ ）2； ； 3+； 4题型3：向量运算法则及运算律的运用【例1】计算： 计算：【例2】如果向量、满足关系式3（）5（），试用向量、表示向量【例3】如图：梯形中，点在上，则 ABCDE【例4】在平行四边形中，如果, ,那么等于（ ）； ； ； 题型4：向量的线性组合【例1】如图，点是的边的中点，设，试用、的线性组合表示向量 【变式】如图，在中
8、，是的重心，证明： 【例2】已知平行四边形ABCD，点M、N分别是边DC、BC的中点，射线AM与BC相交于点F。设，分别向向量、关于、的分解式 【变式】如图，在中，、相交于点，用、的线性组合表示向量、题型五：平面向量的分向量例题1.已知向量，和， 求作：（1）向量分别在，方向上的分向量。 （2）向量分别在，方向上的分向量。例题2、已知：平行四边形ABCD，点E,F在边AB上，AE=EF=FB.点P是边AD的中点，直线EG，FH都与AD平行，分别交DC于点G，H。直线PQ与AB平行，分别交EG，FH，BC与点O，M，Q，设=,=。分别求，关于，的分解式。例题3、在三角形ABC中，已知=，=，G是
9、重心，请写出关于，的分解式。 补充题：1、设是的内心，则 ， 。2、已知一个单位向量，设、是非零向量，则下列等式中正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）3、如图，已知向量、 分别画出、在、方向上的分向量。 1若向量与单位向量的方向相反，且，则= （用表示） 2计算： 3 如果，那么下列结论正确的是（ ）； ； ； 4下列语句错误的是（ ）单位向量都是相等的；零向量的方向是任意的； 零向量与任何实数相乘所得的积为零向量； 平面上任意非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解5如图，已知向量，求作向量：（）2（）6如果，其中是非零向量，那么与是平行向量吗？7如图，在中，、为的三等分点，
10、、为的三等分点，写出、关于、的线性组合，并通过向量证明、之间的位置关系8如图，在中，是边的中点，是延长线上的点，且（1）用、表示向量；（2）用、表示向量；（3）设，求作：（不要画在原图上）9、如图，已知平行四边形ABCD，点E是AD边上的点，且AE=2ED，连接BE并延长交CD的延长线于点F，试用向量表示10、如图，ABCD是一个梯形，AB/CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知，试用，表示和 题型1：考查基本概念及其简单应用1已知、是两个单位向量，向量，那么下列结论中正确的是（ ）； ； .2在中，记，则= （用向量、来表示）3如果与是互为相反向量，那么 4下列判断中，不正
11、确的是（ ）；如果，则；题型2：考查向量的线性运算法则1.已知向量、满足，试用向量、表示向量，那么= 2.计算： 题型3：与三角形或平行四边形、梯形以及正多边形结合的应用1、如图，六边形是的内接正六边形，若，则向量可表示为（ ） 2、 已知四边形和向量、，那么题型4：与中位线、平行、相似相结合1.已知点、分别在的边、上，用向量表示向量为（ ）； ； ； 2.已知在中，点、分别在边和边上，且，用、表示向量正确的是（ ）；3.在中，边、上的中线、相交于点，设向量，如果用向量，表示向量，那么= 题型5：作图题DBCEA1、已知：向量、，求作：2、如图，四边形ABCD和四边形ACDE都是平行四边形， （1）填空： （2） （3）求作：课后作业2：1计算的结果是（ ）； ； ； 2在平行四边形中，如果，那么等于（ ） ； ； ； 3下列说法中错误的是（ ）A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的4、已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O ，下列等式成立的是（ ）A. B. C. D.5、如图，中，对角线、交于点 设向量，则向量 （结果用、表示）6、如图，AM是ABC的中线，设向量，那么向量 （结果用、表示）7、如图，已知梯形，如果，那么 （用，表示） 16 / 16
