1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：徐泽文年 级：初三 辅导科目：数学授课日期主 题第14讲-二次函数的概念和图像性质学习目标1、二次函数的解析式；2、二次函数的图像与性质；3、二次函数应用。教学内容知识结构二次函数概念二次函数图像二次函数图像变换图像性质利用图像解题二次函数解析式一般式，两点式，顶点式，交点式解析式的求法（待定系数法）二次函数应用考点1、二次函数图像2、二次函数图像的性质3、几种二次函数之间的图像变换规律4、解析式-通过二次函数过的点的坐标求解析式5、一般式，顶点式，配方法转换6、图像顶点，对称轴，开口方向，最大最小值7、一次函数与二次函数结合的图像问题，求解析式问题
2、8、函数的应用（用二次函数求解最值问题基本要求1、掌握二次函数的定义，条件。2、掌握二次函数的图像，图像性质，函数图像的平移。3、掌握通过基本的待定系数法求解二次函数解析式。4、掌握二次函数和一次函数之间的综合运用。5、掌握二次函数的应用，最值问题。说明：求一个实际问题的最值问题，一般是转化为二次函数的问题来解答二次函数概念1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。二次函数的定义域是一切实数2. 二次函数的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项 二次函数之间的图像平移转换1. 平移步骤：将抛物线解析式
3、转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：左加右减，上加下减二次函数的图像1. 二次函数与的比较配方可以得到前者，即，其中2.二次函数图象的画法五点绘图法：抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.3. 二次函数的性质（1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为 对称轴左侧，随的增大而减小，右侧随的增大而增大；当时，有最小值（2）当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为对称轴左侧，随的增大而增大； 对称轴右侧，随的增大而减小；当时，有最大值抛物线与坐标轴的交点（1）与轴的交点为(0, ).令（2）与轴的交点： 二次函数的图
4、像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.求根公式强化记忆“=”“韦达定理”（根与系数关系）+=,并且二次函数的图像与轴的两个交点A,B间距离AB= （3）抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.补充：用待定系数法求二次函数解析式函数特征函数解析式适用类型一般式已知无特征的三点，解三元一次方程组顶点式已知顶点或对称轴，解二元一次方程组，（，）是顶点交点式已知与x轴两交点坐标，解一元一次方程，与轴交于两点A(,0),B(,0)对称式已知纵坐标相同的两点，解一元一次方
5、程, , 是对称点的横坐标，m是对称点的纵坐标。2017年初三一模真题解析：【考点一】二次函数图像的定义及性质例题：1二次函数的定义域为（ ）、； 、为一切实数； 、； 、为一切实数。【答案】 B 【解析】对于x取任意实数，y都有相对应的数值。2二次函数的图像如图，则一次函数的图像经过（ ）、第一、二、三象限； 、第一、二、四象限；、第二、三、四象限； 、第一、三、四象限【答案】 C 【解析】由图像可以知道m0，n0，所以一次函数过二、三、四象限。3如果二次函数的图像开口向下，那么的值可以是 （只需写一个）；【答案】 a=-1 【解析】二次函数图像开口向下，那么a0，所以a可以取任意负数。4如
6、果二次函数的图像经过原点，那么的值是 ；【答案】 -1 【解析】只需把（0,0）代入，求出m值即可。5下列函数中，关于的二次函数是（ ）（A）； （B）； （C）； （D）【答案】 B 【解析】二次函数必须是含有未知数，并且未知数的最高指数是2的函数。6如果抛物线的开口向上，那么的取值范围是 ；【答案】 m1 【解析】二次函数图像开口向上，那么（m-1）0，求出m即可。试一试：1如果点在二次函数的图像上，那么的值等于 ；【答案】 12 2.已知抛物线与轴的交点坐标是（0，-3），那么=_.【答案】 -3 3.已知抛物线经过点（-2，），那么=_.【答案】 8 【考点二】二次函数图像的“增减性”
7、例题： 1已知，是抛物线的图像上的两点，则 （填不等号）；【答案】 【解析】二次函数的二次项系数是小于0的，即开口向下，且函数的对称轴是直线x=1，所以，对于在对称轴右侧的y是随x的增大而减小的。试一试：1.已知二次函数，如果y随x增大而减小，那么x的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】 A 【考点三】二次函数的对称轴和顶点坐标例题： 1如果点和点都在抛物线的图像上，那么抛物线的对称轴是直线 ；【答案】 直线x=2 【解析】A、B两点的纵坐标是一样的，所以就是关于函数对称轴对称的两个点，所以求1+3的平均数即可。2下列抛物线中，顶点坐标为的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）；【
8、答案】 C 【解析】参照函数解析式的顶点式即可。3一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线。如果网球距离地面的高度（米）关于运行时间（秒）的函数解析式为，那么网球到达最高点时距离地面的高度（ ）（A）1米；（B）米；（C）1.6米；（D）1.8米；【答案】 D 【解析】求二次函数的顶点的坐标，可以用配方法求出函数解析式的顶点式，或者利用顶点坐标公式代入也可。4如果抛物线的最高点是原点,那么实数的取值范围是_.【答案】 m1 【解析】二次函数即有最高点，那么函数开口向下，所以（m-1）0，求出即可。5抛物线的对称轴是_.【答案】 y轴 【解析】原题目中的二次函数解析式是顶点式，易
9、。6抛物线在直线右侧的部分是_.(从“上升的”或“下降的”中选择).【答案】 上升的 【解析】配方法求出二次函数解析式的顶点式，可以知道对称轴，再结合开口方向，即可判断。7已知抛物线与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是2，那么a=_。【答案】 12 【解析】利用顶点坐标公式代入即可求出a。8二次函数的图像的顶点坐标是_.【答案】 （4，-6） 【解析】利用顶点坐标公式代入即可求出，或者用配方法求出，易。试一试：1如果、在抛物线上，那么的值为_.【答案】 3 2在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是（ ）A. （-1，2） B. （1，2） C. （2，-1） D. （2，1）【答案】 B 3已
10、知二次函数，那么该二次函数的图像的对称轴是_.【答案】 直线x=1 【考点四】二次函数图像的平移例题： 1二次函数向左平移二个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的函数解析式是 ；【答案】 【解析】二次函数的平移最好配方成顶点式，然后左+右-（对应X）上+下-（对应C）2.将抛物线向右平移1个单位长，再向上平移2个单位长，所得到的抛物线的表达式为（ ）A、 B、C、 D、【答案】 C 【解析】二次函数的平移最好配方成顶点式，然后左+右-（对应X）上+下-（对应C）3如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是，那么原抛物线的表达式是（ ）A、 B、 C、 D、
11、【答案】 C 【解析】二次函数的平移最好配方成顶点式，然后左+右-（对应X）上+下-（对应C）试一试：1将抛物线沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于C，顶点为D，求：（1）点B、C、D坐标； （2）BCD的面积【答案】 B(5,0)，C(0，-5)，D(2，-9)15 2将抛物线平移后与抛物线重合，抛物线上的点A(2，3)同时平移到点，那么点的坐标为（ ）A.(3，4) B.(1，2) C.(3，2) D.(1，4)【答案】 C 【考点五】用待定系数法求二次函数的解析式例题：1直线交轴于点，与轴交于点，过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，（在点的左边），如果，求
12、抛物线的解析式，并根据函数图像指出当的函数值大于0的函数值时的范围。【答案】 X3或x8【解析】利用一次函数解析式求出A、B两点坐标，然后BC=5，C在x轴上，可以求出点C的坐标，求出二次函数的解析式；再解不等式即可。试一试：1已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：10234522510（1）根据上表填空：这个抛物线的对称轴是 ，抛物线一定会经过点， ； 抛物线在对称轴右侧部分是 （填“上升”或“下降”）（2）如果将这个抛物线向上平移使它经过点，求平移后的抛物线的表达式。【答案】 直线x=1；10；上升； 2抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示：-2-10120466
13、4从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）（A）抛物线与轴的一个交点坐标为；（B）抛物线与轴的交点坐标为；（C）抛物线的对称轴是直线； （D）抛物线在对称轴左侧部分是上升的.【答案】 C1. 二次函数的开口_，对称轴是_,顶点坐标是_；当时，则_ （填“”、“=”或“0，b0 abc0A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】 C25在同一直角坐标平面内，直线和抛物线的大致图像，只可能是() 【答案】 B26已知二次函数的顶点是A，与x轴的两个交点为B、C（B点在C点的左侧)与y轴的交点为D，求四边形ABCD的面积【答案】 我的总结重在让学生进行总结与回顾，老师适当引导。1、二次函数
14、的开口_，对称轴是_,顶点坐标是_；当时，则_ （填“”、“=”或“ 2、已知二次函数，下列结论中正确的个数有() 图象的顶点在原点 图象的对称轴是y轴 图象与x轴必有交点 yc一定是它的最小值A. 1个 B2个 C3个 D4个【答案】A 3、要将二次函数的图像平移成的图像，只需将图像()A. 向上平移2个单位 B. 向下平移2个单位C. 向右平移2个单位 D. 向左平移2个单位【答案】 D 4、如图所示，若，则函数与在同一坐标平面中的大致图像是() AB C D【答案】 C 5、已知二次函数图像的顶点在第三象限，那么m的取值范围_【答案】 6、抛物线的顶点恰好在直线上，那么顶点坐标是_，的值
15、为_【答案】（-1，-2）、 1 7、已知抛物线的顶点在第三象限，求的取值范围【答案】 8、如果抛物线与轴的交点为，那么的值是 【答案】 1 9、一个二次函数具有下列性质：（1）图像经过点；（2）当时，函数值随自变量的增大而增大，当时，函数值随自变量的增大而减小. 试写出一个满足上述两条性质的函数解析式. 【答案】答案不唯一，如 10在同一直角坐标平面内，直线和抛物线的大致图像，只可能是() 【答案】 B 11已知二次函数的顶点是A，与x轴的两个交点为B、C（B点在C点的左侧)与y轴的交点为D，求四边形ABCD的面积 【答案】 y2x23x12(x2x)12(x2x)12(x)2 A(，)2x23x10 (x1)(2x1)0x1，x B(1，0)C(，0)又点D(0，1) SABCDSABCSDBC1即四边形ABCD的面积为12.已知二次函数求（1）这个二次函数的图像与轴的两个交点A、B之间的距离；（2）若图像上另有一点，求ABM的面积【答案】（1） 设，则 点A点B AB（2）ABM的底边为AB时高为点M纵坐标的绝对值 M在二次函数图象上17 / 17
