1、学科教师辅导讲义学员编号：年级：四年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第05讲-最优化问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标学习了解最优化问题；能解决常见的最优化问题；通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。授课日期及时段T（Textbook-Based）同步课堂知识梳理一、最优化问题 在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去
2、探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。以上的问题实际上都是“最优化问题”二、时间最优问题策略在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事；（2）做每件事需要的时间；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。典例分析考点一：烧水问题例1、明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？【解析】经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。 水壶不洗，不能烧开水，
3、因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示： 从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需15分钟。例2、妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？【解析】经验表明，能同时做的事，尽量同时做，这样可以节省时间。 水壶不洗，不能烧开水，因此，洗水壶和烧开水不能同时进行。 而洗茶壶、洗茶杯和拿茶叶与烧开水可以同时进行。 根据以上的分析，可以这样安排：先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，同时
4、洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，共需要16分钟。考点二：煎饼问题例1、贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？【解析】先放第一、二两个烧饼贴第一面，过3分钟后，拿下第一个，并把第二个翻过去，并放上第三个烧饼；过2分钟拿下第二个，并放第一个烧饼，过1分钟把第三个烧饼翻过来；再过1分钟取下第一个烧饼，再过1分钟三个烧饼全贴完了，只用了8分钟。32111=8分钟例2、用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟，烙第二面需要1分钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？【解析】一共需要5分钟。第一次：同
5、时放两张大饼烙2分钟；第二次：将其中的一张反过来再烙1分钟，把另外一张取出，把第三张放入烙1分钟；第三次：将烙熟的一张拿出，把取出的那张放入另外一面烙1分钟，第三张也烙1分钟：第四次：将第三张的另外一面再烙1分钟。考点三：收割问题例1、甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时用一台收割机进行收割，甲的麦地需要收割4小时，乙的麦地需要收割1小时，丙的麦地需要收割3小时，丁的麦地需要收割2小时。怎样安排四人的顺序，他们花的总时间最少？最少时间是多少？【解析】所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和，因为各自收割的时间不变，所以在安排收割的顺序时，应该使等的时间尽可能少，即应该安排收割时间
6、少的人先用，顺序是：乙、丁、丙、甲，过程可用下表表示： 从表中可以看出，四人收割的时间为：1234=10小时，三人等的时间为：13223=10小时，所以，最少时间为1010=20小时。例2、五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？【解析】校医应该给治疗时间最短的先治病，治疗时间长的最后治疗，才能使三位同学在卫生室的时间总和最短。这样，三位同学留在卫生室的时间分别是：李佳1分钟，赵1+3=4分钟，赵明1+3+5=
7、9分钟。时间总和是1+4+9=14分钟。考点四：过河问题例1、 小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？【解析】要使过河时间最少，应抓住以下两点：（1）同时过河的两匹马相差时间尽可能小些，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间；（2）过河后应骑时间少的那匹马回来。因此，赶马的顺序是：小明先骑甲马赶乙马一起过河，再骑甲马返回，共需32=5分钟；然后骑丙马赶丁马一起过河后，再骑乙马返回，73=10分钟；最后骑在甲马背上赶乙马一起过河，不再回来，共需3分钟。所以，
8、4匹马都赶到对岸去最少时间是5103=18分钟。例2、明明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛过河需2分钟，丙牛过河需5分钟，丁牛过河需6分钟。每次只能赶两头过河，要把4头占都赶到对岸去，最少要多少分钟？【解析】此题较复杂，应抓住每次时间接近的两头牛过河，同时回来尽量骑时间短的牛返回这两个关键，进而分析解答即可先骑1分钟的，带着2分钟的过去，用时2分；然后骑一分钟的回来，用时1分；然后骑5分钟的带着6分钟的过去，用时6分；然后骑2分钟的回来，用时2分；最后骑着1分钟带着2分钟的过去，用时2分；一共13分钟考点五：其他最优问题例1、在一条公路上每隔50千米有一个粮
9、库，共4个粮库。甲粮库存有10吨粮食，乙粮库存有20吨粮食，丁粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的。现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才行？ 【解析】这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越多。反之，如果移动的货物重量小路程近，花费的费用就少。在本题中，各粮库之间的距离相等都是50千米，一般原则是“少往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比较节约，甲、乙两仓库粮食合起来是30吨，还不如丁粮库的粮食多，所以应将甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用110503=1500元，乙粮库需要1205020=2000元，共用15002000=
10、3500元。例2、用18厘米长的铁丝围成各种长方形，要求长和宽的长度都是整厘米数。围成的长方形的面积最大是多少？【解析】根据题意，围成的长方形的一条长与一条宽的和是182=9厘米。显然，当长与宽的差越小，围成的长方形的面积越大。又已知长和宽的长度都是整厘米数，因此，当长是5厘米，宽是4厘米时，围成的长方形的面积最大：54=20平方厘米。例3、用36这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。【解析】解决这个问题应考虑两点：（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。所以应把6和5这两个数字放在十位，4和3放在个位。根据“两个因数的差越小，积越大”的规律，3应放在6的后
11、面，4应放在5的后面。6354=3402.P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 课堂狙击1、玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟，烧开水要12分钟，买茶叶5分钟，洗茶杯要1分钟，冲茶要1分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？【解析】洗水壶和烧开水要一起，冲茶要等烧完后，也就是2+12，之后再加上要冲茶的一分钟（烧开水同时可买茶叶洗茶杯）12+2+1=152、烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟？【解析】6分钟，把两片面包放入烤架烤2分钟，烤好一面后拿出一片，另一片翻过来，放入没烤的
12、一片2分钟。等烤好后，把烤好的拿出来，放入刚才拿出来的那片，和架子上的另一片面包一起烤另一面2分钟，搞定收工。3、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。怎样安排，使3人所花的时间最少？最少时间是多少？【解析】按时间从短到长，即丙、甲、乙的次序安排谈话，才能使3人所花的总时最短。当丙在谈的时候，甲和乙在等待，所以3个人都在，一共花费83分钟；当甲在谈的时候，乙在等待，丙走了，所以2个人在，一共花费102分钟；当乙在谈的时候，丙和甲都走了，所以只有1个人在，一共花费161分钟；可得：3人所花的总时间最短为83+102+161=60分钟。4、卫
13、生室里有四名同学等候医生治病，甲打针要3分钟，乙换纱布需要4分钟，丙涂红药水需要2分钟，丁点眼药水需要1分钟。怎样安排，他们在医院等候的时间和最少？最少是多少分？【解析】医生治的顺序是：丁、丙、甲、乙。 等候的时间和为：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）=20分钟5、一条公路有四个储油站，它们之间都相隔100千米。甲储油站有50吨油，乙储油站储有10吨油，丙储油站有20吨油，丁储油站是空的。现在如果想把所存的油集中于一个储油站，每吨油运1千米要2元运费，那么最少要花多少运费？【解析】应该将乙、丙的集中去甲，所花的运费最少。 丙需用220200=8000元，乙粮库需要210100
14、=2000元： 最少共用80002000=10000元。6、小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁4匹马，甲马过河需7分钟，乙马过河要2分钟，丙马过河要3分钟，丁马过河要8分钟。每次只能两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要多少分钟？【解析】赶马的顺序是：先骑乙马赶丙马一起过河，再骑乙马返回，共需32=5分钟；然后骑甲马赶丁马一起过河后，再骑丙马返回，38=11分钟；最后骑在乙马背上赶丙马一起过河，不再回来，共需3分钟。所以，4匹马都赶到对岸去最少时间是5113=19分钟。7、一个长方形的周长是20分米，它的面积最大是多少？【解析】一个四边形，周长一定的条件下，以正方形的形式出现，其面积最
15、大。 那么一个周长为20的正方形，面积非常简单：55=25平方分米.8、用58这四个数字分别组成两个两位数，使这两个两位数的乘积最大。【解析】（1）尽可能把大数放在高位；（2）尽可能使两个数的差最小。 所以85乘76，首先最高位越大越好，个位数小的和十位数大的在一起，这样可以使积最大 课后反击1、小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间5分钟，把衣服和水放入洗衣机要1分钟，洗衣服自动洗涤要12分钟，擦鞋要3分钟。怎样合理安排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了？【解析】把衣服和水放入洗衣机的时间1分钟加上洗涤的12分钟就是所需要花的时间。整理房间和擦鞋可以在洗衣服的12分钟内完成。所
16、以13分钟后可以出发。2、小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面要1分钟，可小红烙6个饼只用了5分钟，她是怎么做的？【解析】先放4个一起烙2分钟后翻面，取出其中两个，放两个新的再烙1分钟，一开始的两个饼就烙好了，然后翻面，把之前取出的2个反面放入烙1分钟可以取出，再烙一分钟剩下的2个。一共花费5分钟。3、三个顾客到同一个柜台去买东西，甲需要用4分钟，乙需要用6分钟，丙需要用2分钟。怎样安排他们购买的顺序，使他们所花的总时间最少？最少是多少？【解析】这个问题主要是找出减少三人总等待时间的方法,所以用的时间少,就可以减少别人的等待时间,就是说他们的顺序应该是
17、丙、甲、乙.总共用时是2+2（甲、乙等待时间）+4+4（乙等待时间）+6=18。4、一条公路有三所小学分别为A、B、C，在什么地方设一个汽车站，才能使用三个学校的学生上学放学所行的总路程最少？ 【解析】设在B站。5、小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要1分钟，乙牛过河要2分钟，丙牛过河要3分钟，丁牛过河要4分钟，戊牛过河要5分钟，己牛过河要6分钟。每次只能三头牛过河，要把6头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？【解析】分析：要想用时最少，先让过河用时多的先过，首先骑甲赶戊和己，骑甲回：6+1=7（分钟），再骑甲赶丙和丁，骑甲回需：4+1=5分钟，最后再骑甲赶乙需2分钟最少
18、：7+5+2=14分钟。 6、甲、乙、丙、丁四人同时到一水龙头处用水，甲洗托把需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙洗衣服需要10分钟，丁用桶注水需要1分钟。怎样安排四人用水的次序，使他们所花的总时间最少？最少时间是多少？【解析】顺序是丁、乙、甲、丙； 一共所花时间：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+10）=26分钟。7、一个长方形的面积是36平方厘米，并且长和宽的长度都是整厘米数。这个长方形的周长最长是多少厘米？【解析】36=361=182=123=94=66；所以长方形的长和宽分别是：长36厘米、宽1厘米；长18厘米、宽2厘米；长12厘米、宽3厘米；长9厘米、宽4厘米；长6厘米、宽
19、6厘米这个长方形的周长最长是：（36+1）2=372=74（厘米），8、用38这六个数字分别组成两个三位数，使这两个三位数的乘积最大。【解析】864753=650592，854763=651602，853764=651692； 可知853764最大，值为651692 规律：首位分别取最大，两个数差距越小，积越大，得853764最大直击赛场1、有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升与5公升问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？ （上海市数学竞赛试题）【解析】大卡车每吨耗油量为105=2（公升）；小
20、卡车每吨耗油量为52=2.5（公升）为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于157=531+2，因此，最优调运方案是：选派31车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油1031+51=315（公升）2、用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼如果煎1个饼需要2分钟（假定正、反面各 需1分钟），问煎1993个饼至少需要几分钟？ （数学解题能力展示大赛）【解析】由于1993数目较大，直接入手不容易我们不妨先从较小的数目来进行探索规律如果只煎1个饼，显然需要2分钟；如果煎2个饼，仍然需要2分钟；如果煎3个饼，初学者看来认为至少需要4分钟：因为先煎2个饼要2分钟；再单独煎第3
21、个饼，又需要2分，所以一共需要4分钟但是，这不是最佳方案最优方法应该是：首先煎第1号、第2号饼的正面用1分钟；其次煎第1号饼的反面及第3号饼的正面又用1分钟；最后煎第2号、第3号饼的反面再用1分钟；这样总共只用3分钟就煎好了3个饼如果煎1993个饼，最优方案应该是：煎第1、2、3号饼用“分析”中的方法只需要3分钟；煎后面1990个饼时，每两个饼需 要2分钟，分19902=995（次）煎完，共需要2995=1990（分钟）；这样总共需要3+1990=1993（分钟）S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾（1）了解统筹规划的一般步骤；（2）理解各种题型的解答方法；（3）掌握重点题型。名师点拨重点和难点突破：（1）掌握优化的思想，合理统筹安排操作程序，就能够节省时间，提高效率；（2）掌握常见的题型，学会独立思考学霸经验 本节课我学到了 我需要努力的地方是
