1、精锐教育1对3辅导讲义学员姓名： 学科教师：年 级： 辅导科目：授课日期时 间主 题第15讲-二次函数与三角形（等腰、直角、相似）学习目标1运用二次函数图像的性质结合等腰三角形的性质，进行分类讨论；2运用二次函数图像的性质结合直角三角形的性质，进行分类讨论：3. 运用二次函数图像的性质结合相似三角形的性质，进行分类讨论.教学内容1.解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题
2、联系在一起如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到2怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）3.相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验， 应用判定定理1解题，先
3、寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，【知识梳理1】一、二次函数的图象及性质1.和共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：）当时，抛物线的对称轴为轴；当、同号时，对称轴在轴的左侧；当、异号时，对称轴在轴的右侧的大小决定抛物线与轴交点的位置（抛物线与轴的交点坐标为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴2.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对
4、称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点3.点的坐标设法.（1）二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点（2）点关于的对称点为4 二次函数的性质：抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（ 轴）函数的图像与的符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点；5 二次函数或（）的性质开口方向： 对称轴：（或）顶点坐标：（或）【知识梳理2】相似三角形的判定：两角对应相等两三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似三边对应成比例，两个三角形相似直角三角形相似的判定定理：直角三角
5、形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。五、相似三角形的性质定理：定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.定理2：相似三角形周长比等于相似比.定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方.【例题精讲】例1. 如图1-1，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C动直线EF（EF/x轴）从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点
6、O运动是否存在t，使得BPF与ABC相似若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由【解析】BPF与ABC有公共角B，那么我们梳理两个三角形中夹B的两条边ABC是确定的由，可得A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4)于是得到BA4，BC还可得到BPF中，BP2t，那么BF的长用含t的式子表示出来，问题就解决了在RtEFC中，CEt，EF2t，所以因此于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：当时，解得（如图1-2）当时，解得（如图1-3） 例2. 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线yax2bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AOBO2，AOB120（1）求这条抛物线的解
7、析式；（2）连结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标ABC与AOM中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入第（1）题求出抛物线的解析式，得到顶点M的坐标，为第（2）题求AOM的大小作铺垫；求得了AOM的大小，第（3）题暗示了要在ABC中寻找与AOM相等的角【解析】（1）如图2-2，过点A作AHy轴，垂足为H容易得到A再由A、B(2,0)两点，可求得抛物线的解析式为（2）由，得顶点M 所以所以BOM30所以AOM150来源:Zxxk.Com图2-2（3）由A、B(2,0)，可得ABO30来源:Zxxk.Com因此当点C在点B右侧时，ABCAOM1
8、50所以ABC与AOM相似，存在两种情况：当时，此时C(4,0)（如图2-3）当时，此时C(8,0)（如图2-4） 图2-3 图2-4【试一试】1.如图3-1，二次函数yx23x的图象经过点A(1,a)，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D在y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD求坐标平面内使EODAOB的点E的坐标；来源:学+科+网Z+X+X+K图3-1【解法一】点A、D、B都是确定的，可以求得A(1, 4)，D(4, 4)，B(2,2)所以，EODAOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3列方程由，得所以，K设点E的坐标为(x, y)，根据EO
9、268，DE2180，列方程组解得 所以点E的坐标为(8,2)或(2, 8)上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系【解法二】如图3-2，AOB是确定的，AOB与EOD有公共点O，OBOD12，BOD90如果EODAOB，我们可以把AOB绕着点O顺时针旋转，使得点B落在OD上，此时旋转角为90，点B恰好落在OD的中点按照这个运动规则，点A(1, 4) 绕着点O顺时针旋转90，得到点A(4,1)，点A是线段OE的中点，因此点E的坐标为(8,2)如图3-3，点E(8,2)关于直线OD（即直线yx）对称的点为E(2,8)图3-2 图3-3【知识梳理2】等腰三角形的性质1.等腰三角形
10、的两个底角相等（简称“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。等腰三角形的判定1. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）。【例题精讲】例2. 如图，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P(1)求证：MNNP为
11、定值；(2)若BNP与MNA相似，求CM的长；(3)若BNP是等腰三角形，求CM的长思路:1第（1）题求证MNNP的值要根据点N的位置分两种情况这个结论为后面的计算提供了方便2第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似3第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况4探求等腰三角形BNP，N在AB上时，B是确定的，把夹B的两边的长先表示出来，再分类计算【解析】 (1)如图2，图3，作NQx轴，垂足为Q设点M、N的运动时间为t秒在RtANQ中，AN5t
12、，NQ4t ，AQ3t在图2中，QO63t，MQ105t，所以MNNPMQQO53在图3中，QO3t6，MQ5t10，所以MNNPMQQO53(2)因为BNP与MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似如图4，BNPMNA，在RtAMN中，所以解得此时CM 图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，即所以当N在AB上时，在BNP中，B是确定的，()如图5，当BPBN时，解方程，得此时CM()如图6，当NBNP时，解方程，得此时CM()当PBPN时，解方程，得t的值为负数，因此不存在PBPN的情况如
13、图7，当点N在线段AB的延长线上时，B是钝角，只存在BPBN的可能，此时解方程，得此时CM 图5 图6 图7如图6，当NBNP时，NMA是等腰三角形，这样计算简便一些【试一试】在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM/x轴（如图1所示）点B与点A关于原点对称，直线yxb（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD（1）求b的值和点D的坐标；（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标；图1思路:1第（1）题情景简单，内容丰富，考查了对称点的坐标特征、待定系数法、代入求值、数形结合2分三种情况讨论等腰三角形POD的存在性
14、，三个等腰三角形的求解各具特殊性【解析】（1）因为点A的坐标为（1，0），点B与点A关于原点对称，所以点B的坐标为（1，0）将B（1，0）代入yxb，得b1将y4代入yx1，得x3所以点D的坐标为（3，4）（2）因为D（3，4），所以OD5，如图2，当PDPO时，作PEOD于E在RtOPE中，所以此时点P的坐标为如图3，当OPOD5时，点P的坐标为如图4，当DODP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为 图2 图3 图4【知识梳理3】直角三角形全等的判定1定理1：如果直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L）2其他全等三角形的判定定理对于直角三角形仍
15、然适用直角三角形的性质1定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2推论1：在直角三角形中，如果一锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半3推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一般，那么这条直角边所对的角等于 勾股定理1定理：在直角三角形中，斜边大于直角边2勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方3勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形两点间距离公式1如果直角坐标平面内有两点 、 ，那么 、两点的距离 【例题精讲】例3. 如图，在ABC中，ABAC10，cosBD、E为线段BC上的两个动点，且DE3（E在D右
16、边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止过E作EF/AC交AB于F，连结DF设BDx，如果BDF为直角三角形，求x的值图【解析】BDF中，B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况如果把夹B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了如图1-2，作AHBC，垂足为H，那么H是BC的中点在RtABH中，AB10，cosB，所以BH8所以BC16由EF/AC，得，即所以BF图1-2 图1-3 图1-4如图1-3，当BDF90时，由，得解方程，得x3如图1-4，当BFD90时，由，得解方程，得如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A(1, 0)、B(3,
17、0)两点，与y轴交于点D，顶点为C（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MNx轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由图3【解析】AMN是直角三角形，因此必须先证明BCD是直角三角形一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程（1）抛物线的解析式为yx24x3（2）由yx24x3(x2)21，得D(0,3)，C(2, 1)如图3-2，由B(3, 0)、D(0,3)、C(2, 1)，可知CBO45，DBO45所以CBD90，且图3-2 图3-3 图3-4设点M、N的横坐标为x，那么NMyM，而NA的长要
18、分N在A的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”：当N在A右侧时，NAx1，分两种情况列方程：当时，解得此时M（如图3-3）当时，解得x6此时M(6,15)（如图3-5）当N在A左侧时，NA1x，也要分两种情况列方程：当时，解得1，不符合题意（如图3-4）当时，解得x0，此时M(0,3)（如图3-6）图3-5 图3-6如图，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，若四边形A ABB为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得
19、以点B、C、D为顶点的三角形与ABC相似 1点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B 的坐标、AC和BC的长2抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变3探求ABC与BCD相似，根据菱形的性质，BACCBD，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论【解析】 (1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线上，所以 解得，(2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB5因为四边形A ABB为菱形，所以A ABB AB5因为，所以原抛物线的对称轴x1向右平移5个单位后，对应的直线为x4因此平移后的抛物线的解析式为图2(3) 由点A (-2，4) 和点B (6，0)，可得A B如图2，由AM/CN，可得，即解得所以根据菱形的性质，在ABC与BCD中，BACCBD如图3，当时，解得此时OD3，点D的坐标为（3，0）如图4，当时，解得此时OD，点D的坐标为（，0） 图3 图4注意：在本题情境下，我们还可以探求BCD与AB B相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况我们也可以讨论BCD与CB B相似，这两个三角形有一组公共角B，根据对应边成比例，分两种情况计算二次函数与角度 锐角三角比面积等情况的综合 16 / 16
