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2017-2018学年青海师大二附中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)含详细解答

1、2017-2018学年青海师大二附中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)1(5分)设i为虚数单位,则复数(1+i)2()A0B2C2iD2+2i2(5分)如果zm(m+1)+(m21)i为纯虚数,则实数m的值为()A1B0C1D1或13(5分)条件p:复数a+bi(a,bR)是纯虚数,条件q:a0,则p是q的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4(5分)在复平面内,O为原点,向量对应的复数为1+2i,若点A关于直线yx的对称点为B,则向量对应的复数为()A2iB2+iC1+2iD1+2i5(5分)设

2、函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)x2+2xf(1),则f(0)等于()A0B4C2D26(5分)下列结论正确的是()A若ycosx,ysinxB若yex,则yxex1C若y,则D若y,则7(5分)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极大值点共有()A1个B2个C3个D4个8(5分)设函数f(x)2x+1(x0),则f(x)()A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数9(5分)如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象,给出下列命题:3是函数yf(x)的极值点;1是函数yf(x)的最小值;yf(x)在x0处

3、切线的斜率小于零;yf(x)在区间(3,1)上单调递增则正确命题的序号是()ABCD10(5分)函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值,但无最小值B有最大值,也有最小值C无最大值,但有最小值D既无最大值,也无最小值11(5分)已知不等式x2ax+40对于任意的x1,3恒成立,则实数a的取值范围是()A(,4B4,+)C(,5D5,+)12(5分)函数f(x)lnxx2的图象大致是()ABCD二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)已知a,bR,i为虚数单位,若ai2+bi,则a+b 14(5分)函数f(x)x315x233x+6的单调减区间为 15(5分)已知f(

4、x)x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为 16(5分)如图,函数yf(x)的图象在点P(4,f(4)处的切线方程是y2x+9,则f(4)+f(4)的值为 三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(10分)实数m取什么值时,复数z2m+(4m2)i在复平面内对应的点:(1)位于虚轴上(2)位于第一、三象限18(12分)设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为多少?19(12分)一火车锅炉每小时消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20km/h时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需2

5、00元,火车的最高速度为100km/h,火车以何速度行驶才能使甲城开往乙城的总费用最少?20(12分)已知函数f(x)x312x+a(1)求f(x)的单调区间(2)若f(x)在区间1,3上的最大值为10,求它在该区间上的最小值21(12分)已知a是实数,函数f(x)x2(xa)()若f(1)3,求a的值及曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;()求f(x)在区间0,2上的最小值22(12分)设函数f(x)ax3+bx+c(a0)为奇函数,其图象在点(1,f(1)处的切线与直线x6y70垂直,导函数f(x)的最小值为12(1)求a,b,c的值;(2)求函数f(x)的单调递减区间,并求函数

6、f(x)在1,3上的最大值和最小值2017-2018学年青海师大二附中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)1(5分)设i为虚数单位,则复数(1+i)2()A0B2C2iD2+2i【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解:(1+i)21+i2+2i11+2i2i,故选:C【点评】本题考查了复数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题2(5分)如果zm(m+1)+(m21)i为纯虚数,则实数m的值为()A1B0C1D1或1【分析】根据纯虚数的定义判断即可【解答】解:由题意得:,解得:m0,故选:B【点评】本题考查

7、了纯虚数的定义,考查对应思想,是一道基础题3(5分)条件p:复数a+bi(a,bR)是纯虚数,条件q:a0,则p是q的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】求出复数a+bi(a,bR)是纯虚数的条件,与条件q:a0,比较判断充要条件的关系【解答】解:p:复数a+bi(a,bR)是纯虚数,必须a0,b0;又q:a0,显然pq,但是由q推不出p,p是q的充分不必要条件故选:A【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,充要条件的判断方法,是基础题4(5分)在复平面内,O为原点,向量对应的复数为1+2i,若点A关于直线yx的对称点为B,则向量对应的复数

8、为()A2iB2+iC1+2iD1+2i【分析】由已知求得A的坐标,由对称性得到B的坐标,则答案可求【解答】解:由题意,点A(1,2),点A关于直线yx的对称点B(2,1),则向量对应的复数为2+i故选:B【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题5(5分)设函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)x2+2xf(1),则f(0)等于()A0B4C2D2【分析】先求出导函数,令导函数中x1求出f(1),将f(1)代入导函数,令导函数中的x0求出f(0)【解答】解:f(x)x2+2xf(1),f(x)2x+2f(1)f(1)2+2f(1)解得f(1)2f(x)2x4f(0)4故选:B

9、【点评】求函数在某点处的导数值,一个先求出函数的导函数,再令导函数中的自变量取自变量的值,求出某点处的导数值6(5分)下列结论正确的是()A若ycosx,ysinxB若yex,则yxex1C若y,则D若y,则【分析】根据题意,依次分析选项,计算选项中函数的导数,综合即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,若ycosx,则ysinx,A错误;对于B,若yex,则yex,B错误;对于C,若yx1,则y(x2),C正确;对于D,若y,则y,D错误;故选:C【点评】本题考查导数的计算公式,关键是掌握导数的计算公式7(5分)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)

10、内的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)内的极大值点共有()A1个B2个C3个D4个【分析】利用导函数的图象及其取得极大值的充分条件即可得出【解答】解:导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,可得:函数f(x)在(a,b)内的极大值点为A,C,共有2个故选:B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题8(5分)设函数f(x)2x+1(x0),则f(x)()A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数【分析】利用基本不等式求最值时,一定要注意满足的条件,不是正数提出负号后再用基本不等式【解答】解:x0,当且仅当即x取等号故选:A【点评】利用基本不等式

11、求最值,注意“一正”“二定”“三相等”要同时满足9(5分)如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象,给出下列命题:3是函数yf(x)的极值点;1是函数yf(x)的最小值;yf(x)在x0处切线的斜率小于零;yf(x)在区间(3,1)上单调递增则正确命题的序号是()ABCD【分析】根据导数的几何意义,与函数的单调性,极值点关系,结合图象判断【解答】解:根据f(x)0,f(x)0,可以确定函数的增区间,减区间,切线斜率的正负由导函数yf(x)的图象,可判断,f(x)0,x3x1,3的左边负右边正,两边互为异号,所以可判断f(x)单调性在(,3)为上减函数,(3,1)为增函数,由上述条件可判断:

12、3是yf(x)的极值点;yf(x)在区间(3,1)上单调递增两个结论正确1函数yf(x)的最小值;yf(x)在x0处切线的斜率小于零;两个结论错误故选:B【点评】本题考查了导数的图象在判断极值,单调区间中的运用,导数的几何意义的理解10(5分)函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值,但无最小值B有最大值,也有最小值C无最大值,但有最小值D既无最大值,也无最小值【分析】求得f(x)的导数,判断f(x)在(1,1)的单调性,即可得到结论【解答】解:函数f(x)x33x(|x|1)的导数为:f(x)3x233(x1)(x+1),当1x1时,f(x)0,f(x)递减,则f(x)即无最小值,也无

13、最大值,故选:D【点评】本题考查函数的最值的判断,注意运用导数判断单调性,考查运算能力,属于基础题11(5分)已知不等式x2ax+40对于任意的x1,3恒成立,则实数a的取值范围是()A(,4B4,+)C(,5D5,+)【分析】由已知中不等式x2ax+40对于任意的x1,3恒成立,可得x+a对于任意的x1,3恒成立,利用基本不等式求出x+的值域,即可得到实数a的取值范围【解答】解:若不等式x2ax+40对于任意的x1,3恒成立,则x2+4ax对于任意的x1,3恒成立,即x+a对于任意的x1,3恒成立,当x1,3时,x+4,5故a4即实数a的取值范围是(,4故选:A【点评】本题考查的知识点是函数

14、恒成立,其中根据已知结合不等式的基本性质,将不等式x2ax+40对于任意的x1,3恒成立,转化为x+a对于任意的x1,3恒成立,是解答本题的关键12(5分)函数f(x)lnxx2的图象大致是()ABCD【分析】由已知中函数的解析式,我们利用导数法,可以判断出函数的单调性及最大值,进而分析四个答案中的图象,即可得到答案【解答】解:(x0)(x0)则当x(0,1)时,f(x)0,函数f(x)为增函数;当x(1,+)时,f(x)0,函数f(x)为减函数;当x1时,f(x)取最大值,f(1);故选:B【点评】本题考查的知识点是函数的图象与性质,其中利用导数分析出函数的性质,是解答本题的关键二、填空题(

15、本大题共4小题,每小题5分,共20分)13(5分)已知a,bR,i为虚数单位,若ai2+bi,则a+b1【分析】利用复数相等即可得出【解答】解:ai2+bi,a2,1b,a+b211故答案为:1【点评】本题考查了复数相等,属于基础题14(5分)函数f(x)x315x233x+6的单调减区间为(1,11)【分析】要求函数的单调减区间可先求出f(x),并令其小于零得到关于x的不等式求出解集即可【解答】解:f(x)3x230x333(x210x11)3(x+1)(x11)0,解得1x11,故减区间为(1,11)故答案为:(1,11)【点评】此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力15(5分)已知f

16、(x)x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为a3或a6【分析】先求出函数的导数,根据函数有极大值和极小值,可知导数为0的方程有两个不相等的实数根,通过0,即可求出a的范围【解答】解:函数f(x)x3+ax2+(a+6)x+1,所以函数f(x)3x2+2ax+(a+6),因为函数有极大值和极小值,所以方程f(x)0有两个不相等的实数根,即3x2+2ax+(a+6)0有两个不相等的实数根,0,(2a)243(a+6)0,解得:a3或a6故答案为:a3或a6【点评】本题以函数的极值为载体,考查导数在求函数极值的应用,将函数有极大值和极小值,转化为方程f(x)0有两个不相等的

17、实数根是解题的关键16(5分)如图,函数yf(x)的图象在点P(4,f(4)处的切线方程是y2x+9,则f(4)+f(4)的值为1【分析】由函数在点P(4,f(4)处的切线方程得到切线的斜率,即f(4),再由切线方程求出f(4)的值,则答案可求【解答】解:由图可知,f(4)2,且f(4)24+91,f(4)+f(4)121故答案为:1【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,过曲线上某点的切线的斜率,就是函数在该点处的导数值,是中档题三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(10分)实数m取什么值时,复数z2m+(4m2)i在复平面内对应的

18、点:(1)位于虚轴上(2)位于第一、三象限【分析】求出复数对应点的坐标,结合P的位置建立不等式关系进行求解即可【解答】解:(1)复数对应的点的坐标为(2m,4m2),若位于虚轴上,则得m0(2)若位于第一、三象限,则2m(4m2)0,则或,即或,得m2或2m0【点评】本题主要考查复数的有关概念以及复数的几何意义,利用复数的几何意义是解决本题的关键18(12分)设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为多少?【分析】设底边边长为a,高为h,利用体积公式VSh得出h,再根据表面积公式得S3ah+2,再利用导数求解【解答】解:设底边边长为a,高为h,则VSha2h,h,则表面

19、积为S3ah+2,则S,令S0,可得,即a直三棱柱的表面积最小时底面边长为【点评】本题主要考查棱柱、棱锥、棱台、的侧面积和表面积,训练了利用导数求最值,考查运算求解能力,是中档题19(12分)一火车锅炉每小时消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为20km/h时,每小时消耗的煤价值40元,其他费用每小时需200元,火车的最高速度为100km/h,火车以何速度行驶才能使甲城开往乙城的总费用最少?【分析】设出甲、乙两城的距离,火车速度,每小时消耗的煤价值,由速度为每小时20千米时,每小时消耗的煤价值为40元求出正比例系数,得到总费用y( x3+200),然后利用导数求出总费用最小时的火车的

20、速度【解答】解:设甲、乙两城相距为a千米,火车速度为xkm/h,每小时消耗的煤价值为p,依题意有pkx3(k为比例常数),由x20,p40,得k,总费用y(x3+200)a(+)(x0),由ya(),令y0解得,x10,当0x时,y0;当x100时,y0,当x时,y取最小值,要使费用最省,火车速度应为km/h【点评】本题考查了函数模型的选择与运用,考查了简单的数学建模思想方法,训练了利用导数求最值,是中档题20(12分)已知函数f(x)x312x+a(1)求f(x)的单调区间(2)若f(x)在区间1,3上的最大值为10,求它在该区间上的最小值【分析】(1)求得f(x)的导数,令导数大于0,可得

21、增区间;令导数小于0,可得减区间;(2)由f(x)0可得x2,计算f(2),f(1),f(3)可得最值,即可得到所求值【解答】解:(1)f(x)x312x+a的导数为f(x)3x212,由f(x)0,可得x2或x2;f(x)0,可得2x2,则增区间为(,2),(2,+),减区间为(2,2);(2)由f(x)0可得x2(2舍去),由f(2)824+aa16,f(1)a+11,f(3)2736+aa9,可得f(x)的最大值为a+1110,可得a1,则f(x)的最小值为a1611617【点评】本题考查函数的导数的运用:求单调性和最值,考查方程思想和运算能力,属于基础题21(12分)已知a是实数,函数

22、f(x)x2(xa)()若f(1)3,求a的值及曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;()求f(x)在区间0,2上的最小值【分析】()根据题意,求出函数f(x)的导数,又由f(1)32a3,解可得a的值,进而可得f(3)的值,由直线的点斜式方程分析可得答案;()根据题意,求出函数f(x)的导数,令f(x)0,解得;分情况讨论x1与x2的大小,可得函数在区间0,2上的单调性,据此求出函数的最值,综合即可得答案【解答】解:()根据题意,f(x)x2(xa),则f(x)3x22ax,因为f(1)32a3,所以a0当a0时,f(1)1,f(1)3,所以曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方

23、程为3xy20()由()可知,f(x)3x22ax令f(x)0,解得当,即a0,f(x)在0,2上单调递增,从而fminf(0)0当,即a3,f(x)在0,2上单调递减,从而fminf(2)84a当,即0a3,f(x)在上单调递减,在上单调递增,从而综上所述,【点评】本题考查利用导数分析函数的最值以及计算切线的方程,关键是掌握导数的几何意义,属于基础题22(12分)设函数f(x)ax3+bx+c(a0)为奇函数,其图象在点(1,f(1)处的切线与直线x6y70垂直,导函数f(x)的最小值为12(1)求a,b,c的值;(2)求函数f(x)的单调递减区间,并求函数f(x)在1,3上的最大值和最小值

24、【分析】(1)先根据奇函数求出c的值,再根据导函数f(x)的最小值求出b的值,最后依据在x1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可;(2)先求导数f(x),在函数的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0,求得区间即为单调区间,根据极值与最值的求解方法,将f(x)的各极值与其端点的函数值比较,其中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值【解答】解:(1)f(x)为奇函数,f(x)f(x),即ax3bx+cax3bxc,c0f(x)3ax2+b的最小值为12,b12又直线x6y70的斜率为,则f(1)3a+b6,得a2,a2,b12,c0;(2)由(1)知f(x)2x312x,f(x)6x2126(x+)(x),列表如下: x (,) (,) (,+) f(x)+ 0 0+ f(x) 增 极大 减 极小 增所以函数f(x)的单调减区间是(,),f(1)10,f()8,f(3)18,f(x)在1,3上的最大值是f(3)18,最小值是f()8【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力