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2019-2020学年山东省淄博市高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2019-2020学年山东省淄博市高二(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分在每小题给出的四个选项中,第110题只有一项符合题目要求,第1113题有多项符合题目要求)1(4分)命题“x0,x+2”的否定是()ABCD2(4分)下列命题中正确的是()A若ab0,ab,则B若ab,则ac2bc2C若ab,cd,则acbdD若ab,cd,则3(4分)在等比数列an中,已知a43a3,则+()ABCD4(4分)已知log2x,log2y,2依次成等差数列则在平面直角坐标系中,点M(x,y)的轨迹为()ABCD5(4分)设a1,则关于x的不等式的解集是()AB(a,+)CD

2、6(4分)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而四方称之为“中国剩余理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列an,则此数列的项数为()A134B135C136D1377(4分)已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且双曲线C的渐近线与圆(x2)2+y23相切,则双曲线C的离心率为()A1BC2D38(4分)抛物线y22px(p0

3、)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|3|OF|,MFO的面积为16,则抛物线的方程为()Ay26xBy28xCy216xDy220x9(4分)在数列an中,a10,anan1+52(n+2)(nN*,n2),若数列bn满足bnn()n,则数列bn的最大项为()A第5项B第6项C第7项D第8项10(4分)F1,F2是椭圆1(ab0)的两焦点,P是椭圆上任意一点,从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线11(4分)下列表达式的最小值为2的有()A当ab1时,a+bB当ab1时,Ca22a+3D12(4分)“存在正整数n,使

4、不等式(n+3)lga(n+5)lgaa(0a1)都成立”的一个充分条件是()ABCD13(4分)已知抛物线y24x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x3y+110的距离为d2,则d1+d2的取值可以为()A3B4CD二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)14(4分)关于x的不等式x2+px20的解集为(q,1),则p+q 15(4分)在平面直角坐标系xOy,椭圆C的中心为原点,焦点F1F2在x轴上,离心率为过F1的直线交于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为 16(4分)设单调递增的等差数列的前n项和是Sn,若和是方程x2+16x+600的两根,则数列的前n项

5、和的最小值为 17(4分)已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若PQF2的周长为16,则的最大值为 三、解答题(本大题共6小题,共82分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18(12分)已知p:曲线表示双曲线;q:曲线表示焦点在y轴上的椭圆(1)分别求出条件p,q中的实数m的取值范围;(2)甲同学认为“p是q的充分条件”,乙同学认为“p是q的必要条件”,请判断两位同学的说法是否正确,并说明理由19(14分)某企业用180万元购买一套新设备,该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入

6、,为了维护设备的正常运行,第一年需要各种维护费用10万元,且从第二年开始,每年比上一年所需的维护费用要增加10万元(1)求该设备给企业带来的总利润y(万元)与使用年数x(xN*)的函数关系;(2)试计算这套设备使用多少年,可使年平均利润最大?年平均利润最大为多少万元?20(14分)已知等比数列an的公比q2,且a2,a3+1,a4成等差数列(1)求a1及an;(2)设bnan+,求数列bn的前n项和Sn21(14分)已知抛物线y22px(p0)上一点M(x0,2)到焦点F的距离|MF|,倾斜角为的直线经过焦点F,且与抛物线交于两点A、B(1)求抛物线的标准方程及准线方程;(2)若为锐角,作线段

7、AB的中垂线m交x轴于点P证明:|FP|FP|cos2为定值,并求出该定值22(14分)已知数列an中,a11,a1+2a2+3a3+nanan+1,(nN*)(1)求数列an的通项公式;(2)求数列n2an的前n项和Tn;(3)若对任意的nN*,都有an(n+1)成立,求实数的取值范围23(14分)已知椭圆C:(ab0)过点A(0,1),且离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)过A作斜率分别为k1,k2的两条直线,分别交椭圆于点M,N,且k1+k22,证明:直线MN过定点2019-2020学年山东省淄博市高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分

8、在每小题给出的四个选项中,第110题只有一项符合题目要求,第1113题有多项符合题目要求)1(4分)命题“x0,x+2”的否定是()ABCD【分析】利用命题的否定,否定限定量词和结论判断【解答】解:由题意,根据全称命题与存在性命题的关系,可得命题“”的否定是“”故选:D【点评】考查命题的否定,基础题2(4分)下列命题中正确的是()A若ab0,ab,则B若ab,则ac2bc2C若ab,cd,则acbdD若ab,cd,则【分析】根据不等式的基本性质,结合特殊值,可判断选项正误【解答】解:ab0,ab,ab,故A正确;取c0,可排除B,D;由ab,cd,可知adbc,故C错误故选:A【点评】本题考查

9、了不等式的基本性质,属基础题3(4分)在等比数列an中,已知a43a3,则+()ABCD【分析】设等比数列an的公比为q,由a43a3,可得q3,可得+q+q2+q3+qn,再利用等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解:设等比数列an的公比为q,a43a3,q3,+q+q2+q3+qn故选:D【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题4(4分)已知log2x,log2y,2依次成等差数列则在平面直角坐标系中,点M(x,y)的轨迹为()ABCD【分析】根据等差数列性质列式,可得y22x(x0,y0)【解答】解:由已知得:2log2 ylog2 x+

10、2(x0,y0),化简得:y22x(x0,y0)其图象是抛物线在第一象限的图象故选:C【点评】本题考查了函数的图象与图象的变换属基础题5(4分)设a1,则关于x的不等式的解集是()AB(a,+)CD【分析】根据题意,把不等式化为(xa)(x)0,求出解集即可【解答】解:a1时,1a0,且a,则关于x的不等式可化为(xa)(x)0,解得x或xa,所以不等式的解集为(,)(a,+)故选:D【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题6(4分)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出

11、此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而四方称之为“中国剩余理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列an,则此数列的项数为()A134B135C136D137【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,运用等差数列通项公式,以及解不等式即可得到所求项数【解答】解:由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数,故an15n14由an15n142016,得n135,故此数列的项数为135故选:B【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用,考查

12、等差数列的通项公式的运用,考查运算能力,属于基础题7(4分)已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且双曲线C的渐近线与圆(x2)2+y23相切,则双曲线C的离心率为()A1BC2D3【分析】利用椭圆方程求出焦点,推出a2+b24,求出双曲线的渐近线方程,利用圆的圆心到直线的距离与半径的关系,转化求解即可【解答】解:椭圆的焦点为I(2,0),所以c2,所以a2+b24双曲线的渐近线方程为aybx0,由双曲线C的渐近线与圆(x2)2+y23相切,得,可得ba,带入a2+b24得a1离心率,故选:C【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用,圆的方程的应用,考查分析问题解决问题的能力,是中档题8(4

13、分)抛物线y22px(p0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|3|OF|,MFO的面积为16,则抛物线的方程为()Ay26xBy28xCy216xDy220x【分析】根据M为抛物线上一点,且|MF|3|OF|,可确定M的坐标,利用MFO的面积,求出p,即可求得抛物线的方程【解答】解:由题意,F(,0),准线方程为x,|MF|3|OF|,|MF|2pM的横坐标为pp,M的纵坐标为yp,MFO的面积为16,p16,p8,抛物线的方程为y216x故选:C【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的定义,解题的关键是确定M的坐标9(4分)在数列an中,a10,anan1+52(n

14、+2)(nN*,n2),若数列bn满足bnn()n,则数列bn的最大项为()A第5项B第6项C第7项D第8项【分析】利用叠加法求出数列的通项公式,进一步利用,建立不等式组,进一步结出结果【解答】解:数列an中,a10,anan1+52(n+2),得到:anan12n1,an1an22(n1)1,a2a1221,上边(n1)个式子相加得:ana12(2+3+n)(n1),解得:当n1时,首项符合通项故:数列bn满足bnn()n,则bnn(n+1)()n1,由于,故:,解得:,由于n是正整数,故n6故选:B【点评】本题考查的知识要点:利用叠加法求出数列的通项公式,不等式组的解法的应用,主要考查学生

15、的运算能力和转化能力,属于中档题型10(4分)F1,F2是椭圆1(ab0)的两焦点,P是椭圆上任意一点,从任一焦点引F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为()A圆B椭圆C双曲线D抛物线【分析】延长F2P,与F1Q的延长线交于M点,连接QO,根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理,结合椭圆的定义证出OQ的长恰好等于椭圆的长半轴a,得动点Q的轨迹方程为x2+y2a2,由此可得本题答案【解答】解:由题意,延长F2P,与F1Q的延长线交于M点,连接QO,PQ是F1PF2的外角平分线,且PQMF1F1MP中,|PF1|PM|且Q为MF1的中点由三角形中位线定理,得|OQ|MF2|(

16、|MP|+|PF2|)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|2a,(2a是椭圆的长轴)可得|MP|+|PF2|2a,|OQ|(|MP|+|PF2|)a,可得动点Q的轨迹方程为x2+y2a2点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆故选:A【点评】本题在椭圆中求动点P的轨迹,着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识,属于中档题11(4分)下列表达式的最小值为2的有()A当ab1时,a+bB当ab1时,Ca22a+3D【分析】根据不等式的基本性质判断即可【解答】解:对选项A,当a,b均为负值时,a+b0,故最小值不为2;对选项B,因为ab1,所以a,b同号,所以,所以,当且仅,即a

17、b1时取等号,故最小值为2;对选项C,a22a+3(a1)2+2,当a1时,取最小值2;对选项D,当且仅当,即a2+21时,取等号,但等号显然不成立,故最小值不为2故选:BC【点评】本题考查了不等式的基本性质,属于基础题12(4分)“存在正整数n,使不等式(n+3)lga(n+5)lgaa(0a1)都成立”的一个充分条件是()ABCD【分析】求解不等式,根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断选项即可【解答】解:由(n+3)lga(n+5)lgaa(0a1),得(n+3)lgaa(n+5)lga(0a1),0a1,lga0,(n+3)a(n+5),即,若存在正整数n,使,需,当n1时,取最小值

18、,又a1,a的取值范围为,易知选项BD是子集故选:BD【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的性质和应用,解题时要认真审题,注意不等式的合理运用属于中档题13(4分)已知抛物线y24x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x3y+110的距离为d2,则d1+d2的取值可以为()A3B4CD【分析】画出图象,利用抛物线的定义与性质,转化求解即可【解答】解:抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离,所以过焦点F(1,0)作直线4x3y+110的垂线,则F到直线的距离为d1+d2的最小值,如图所示:所以,选项ABD均大于或等于3,故选:ABD【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,直线与

19、抛物线的位置关系的应用,是中档题二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)14(4分)关于x的不等式x2+px20的解集为(q,1),则p+q1【分析】由题意知对应方程x2+px20有一个根为1,代入方程求得p的值,再求不等式的解集,得出q的值,从而计算p+q的值【解答】解:由题意知,方程x2+px20有一个根为1,代入方程求得p1;所以不等式为x2+x20,解得其解集为(2,1);所以q2,所以p+q1故答案为:1【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题,是基础题15(4分)在平面直角坐标系xOy,椭圆C的中心为原点,焦点F1F2在x轴上,离心率为过F1的直线交于A,B两

20、点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为+1【分析】根据题意,ABF2的周长为16,即BF2+AF2+BF1+AF116,结合椭圆的定义,有4a16,即可得a的值;又由椭圆的离心率,可得c的值,进而可得b的值;由椭圆的焦点在x轴上,可得椭圆的方程【解答】解:根据题意,ABF2的周长为16,即BF2+AF2+BF1+AF116;根据椭圆的性质,有4a16,即a4;椭圆的离心率为,即,则ac,将ac,代入可得,c2,则b2a2c28;则椭圆的方程为+1;故答案为:+1【点评】本题考查椭圆的性质,此类题型一般与焦点三角形联系,难度一般不大;注意结合椭圆的基本几何性质解题即可16(4分)设单调递增的

21、等差数列的前n项和是Sn,若和是方程x2+16x+600的两根,则数列的前n项和的最小值为56【分析】推出数列为单调递增的等差数列,通过方程x2+16x+600的两根分别为6,10,转化求解即可【解答】解:设单调递增的等差数列an的首项为a1,公差为d(d0),则,故数列为单调递增的等差数列,由于方程x2+16x+600的两根分别为6,10,所以,可得数列的首项为14,公差为2,所以前n项和为n215n,当n7或8时取最小值56故答案为:56【点评】本题考查数列与函数的应用,函数的单调性以及等差数列通项公式的求法数列求和的方法,考查计算能力,是中档题17(4分)已知双曲线的左、右焦点分别为F1

22、,F2,过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若PQF2的周长为16,则的最大值为4【分析】画出图形,利用已知条件结合双曲线的性质,求出a的范围,然后利用基本不等式求解即可【解答】解:如图:由PQF2的周长为16,所以ABF2的周长为32,又AB是双曲线的通径,所以,因为,可得,所以b2a(8a),可得a(0,8),则,当且仅当,即a2时等号成立,故答案为:4【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题三、解答题(本大题共6小题,共82分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18(12分)已知p:曲线

23、表示双曲线;q:曲线表示焦点在y轴上的椭圆(1)分别求出条件p,q中的实数m的取值范围;(2)甲同学认为“p是q的充分条件”,乙同学认为“p是q的必要条件”,请判断两位同学的说法是否正确,并说明理由【分析】(1)利用双曲线以及椭圆的性质,分别求解m的范围,然后求解交集即可(2)利用充要条件转化分析求解即可【解答】解:(1)若曲线表示双曲线,则(m2)(m4)0,得2m4;因此满足条件p的实数m的取值范围是(2,4)若曲线表示焦点在y轴上的椭圆,需,得m21,得m1或m1因此满足条件q的实数m的取值范围是(1)(1,+)(2)甲同学的判断正确,乙同学的判断不正确因为pq,所以p是q的充分条件,因

24、为q推不出p,所以p不是q的必要条件【点评】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用,充要条件的应用,是基本知识的考查,基础题19(14分)某企业用180万元购买一套新设备,该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入,为了维护设备的正常运行,第一年需要各种维护费用10万元,且从第二年开始,每年比上一年所需的维护费用要增加10万元(1)求该设备给企业带来的总利润y(万元)与使用年数x(xN*)的函数关系;(2)试计算这套设备使用多少年,可使年平均利润最大?年平均利润最大为多少万元?【分析】(1)利用x年的总收入减去x年维护总费用,即可得出总利润函数;(2)计算年平均利润函数,利用基本不等式求

25、出它的最大值,以及取得最大值时对应x的值【解答】解:(1)由题意知,x年总收入为100x万元,则x年维护总费用为10(1+2+3+x)5x(x+1)万元,所以总利润为y100x5x(x+1)180,xN*;即y5(x219x+36),xN*;(2)年平均利润为5(x+)+95,x0,x+212,当且仅当x,即x6时取“”;所以35,即这套设备使用6年,可使年平均利润最大,且年平均利润最大为35万元【点评】本题考查了利润函数模型应用问题,也考查了利用基本不等式求最值问题,是中档题20(14分)已知等比数列an的公比q2,且a2,a3+1,a4成等差数列(1)求a1及an;(2)设bnan+,求数

26、列bn的前n项和Sn【分析】(1)由已知可得2(4a1+1)2a1+8a1,求得a1,则an可求;(2)把(1)中求得的通项公式代入bnan+,再由等比数列的前n项和及裂项相消法求解数列bn的前n项和Sn【解答】解:(1)由已知得a22a1,a3+14a1+1,a48a1,又a2,a3+1,a4成等差数列,2(a3+1)a2+a4,2(4a1+1)2a1+8a1,解得a11,故;(2),Snb1+b2+b3+bn【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的通项公式与前n项和,训练了利用裂项相消法求数列的前n项和,是中档题21(14分)已知抛物线y22px(p0)上一点M(x0,2)到焦点

27、F的距离|MF|,倾斜角为的直线经过焦点F,且与抛物线交于两点A、B(1)求抛物线的标准方程及准线方程;(2)若为锐角,作线段AB的中垂线m交x轴于点P证明:|FP|FP|cos2为定值,并求出该定值【分析】(1)根据M到焦点的距离等于M到准线的距离,算出x0p,再代入M的坐标可解得p2,可得所求方程;(2)通过设直线方程,联立直线与抛物线得到AB的斜率和中点,得到直线m的方程,解出P的坐标,再计算出定值【解答】解:(1)|MF|x0+x0,x0p,M(p,2)在抛物线上,2p28(p0),解得p2,所以抛物线的标准方程为y24x,准线l的方程为x1;(2)证明:设A(xA,yA),B(xB,

28、yB),直线AB的斜率为ktan,则直线AB方程为yk(x1);将此式代入y24x,得k2x22(k2+2)x+k20,故xA+xB,xAxB1;记直线m与AB的交点为E(xE,yE),则xE,yEk(xE1),故直线m的方程为y(x);令y0,得P的横坐标xP+23+,所以|FP|xP12+2+;所以|FP|FP|cos2|FP|(1cos2)(2+)2sin24(1+)sin24为定值4【点评】本题考查了抛物线的定义、方程和性质应用问题,也考查了直线方程和抛物线方程应用问题,是中档题22(14分)已知数列an中,a11,a1+2a2+3a3+nanan+1,(nN*)(1)求数列an的通项

29、公式;(2)求数列n2an的前n项和Tn;(3)若对任意的nN*,都有an(n+1)成立,求实数的取值范围【分析】(1)令n1求得a2,再将n换为n1,结合等比数列的定义,可得所求通项公式;(2)求得n2an3n4n2,n2,再由数列的错位相减法求和,可得所求和;(3)由题意可得对任意的nN*,都有an(n+1)成立,即为的最小值,判断的单调性,可得所求范围【解答】解:(1)数列an中,a11,a1+2a2+3a3+nanan+1,(nN*)可得n1时,a1a2,即a2,n2时,a1+2a2+3a3+(n1)an1an,又a1+2a2+3a3+nanan+1,两式相减可得nanan+1an,化

30、为(n+1)an+14nan,n2,可得nan2a24n234n2,即an,n2,综上可得an;(2)n2an3n4n2,n2,则前n项和Tn1+3(21+34+416+n4n2),4Tn4+3(24+316+464+n4n1),相减可得3Tn3+3(2+4+16+4n2n4n1)33n4n1,化为Tn;(3)对任意的nN*,都有an(n+1)成立,即为的最小值,由n1可得,1,可得n2时,递增,当n1或2时,取得最小值,则【点评】本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项,结合含两个变量的不等式的处理问题,对数学思维的要求比较高,要注意错位相减求和法和转化与化归思想的合理运用,本题有一定的

31、探索性综合性强,难度大,易出错23(14分)已知椭圆C:(ab0)过点A(0,1),且离心率为(1)求椭圆C的方程;(2)过A作斜率分别为k1,k2的两条直线,分别交椭圆于点M,N,且k1+k22,证明:直线MN过定点【分析】(1)利用椭圆C:(ab0)过点A(0,1),以及离心率为求出a,b,即可得到椭圆方程(2)当直线MN斜率不存在时,设直线方程为xt,则M(t,s),N(t,s),然后求解t1当直线MN斜率存在时,设直线方程为:ykx+b,与椭圆方程联立:,得(4k2+1)x2+8kbx+4b240,设M(x1,y1),N(x2,y2),利用韦达定理以及k1+k22,得到k与b的关系,然

32、后求解直线MN:y(b+1)x+bb(x+1)+x,恒过定点(1,1)【解答】解:(1)椭圆C:(ab0)过点A(0,1),可得b1,且离心率为a21c2,解得a2,所求椭圆方程为:(5分)(2)当直线MN斜率不存在时,设直线方程为xt,则M(t,s),N(t,s),则,t1(7分)当直线MN斜率存在时,设直线方程为:ykx+b,与椭圆方程联立:,得(4k2+1)x2+8kbx+4b240,设M(x1,y1),N(x2,y2),有(*)(10分)则将*式代入化简可得:,即(kb1)(b1)0,kb+1(13分)直线MN:y(b+1)x+bb(x+1)+x,恒过定点(1,1)(15分)【点评】本题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线系方程的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力