1、2017-2018学年青海师大二附中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）2（）A0B2C2iD2+2i2（5分）如果zm（m+1）+（m21）i为纯虚数，则实数m的值为（）A1B0C1D1或13（5分）条件p：复数a+bi（a，bR）是纯虚数，条件q：a0，则p是q的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为1+2i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数为（）A2iB2+iC1+2iD1+2i5（5分）设
2、函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）x2+2xf（1），则f（0）等于（）A0B4C2D26（5分）下列结论正确的是（）A若ycosx，ysinxB若yex，则yxex1C若y，则D若y，则7（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（）A1个B2个C3个D4个8（5分）设函数f（x）2x+1（x0），则f（x）（）A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数9（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：3是函数yf（x）的极值点；1是函数yf（x）的最小值；yf（x）在x0处
3、切线的斜率小于零；yf（x）在区间（3，1）上单调递增则正确命题的序号是（）ABCD10（5分）函数f（x）x33x（|x|1）（）A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值11（5分）已知不等式x2ax+40对于任意的x1，3恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，4B4，+）C（，5D5，+）12（5分）函数f（x）lnxx2的图象大致是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知a，bR，i为虚数单位，若ai2+bi，则a+b 14（5分）函数f（x）x315x233x+6的单调减区间为 15（5分）已知f（
4、x）x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为 16（5分）如图，函数yf（x）的图象在点P（4，f（4）处的切线方程是y2x+9，则f（4）+f（4）的值为 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）实数m取什么值时，复数z2m+（4m2）i在复平面内对应的点：（1）位于虚轴上（2）位于第一、三象限18（12分）设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为多少？19（12分）一火车锅炉每小时消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需2
5、00元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使甲城开往乙城的总费用最少？20（12分）已知函数f（x）x312x+a（1）求f（x）的单调区间（2）若f（x）在区间1，3上的最大值为10，求它在该区间上的最小值21（12分）已知a是实数，函数f（x）x2（xa）（）若f（1）3，求a的值及曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）在区间0，2上的最小值22（12分）设函数f（x）ax3+bx+c（a0）为奇函数，其图象在点（1，f（1）处的切线与直线x6y70垂直，导函数f（x）的最小值为12（1）求a，b，c的值；（2）求函数f（x）的单调递减区间，并求函数
6、f（x）在1，3上的最大值和最小值2017-2018学年青海师大二附中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1（5分）设i为虚数单位，则复数（1+i）2（）A0B2C2iD2+2i【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解：（1+i）21+i2+2i11+2i2i，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2（5分）如果zm（m+1）+（m21）i为纯虚数，则实数m的值为（）A1B0C1D1或1【分析】根据纯虚数的定义判断即可【解答】解：由题意得：，解得：m0，故选：B【点评】本题考查
7、了纯虚数的定义，考查对应思想，是一道基础题3（5分）条件p：复数a+bi（a，bR）是纯虚数，条件q：a0，则p是q的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】求出复数a+bi（a，bR）是纯虚数的条件，与条件q：a0，比较判断充要条件的关系【解答】解：p：复数a+bi（a，bR）是纯虚数，必须a0，b0；又q：a0，显然pq，但是由q推不出p，p是q的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，充要条件的判断方法，是基础题4（5分）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为1+2i，若点A关于直线yx的对称点为B，则向量对应的复数
8、为（）A2iB2+iC1+2iD1+2i【分析】由已知求得A的坐标，由对称性得到B的坐标，则答案可求【解答】解：由题意，点A（1，2），点A关于直线yx的对称点B（2，1），则向量对应的复数为2+i故选：B【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题5（5分）设函数f（x）的导函数为f（x），且f（x）x2+2xf（1），则f（0）等于（）A0B4C2D2【分析】先求出导函数，令导函数中x1求出f（1），将f（1）代入导函数，令导函数中的x0求出f（0）【解答】解：f（x）x2+2xf（1），f（x）2x+2f（1）f（1）2+2f（1）解得f（1）2f（x）2x4f（0）4故选：B
9、【点评】求函数在某点处的导数值，一个先求出函数的导函数，再令导函数中的自变量取自变量的值，求出某点处的导数值6（5分）下列结论正确的是（）A若ycosx，ysinxB若yex，则yxex1C若y，则D若y，则【分析】根据题意，依次分析选项，计算选项中函数的导数，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若ycosx，则ysinx，A错误；对于B，若yex，则yex，B错误；对于C，若yx1，则y（x2），C正确；对于D，若y，则y，D错误；故选：C【点评】本题考查导数的计算公式，关键是掌握导数的计算公式7（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）
10、内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（）A1个B2个C3个D4个【分析】利用导函数的图象及其取得极大值的充分条件即可得出【解答】解：导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，可得：函数f（x）在（a，b）内的极大值点为A，C，共有2个故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）设函数f（x）2x+1（x0），则f（x）（）A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数【分析】利用基本不等式求最值时，一定要注意满足的条件，不是正数提出负号后再用基本不等式【解答】解：x0，当且仅当即x取等号故选：A【点评】利用基本不等式
11、求最值，注意“一正”“二定”“三相等”要同时满足9（5分）如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：3是函数yf（x）的极值点；1是函数yf（x）的最小值；yf（x）在x0处切线的斜率小于零；yf（x）在区间（3，1）上单调递增则正确命题的序号是（）ABCD【分析】根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点关系，结合图象判断【解答】解：根据f（x）0，f（x）0，可以确定函数的增区间，减区间，切线斜率的正负由导函数yf（x）的图象，可判断，f（x）0，x3x1，3的左边负右边正，两边互为异号，所以可判断f（x）单调性在（，3）为上减函数，（3，1）为增函数，由上述条件可判断：
12、3是yf（x）的极值点；yf（x）在区间（3，1）上单调递增两个结论正确1函数yf（x）的最小值；yf（x）在x0处切线的斜率小于零；两个结论错误故选：B【点评】本题考查了导数的图象在判断极值，单调区间中的运用，导数的几何意义的理解10（5分）函数f（x）x33x（|x|1）（）A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也无最小值【分析】求得f（x）的导数，判断f（x）在（1，1）的单调性，即可得到结论【解答】解：函数f（x）x33x（|x|1）的导数为：f（x）3x233（x1）（x+1），当1x1时，f（x）0，f（x）递减，则f（x）即无最小值，也无
13、最大值，故选：D【点评】本题考查函数的最值的判断，注意运用导数判断单调性，考查运算能力，属于基础题11（5分）已知不等式x2ax+40对于任意的x1，3恒成立，则实数a的取值范围是（）A（，4B4，+）C（，5D5，+）【分析】由已知中不等式x2ax+40对于任意的x1，3恒成立，可得x+a对于任意的x1，3恒成立，利用基本不等式求出x+的值域，即可得到实数a的取值范围【解答】解：若不等式x2ax+40对于任意的x1，3恒成立，则x2+4ax对于任意的x1，3恒成立，即x+a对于任意的x1，3恒成立，当x1，3时，x+4，5故a4即实数a的取值范围是（，4故选：A【点评】本题考查的知识点是函数
14、恒成立，其中根据已知结合不等式的基本性质，将不等式x2ax+40对于任意的x1，3恒成立，转化为x+a对于任意的x1，3恒成立，是解答本题的关键12（5分）函数f（x）lnxx2的图象大致是（）ABCD【分析】由已知中函数的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案【解答】解：（x0）（x0）则当x（0，1）时，f（x）0，函数f（x）为增函数；当x（1，+）时，f（x）0，函数f（x）为减函数；当x1时，f（x）取最大值，f（1）；故选：B【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质，其中利用导数分析出函数的性质，是解答本题的关键二、填空题（
15、本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）已知a，bR，i为虚数单位，若ai2+bi，则a+b1【分析】利用复数相等即可得出【解答】解：ai2+bi，a2，1b，a+b211故答案为：1【点评】本题考查了复数相等，属于基础题14（5分）函数f（x）x315x233x+6的单调减区间为（1，11）【分析】要求函数的单调减区间可先求出f（x），并令其小于零得到关于x的不等式求出解集即可【解答】解：f（x）3x230x333（x210x11）3（x+1）（x11）0，解得1x11，故减区间为（1，11）故答案为：（1，11）【点评】此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力15（5分）已知f
16、（x）x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为a3或a6【分析】先求出函数的导数，根据函数有极大值和极小值，可知导数为0的方程有两个不相等的实数根，通过0，即可求出a的范围【解答】解：函数f（x）x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f（x）3x2+2ax+（a+6），因为函数有极大值和极小值，所以方程f（x）0有两个不相等的实数根，即3x2+2ax+（a+6）0有两个不相等的实数根，0，（2a）243（a+6）0，解得：a3或a6故答案为：a3或a6【点评】本题以函数的极值为载体，考查导数在求函数极值的应用，将函数有极大值和极小值，转化为方程f（x）0有两个不相等的
17、实数根是解题的关键16（5分）如图，函数yf（x）的图象在点P（4，f（4）处的切线方程是y2x+9，则f（4）+f（4）的值为1【分析】由函数在点P（4，f（4）处的切线方程得到切线的斜率，即f（4），再由切线方程求出f（4）的值，则答案可求【解答】解：由图可知，f（4）2，且f（4）24+91，f（4）+f（4）121故答案为：1【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）实数m取什么值时，复数z2m+（4m2）i在复平面内对应的
18、点：（1）位于虚轴上（2）位于第一、三象限【分析】求出复数对应点的坐标，结合P的位置建立不等式关系进行求解即可【解答】解：（1）复数对应的点的坐标为（2m，4m2），若位于虚轴上，则得m0（2）若位于第一、三象限，则2m（4m2）0，则或，即或，得m2或2m0【点评】本题主要考查复数的有关概念以及复数的几何意义，利用复数的几何意义是解决本题的关键18（12分）设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为多少？【分析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式VSh得出h，再根据表面积公式得S3ah+2，再利用导数求解【解答】解：设底边边长为a，高为h，则VSha2h，h，则表面
19、积为S3ah+2，则S，令S0，可得，即a直三棱柱的表面积最小时底面边长为【点评】本题主要考查棱柱、棱锥、棱台、的侧面积和表面积，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题19（12分）一火车锅炉每小时消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使甲城开往乙城的总费用最少？【分析】设出甲、乙两城的距离，火车速度，每小时消耗的煤价值，由速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤价值为40元求出正比例系数，得到总费用y（ x3+200），然后利用导数求出总费用最小时的火车的
20、速度【解答】解：设甲、乙两城相距为a千米，火车速度为xkm/h，每小时消耗的煤价值为p，依题意有pkx3（k为比例常数），由x20，p40，得k，总费用y（x3+200）a（+）（x0），由ya（），令y0解得，x10，当0x时，y0；当x100时，y0，当x时，y取最小值，要使费用最省，火车速度应为km/h【点评】本题考查了函数模型的选择与运用，考查了简单的数学建模思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题20（12分）已知函数f（x）x312x+a（1）求f（x）的单调区间（2）若f（x）在区间1，3上的最大值为10，求它在该区间上的最小值【分析】（1）求得f（x）的导数，令导数大于0，可得
21、增区间；令导数小于0，可得减区间；（2）由f（x）0可得x2，计算f（2），f（1），f（3）可得最值，即可得到所求值【解答】解：（1）f（x）x312x+a的导数为f（x）3x212，由f（x）0，可得x2或x2；f（x）0，可得2x2，则增区间为（，2），（2，+），减区间为（2，2）；（2）由f（x）0可得x2（2舍去），由f（2）824+aa16，f（1）a+11，f（3）2736+aa9，可得f（x）的最大值为a+1110，可得a1，则f（x）的最小值为a1611617【点评】本题考查函数的导数的运用：求单调性和最值，考查方程思想和运算能力，属于基础题21（12分）已知a是实数，函数
22、f（x）x2（xa）（）若f（1）3，求a的值及曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求f（x）在区间0，2上的最小值【分析】（）根据题意，求出函数f（x）的导数，又由f（1）32a3，解可得a的值，进而可得f（3）的值，由直线的点斜式方程分析可得答案；（）根据题意，求出函数f（x）的导数，令f（x）0，解得；分情况讨论x1与x2的大小，可得函数在区间0，2上的单调性，据此求出函数的最值，综合即可得答案【解答】解：（）根据题意，f（x）x2（xa），则f（x）3x22ax，因为f（1）32a3，所以a0当a0时，f（1）1，f（1）3，所以曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线方
23、程为3xy20（）由（）可知，f（x）3x22ax令f（x）0，解得当，即a0，f（x）在0，2上单调递增，从而fminf（0）0当，即a3，f（x）在0，2上单调递减，从而fminf（2）84a当，即0a3，f（x）在上单调递减，在上单调递增，从而综上所述，【点评】本题考查利用导数分析函数的最值以及计算切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题22（12分）设函数f（x）ax3+bx+c（a0）为奇函数，其图象在点（1，f（1）处的切线与直线x6y70垂直，导函数f（x）的最小值为12（1）求a，b，c的值；（2）求函数f（x）的单调递减区间，并求函数f（x）在1，3上的最大值和最小值
24、【分析】（1）先根据奇函数求出c的值，再根据导函数f（x）的最小值求出b的值，最后依据在x1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可；（2）先求导数f（x），在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，求得区间即为单调区间，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值【解答】解：（1）f（x）为奇函数，f（x）f（x），即ax3bx+cax3bxc，c0f（x）3ax2+b的最小值为12，b12又直线x6y70的斜率为，则f（1）3a+b6，得a2，a2，b12，c0；（2）由（1）知f（x）2x312x，f（x）6x2126（x+）（x），列表如下： x （，） （，） （，+） f（x）+ 0 0+ f（x） 增 极大 减 极小 增所以函数f（x）的单调减区间是（，），f（1）10，f（）8，f（3）18，f（x）在1，3上的最大值是f（3）18，最小值是f（）8【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力
