1、2019-2020学年山东省淄博市高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分在每小题给出的四个选项中，第110题只有一项符合题目要求，第1113题有多项符合题目要求）1（4分）命题“x0，x+2”的否定是（）ABCD2（4分）下列命题中正确的是（）A若ab0，ab，则B若ab，则ac2bc2C若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则3（4分）在等比数列an中，已知a43a3，则+（）ABCD4（4分）已知log2x，log2y，2依次成等差数列则在平面直角坐标系中，点M（x，y）的轨迹为（）ABCD5（4分）设a1，则关于x的不等式的解集是（）AB（a，+）CD
2、6（4分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为（）A134B135C136D1377（4分）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，且双曲线C的渐近线与圆（x2）2+y23相切，则双曲线C的离心率为（）A1BC2D38（4分）抛物线y22px（p0
3、）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|3|OF|，MFO的面积为16，则抛物线的方程为（）Ay26xBy28xCy216xDy220x9（4分）在数列an中，a10，anan1+52（n+2）（nN*，n2），若数列bn满足bnn（）n，则数列bn的最大项为（）A第5项B第6项C第7项D第8项10（4分）F1，F2是椭圆1（ab0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线11（4分）下列表达式的最小值为2的有（）A当ab1时，a+bB当ab1时，Ca22a+3D12（4分）“存在正整数n，使
4、不等式（n+3）lga（n+5）lgaa（0a1）都成立”的一个充分条件是（）ABCD13（4分）已知抛物线y24x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x3y+110的距离为d2，则d1+d2的取值可以为（）A3B4CD二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14（4分）关于x的不等式x2+px20的解集为（q，1），则p+q 15（4分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为过F1的直线交于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为 16（4分）设单调递增的等差数列的前n项和是Sn，若和是方程x2+16x+600的两根，则数列的前n项
5、和的最小值为 17（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若PQF2的周长为16，则的最大值为 三、解答题（本大题共6小题，共82分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）已知p：曲线表示双曲线；q：曲线表示焦点在y轴上的椭圆（1）分别求出条件p，q中的实数m的取值范围；（2）甲同学认为“p是q的充分条件”，乙同学认为“p是q的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由19（14分）某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入
6、，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润y（万元）与使用年数x（xN*）的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？20（14分）已知等比数列an的公比q2，且a2，a3+1，a4成等差数列（1）求a1及an；（2）设bnan+，求数列bn的前n项和Sn21（14分）已知抛物线y22px（p0）上一点M（x0，2）到焦点F的距离|MF|，倾斜角为的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若为锐角，作线段
7、AB的中垂线m交x轴于点P证明：|FP|FP|cos2为定值，并求出该定值22（14分）已知数列an中，a11，a1+2a2+3a3+nanan+1，（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）求数列n2an的前n项和Tn；（3）若对任意的nN*，都有an（n+1）成立，求实数的取值范围23（14分）已知椭圆C：（ab0）过点A（0，1），且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过A作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交椭圆于点M，N，且k1+k22，证明：直线MN过定点2019-2020学年山东省淄博市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分
8、在每小题给出的四个选项中，第110题只有一项符合题目要求，第1113题有多项符合题目要求）1（4分）命题“x0，x+2”的否定是（）ABCD【分析】利用命题的否定，否定限定量词和结论判断【解答】解：由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定是“”故选：D【点评】考查命题的否定，基础题2（4分）下列命题中正确的是（）A若ab0，ab，则B若ab，则ac2bc2C若ab，cd，则acbdD若ab，cd，则【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误【解答】解：ab0，ab，ab，故A正确；取c0，可排除B，D；由ab，cd，可知adbc，故C错误故选：A【点评】本题考查
9、了不等式的基本性质，属基础题3（4分）在等比数列an中，已知a43a3，则+（）ABCD【分析】设等比数列an的公比为q，由a43a3，可得q3，可得+q+q2+q3+qn，再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a43a3，q3，+q+q2+q3+qn故选：D【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4（4分）已知log2x，log2y，2依次成等差数列则在平面直角坐标系中，点M（x，y）的轨迹为（）ABCD【分析】根据等差数列性质列式，可得y22x（x0，y0）【解答】解：由已知得：2log2 ylog2 x+
10、2（x0，y0），化简得：y22x（x0，y0）其图象是抛物线在第一象限的图象故选：C【点评】本题考查了函数的图象与图象的变换属基础题5（4分）设a1，则关于x的不等式的解集是（）AB（a，+）CD【分析】根据题意，把不等式化为（xa）（x）0，求出解集即可【解答】解：a1时，1a0，且a，则关于x的不等式可化为（xa）（x）0，解得x或xa，所以不等式的解集为（，）（a，+）故选：D【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题6（4分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出
11、此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列an，则此数列的项数为（）A134B135C136D137【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故an15n14由an15n142016，得n135，故此数列的项数为135故选：B【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查
12、等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题7（4分）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，且双曲线C的渐近线与圆（x2）2+y23相切，则双曲线C的离心率为（）A1BC2D3【分析】利用椭圆方程求出焦点，推出a2+b24，求出双曲线的渐近线方程，利用圆的圆心到直线的距离与半径的关系，转化求解即可【解答】解：椭圆的焦点为I（2，0），所以c2，所以a2+b24双曲线的渐近线方程为aybx0，由双曲线C的渐近线与圆（x2）2+y23相切，得，可得ba，带入a2+b24得a1离心率，故选：C【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题8（4
13、分）抛物线y22px（p0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|3|OF|，MFO的面积为16，则抛物线的方程为（）Ay26xBy28xCy216xDy220x【分析】根据M为抛物线上一点，且|MF|3|OF|，可确定M的坐标，利用MFO的面积，求出p，即可求得抛物线的方程【解答】解：由题意，F（，0），准线方程为x，|MF|3|OF|，|MF|2pM的横坐标为pp，M的纵坐标为yp，MFO的面积为16，p16，p8，抛物线的方程为y216x故选：C【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，解题的关键是确定M的坐标9（4分）在数列an中，a10，anan1+52（n
14、+2）（nN*，n2），若数列bn满足bnn（）n，则数列bn的最大项为（）A第5项B第6项C第7项D第8项【分析】利用叠加法求出数列的通项公式，进一步利用，建立不等式组，进一步结出结果【解答】解：数列an中，a10，anan1+52（n+2），得到：anan12n1，an1an22（n1）1，a2a1221，上边（n1）个式子相加得：ana12（2+3+n）（n1），解得：当n1时，首项符合通项故：数列bn满足bnn（）n，则bnn（n+1）（）n1，由于，故：，解得：，由于n是正整数，故n6故选：B【点评】本题考查的知识要点：利用叠加法求出数列的通项公式，不等式组的解法的应用，主要考查学生
15、的运算能力和转化能力，属于中档题型10（4分）F1，F2是椭圆1（ab0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【分析】延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OQ的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点Q的轨迹方程为x2+y2a2，由此可得本题答案【解答】解：由题意，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，PQ是F1PF2的外角平分线，且PQMF1F1MP中，|PF1|PM|且Q为MF1的中点由三角形中位线定理，得|OQ|MF2|（
16、|MP|+|PF2|）由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|2a，（2a是椭圆的长轴）可得|MP|+|PF2|2a，|OQ|（|MP|+|PF2|）a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y2a2点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆故选：A【点评】本题在椭圆中求动点P的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题11（4分）下列表达式的最小值为2的有（）A当ab1时，a+bB当ab1时，Ca22a+3D【分析】根据不等式的基本性质判断即可【解答】解：对选项A，当a，b均为负值时，a+b0，故最小值不为2；对选项B，因为ab1，所以a，b同号，所以，所以，当且仅，即a
17、b1时取等号，故最小值为2；对选项C，a22a+3（a1）2+2，当a1时，取最小值2；对选项D，当且仅当，即a2+21时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2故选：BC【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题12（4分）“存在正整数n，使不等式（n+3）lga（n+5）lgaa（0a1）都成立”的一个充分条件是（）ABCD【分析】求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断选项即可【解答】解：由（n+3）lga（n+5）lgaa（0a1），得（n+3）lgaa（n+5）lga（0a1），0a1，lga0，（n+3）a（n+5），即，若存在正整数n，使，需，当n1时，取最小值
18、，又a1，a的取值范围为，易知选项BD是子集故选：BD【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的性质和应用，解题时要认真审题，注意不等式的合理运用属于中档题13（4分）已知抛物线y24x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x3y+110的距离为d2，则d1+d2的取值可以为（）A3B4CD【分析】画出图象，利用抛物线的定义与性质，转化求解即可【解答】解：抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离，所以过焦点F（1，0）作直线4x3y+110的垂线，则F到直线的距离为d1+d2的最小值，如图所示：所以，选项ABD均大于或等于3，故选：ABD【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与
19、抛物线的位置关系的应用，是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14（4分）关于x的不等式x2+px20的解集为（q，1），则p+q1【分析】由题意知对应方程x2+px20有一个根为1，代入方程求得p的值，再求不等式的解集，得出q的值，从而计算p+q的值【解答】解：由题意知，方程x2+px20有一个根为1，代入方程求得p1；所以不等式为x2+x20，解得其解集为（2，1）；所以q2，所以p+q1故答案为：1【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题15（4分）在平面直角坐标系xOy，椭圆C的中心为原点，焦点F1F2在x轴上，离心率为过F1的直线交于A，B两
20、点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为+1【分析】根据题意，ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF116，结合椭圆的定义，有4a16，即可得a的值；又由椭圆的离心率，可得c的值，进而可得b的值；由椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的方程【解答】解：根据题意，ABF2的周长为16，即BF2+AF2+BF1+AF116；根据椭圆的性质，有4a16，即a4；椭圆的离心率为，即，则ac，将ac，代入可得，c2，则b2a2c28；则椭圆的方程为+1；故答案为：+1【点评】本题考查椭圆的性质，此类题型一般与焦点三角形联系，难度一般不大；注意结合椭圆的基本几何性质解题即可16（4分）设单调递增的
21、等差数列的前n项和是Sn，若和是方程x2+16x+600的两根，则数列的前n项和的最小值为56【分析】推出数列为单调递增的等差数列，通过方程x2+16x+600的两根分别为6，10，转化求解即可【解答】解：设单调递增的等差数列an的首项为a1，公差为d（d0），则，故数列为单调递增的等差数列，由于方程x2+16x+600的两根分别为6，10，所以，可得数列的首项为14，公差为2，所以前n项和为n215n，当n7或8时取最小值56故答案为：56【点评】本题考查数列与函数的应用，函数的单调性以及等差数列通项公式的求法数列求和的方法，考查计算能力，是中档题17（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1
22、，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若PQF2的周长为16，则的最大值为4【分析】画出图形，利用已知条件结合双曲线的性质，求出a的范围，然后利用基本不等式求解即可【解答】解：如图：由PQF2的周长为16，所以ABF2的周长为32，又AB是双曲线的通径，所以，因为，可得，所以b2a（8a），可得a（0，8），则，当且仅当，即a2时等号成立，故答案为：4【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共82分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）18（12分）已知p：曲线
23、表示双曲线；q：曲线表示焦点在y轴上的椭圆（1）分别求出条件p，q中的实数m的取值范围；（2）甲同学认为“p是q的充分条件”，乙同学认为“p是q的必要条件”，请判断两位同学的说法是否正确，并说明理由【分析】（1）利用双曲线以及椭圆的性质，分别求解m的范围，然后求解交集即可（2）利用充要条件转化分析求解即可【解答】解：（1）若曲线表示双曲线，则（m2）（m4）0，得2m4；因此满足条件p的实数m的取值范围是（2，4）若曲线表示焦点在y轴上的椭圆，需，得m21，得m1或m1因此满足条件q的实数m的取值范围是（1）（1，+）（2）甲同学的判断正确，乙同学的判断不正确因为pq，所以p是q的充分条件，因
24、为q推不出p，所以p不是q的必要条件【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，充要条件的应用，是基本知识的考查，基础题19（14分）某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润y（万元）与使用年数x（xN*）的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？【分析】（1）利用x年的总收入减去x年维护总费用，即可得出总利润函数；（2）计算年平均利润函数，利用基本不等式求
25、出它的最大值，以及取得最大值时对应x的值【解答】解：（1）由题意知，x年总收入为100x万元，则x年维护总费用为10（1+2+3+x）5x（x+1）万元，所以总利润为y100x5x（x+1）180，xN*；即y5（x219x+36），xN*；（2）年平均利润为5（x+）+95，x0，x+212，当且仅当x，即x6时取“”；所以35，即这套设备使用6年，可使年平均利润最大，且年平均利润最大为35万元【点评】本题考查了利润函数模型应用问题，也考查了利用基本不等式求最值问题，是中档题20（14分）已知等比数列an的公比q2，且a2，a3+1，a4成等差数列（1）求a1及an；（2）设bnan+，求数
26、列bn的前n项和Sn【分析】（1）由已知可得2（4a1+1）2a1+8a1，求得a1，则an可求；（2）把（1）中求得的通项公式代入bnan+，再由等比数列的前n项和及裂项相消法求解数列bn的前n项和Sn【解答】解：（1）由已知得a22a1，a3+14a1+1，a48a1，又a2，a3+1，a4成等差数列，2（a3+1）a2+a4，2（4a1+1）2a1+8a1，解得a11，故；（2），Snb1+b2+b3+bn【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的通项公式与前n项和，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题21（14分）已知抛物线y22px（p0）上一点M（x0，2）到焦点
27、F的距离|MF|，倾斜角为的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）若为锐角，作线段AB的中垂线m交x轴于点P证明：|FP|FP|cos2为定值，并求出该定值【分析】（1）根据M到焦点的距离等于M到准线的距离，算出x0p，再代入M的坐标可解得p2，可得所求方程；（2）通过设直线方程，联立直线与抛物线得到AB的斜率和中点，得到直线m的方程，解出P的坐标，再计算出定值【解答】解：（1）|MF|x0+x0，x0p，M（p，2）在抛物线上，2p28（p0），解得p2，所以抛物线的标准方程为y24x，准线l的方程为x1；（2）证明：设A（xA，yA），B（xB，
28、yB），直线AB的斜率为ktan，则直线AB方程为yk（x1）；将此式代入y24x，得k2x22（k2+2）x+k20，故xA+xB，xAxB1；记直线m与AB的交点为E（xE，yE），则xE，yEk（xE1），故直线m的方程为y（x）；令y0，得P的横坐标xP+23+，所以|FP|xP12+2+；所以|FP|FP|cos2|FP|（1cos2）（2+）2sin24（1+）sin24为定值4【点评】本题考查了抛物线的定义、方程和性质应用问题，也考查了直线方程和抛物线方程应用问题，是中档题22（14分）已知数列an中，a11，a1+2a2+3a3+nanan+1，（nN*）（1）求数列an的通项
29、公式；（2）求数列n2an的前n项和Tn；（3）若对任意的nN*，都有an（n+1）成立，求实数的取值范围【分析】（1）令n1求得a2，再将n换为n1，结合等比数列的定义，可得所求通项公式；（2）求得n2an3n4n2，n2，再由数列的错位相减法求和，可得所求和；（3）由题意可得对任意的nN*，都有an（n+1）成立，即为的最小值，判断的单调性，可得所求范围【解答】解：（1）数列an中，a11，a1+2a2+3a3+nanan+1，（nN*）可得n1时，a1a2，即a2，n2时，a1+2a2+3a3+（n1）an1an，又a1+2a2+3a3+nanan+1，两式相减可得nanan+1an，化
30、为（n+1）an+14nan，n2，可得nan2a24n234n2，即an，n2，综上可得an；（2）n2an3n4n2，n2，则前n项和Tn1+3（21+34+416+n4n2），4Tn4+3（24+316+464+n4n1），相减可得3Tn3+3（2+4+16+4n2n4n1）33n4n1，化为Tn；（3）对任意的nN*，都有an（n+1）成立，即为的最小值，由n1可得，1，可得n2时，递增，当n1或2时，取得最小值，则【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要注意错位相减求和法和转化与化归思想的合理运用，本题有一定的
31、探索性综合性强，难度大，易出错23（14分）已知椭圆C：（ab0）过点A（0，1），且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过A作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交椭圆于点M，N，且k1+k22，证明：直线MN过定点【分析】（1）利用椭圆C：（ab0）过点A（0，1），以及离心率为求出a，b，即可得到椭圆方程（2）当直线MN斜率不存在时，设直线方程为xt，则M（t，s），N（t，s），然后求解t1当直线MN斜率存在时，设直线方程为：ykx+b，与椭圆方程联立：，得（4k2+1）x2+8kbx+4b240，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理以及k1+k22，得到k与b的关系，然
32、后求解直线MN：y（b+1）x+bb（x+1）+x，恒过定点（1，1）【解答】解：（1）椭圆C：（ab0）过点A（0，1），可得b1，且离心率为a21c2，解得a2，所求椭圆方程为：（5分）（2）当直线MN斜率不存在时，设直线方程为xt，则M（t，s），N（t，s），则，t1（7分）当直线MN斜率存在时，设直线方程为：ykx+b，与椭圆方程联立：，得（4k2+1）x2+8kbx+4b240，设M（x1，y1），N（x2，y2），有（*）（10分）则将*式代入化简可得：，即（kb1）（b1）0，kb+1（13分）直线MN：y（b+1）x+bb（x+1）+x，恒过定点（1，1）（15分）【点评】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线系方程的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力
