1、2018-2019学年山东省青岛市市北区八年级（下）期中数学试卷一.选择题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C.D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.1（3分）若xy，则下列不等式中正确的是（）A1x1yB3x3yCD2x2y2（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD3（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD4（3分）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）AABC的三条中线的交点BABC三边
2、的中垂线的交点CABC三条高所在直线的交点DABC三条角平分线的交点5（3分）已知一次函数ykx+b（k，b是常数，且k0），x与y的部分对应值如下表所示，x210123y321012那么不等式kx+b0的解集是（）Ax0Bx0Cx1Dx16（3分）如图，在方格纸中，ABC经过变换得到DEF，正确的变换是（）A把ABC绕点C逆时针方向旋转90，再向下平移2格B把ABC绕点C顺时针方向旋转90，再向下平移5格C把ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180D把ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转1807（3分）小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米已知他步行的平均速度为90米/分，跑步
3、的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（）A210x+90（15x）1800B90x+210（15x）1800C210x+90（15x）1.8D90x+210（15x）1.88（3分）如图，在RtABC中，ABAC，D，E是斜边BC上两点，且DAE45，将ABE绕点A顺时针旋转90后，得到ACF，连接DF，则下列结论中有（）个是正确的DAF45 ABEACDAD平分EDFBE2+DC2DE2A4B3C2D1二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）9（3分）列不等式：x的2倍与3的差小于零
4、10（3分）如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形ABCD，此时阴影部分的面积为 cm211（3分）如图，在RtABC中，C90，ED垂直平分AB于点D，与AC相交于点E，若BE平分ABC，AB6，则AE的值是 12（3分）如图，函数y12x与y2ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式2xax+3的解集是 13（3分）ABC中，A：B：C1：1：2，若AC，则点C到AB的距离等于 14（3分）已知关于x的不等式3xm+10的最小整数解为2，则实数m的取值范围是 15（3分）在ABC中，ABAC5，BC8，点P是BC上的动点，过点P作PDA
5、B于点D，PEAC于E，则PD+PE 16（3分）如图的平面直角坐标系中，已知点A（3，0）、B（0，4），将OAB沿x轴作连续无滑动的翻滚，依次得到三角形，.则第个三角形的直角顶点的坐标是 三、作图题（本题满分72分，请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）17（4分）如图，已知ABC求作：BC边上的高与内角B的角平分线的交点18（10分）（1）解不等式：1（2）解不等式组：19（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABO的三个顶点坐标分别为A （1，3），B （4，0），O（0，0）（1）画出将ABO向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的A1B1O1；（2）若将（1）中A1B1O1
6、看成是ABO经过一次平移得到的，则这一平移的距离是 ；（3）画出ABO关于点O成中心对称的图形A2B2O20（8分）暑假期间，两位家长计划带若干名学生去旅行，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都八折收费，假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应选哪家旅行社？21（10分）求证：一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等22（10分）某单位需要将一批商品封装入库，因此打算购进A、B两种型号的包装盒共100个，若购买3个A型包装盒和2个B型包装盒共需550元，且A型包装盒的单
7、价是3型包装盒单价的3倍，每个A型包装盒可容纳500件该商品，每个B型包装盒可容纳200件该商品（1）求A、B两种型号的包装盒单价各是多少元？（2）若共需要封装34400件该商品，求怎样购买包装盒最划算？最低费用是多少？23（10分）如图1，已知ABC中，ABAC，点D是ABC外一点（与点A分别在直线BC两侧），且DBDC，过点D作DEAC，交射线AB于E，连接AE交BC于F（1）求证：AD垂直BC；（2）如图1，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DEAE；（3）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE的数量关系24（12分）如图1，在ABC中，A36，ABAC，AB
8、C的平分线BE交AC于E（1）判断AE、BE、BC之间的数量关系（直接写出结果，不必证明） ；（2）如图2，过点E作EFBC交AB于F，将AEF绕点A逆时针旋转角a （0a144）得到AEF，连结CE，BF，求证：CEBF：（3）在（2）的旋转过程中，当a 时，CEAB？（请直接写出结果）2018-2019学年山东省青岛市市北区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C.D的四个结论，其中只有一个是正确的.每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.1（3分）若xy，则下列不等式中正确的是（）A
9、1x1yB3x3yCD2x2y【分析】利用不等式的基本性质判断即可【解答】解：xy，3x3y，1x1y，2x2y，故选：B【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键2（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确故选：D【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找
10、对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合3（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）ABCD【分析】分别解两个不等式得到x1和x3，从而得到不等式组的解集为1x3，然后利用此解集对各选项进行判断【解答】解：，解得x1，解得x3，所以不等式组的解集为1x3故选：C【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到4（3分）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭
11、到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）AABC的三条中线的交点BABC三边的中垂线的交点CABC三条高所在直线的交点DABC三条角平分线的交点【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是ABC三条角平分线的交点由此即可确定凉亭位置【解答】解：凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭选择ABC三条角平分线的交点故选：D【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上5（3分）已知一次函数ykx+b（k，b是常数，且k0），x与y的部分对应值如下表所示，x210123y321012那么不
12、等式kx+b0的解集是（）Ax0Bx0Cx1Dx1【分析】由表格得到函数的增减性后，再得出y0时，对应的x的值即可【解答】解：当x1时，y0，根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，不等式kx+b0的解集是x1故选：D【点评】认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系理解一次函数的增减性是解决本题的关键6（3分）如图，在方格纸中，ABC经过变换得到DEF，正确的变换是（）A把ABC绕点C逆时针方向旋转90，再向下平移2格B把ABC绕点C顺时针方向旋转90，再向下平移5格C把ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180D把ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180【分
13、析】观察图象可知，先把ABC绕点C顺时针方向旋转90，再向下平移5格即可得到【解答】解：根据图象，ABC绕点C顺时针方向旋转90，再向下平移5格即可与DEF重合故选：B【点评】本题考查了几何变换的类型，几何变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高7（3分）小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（）A210x+90（15x）1800B90x+210（15x）1800C210x
14、+90（15x）1.8D90x+210（15x）1.8【分析】根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得210x+90（15x）1800，故选：A【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式8（3分）如图，在RtABC中，ABAC，D，E是斜边BC上两点，且DAE45，将ABE绕点A顺时针旋转90后，得到ACF，连接DF，则下列结论中有（）个是正确的DAF45 ABEACDAD平分EDFBE2+DC2DE2A4B3C2D1【分析】利用旋转不变性证明DAEDAF，即可判断正确，再利用勾股定理即可判断正确【解答】解：由旋转可知
15、：BAECAF，BAECAF，EAFBAC90，EAD45，EADFAD45，AD平分EAF，ADAD，AEAF，DAEDAF（SAS），故正确，DEDF，ACFBACB45，DCF90，DF2CD2+CF2，DFDE，BECF，BE2+CD2DE2，故正确，无法判断ABEACD，故错误故选：B【点评】本题考查旋转变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，今天的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）9（3分）列不等式：x的2倍与3的差小于零2x30【分析】由x的2倍与3的差小于零，可得出关于x的一元一次不等式，此题得解【解答
16、】解：依题意，得：2x30故答案为：2x30【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键10（3分）如图，边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形ABCD，此时阴影部分的面积为6cm2【分析】阴影部分为长方形，根据平移的性质可得阴影部分是长为3，宽为2，让长乘宽即为阴影部分的面积【解答】解：边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，阴影部分的宽为422cm，向右平移1cm，阴影部分的长为413cm，阴影部分的面积为326cm2故答案为：6【点评】解决本题的关键是利用平移的性质得到阴影部分的边长1
17、1（3分）如图，在RtABC中，C90，ED垂直平分AB于点D，与AC相交于点E，若BE平分ABC，AB6，则AE的值是2【分析】由角平分线的定义得到CBEABE，再根据线段的垂直平分线的性质得到EAEB，则AABE，可得CBE30，AD易求，进而可求出AE【解答】解：BE平分ABC，CBEABE，ED垂直平分AB于D，EAEB，AABE，CBE30，A30，AEADcos30AD，AB6，ADAB3，AE2，故答案为：2【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答此题的关键12（3分）如图，函数y12x与y2ax+3的图象相交于点A（m，2）
18、，则关于x的不等式2xax+3的解集是x1【分析】首先利用待定系数法求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式2xax+3的解集即可【解答】解：函数y12x过点A（m，2），2m2，解得：m1，A（1，2），不等式2xax+3的解集为x1故答案为：x1【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出A点坐标13（3分）ABC中，A：B：C1：1：2，若AC，则点C到AB的距离等于1【分析】由题意可证ABC是等腰直角三角形，可求AB2，即可求点C到AB的距离【解答】解：A：B：C1：1：2，A18045B，C18090ABC是等腰直角三角形AB2点C到AB的距离等于AB1故答案为
19、：1【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，熟练运用等腰直角三角形的性质是本题的关键14（3分）已知关于x的不等式3xm+10的最小整数解为2，则实数m的取值范围是4m7【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围【解答】解：解不等式3xm+10，得：x，不等式有最小整数解2，12，解得：4m7，故答案为4m7【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键解不等式应根据不等式的基本性质15（3分）在ABC中，ABAC5，BC8，点P是BC上的动点，过点P作PDAB于点D，PEAC于E，则PD+PE【分析】作AFBC
20、于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出BFCFBC4，然后根据勾股定理求得AF3，连接AP，由图可得：SABCSABP+SACP，代入数值，解答出即可【解答】解：作AFBC于F，ABAC，BFCFBC4，AF3连接AP，由图可得，SABCSABP+SACP，PDAB于D，PEAC于E，ABAC5，SAPB+SAPCSABC，5PD+5PE83，PD+PE故答案为【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想16（3分）如图的平面直角坐标系中，已知点A（3，0）、B（0，4），将OAB沿x轴作连续无滑动的翻滚，依次得到三角形，.则第
21、个三角形的直角顶点的坐标是（60，0）【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据旋转的性质观察OAB连续作旋转变换，得到OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+512个单位，于是判断三角形和三角形的状态一样，然后可计算出它的直角顶点的横坐标，从而得到三角形的直角顶点的坐标，同理可得出第16个三角形的直角顶点的坐标【解答】解：点B（3，0），A（0，4），OB3，OA4，AB5，对OAB连续作如图所示的旋转变换，OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+512个单位，而732+1，第个三角形和第个三角形的状态一样，则三角形与三角形的直角顶点相同，三角形的
22、直角顶点的横坐标为21224，纵坐标为0；由题意可得：第16个三角形与第1个三角形状态相同，直角顶点的坐标为：（60，0），故答案为（60，0）【点评】本题考查了图形旋转后的坐标问题：先要理解所旋转图形的性质，然后根据旋转的性质理解每次旋转后图形各个点的坐标变化，从中找出变化的规律，再根据规律确定某种状态下的位置及坐标三、作图题（本题满分72分，请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）17（4分）如图，已知ABC求作：BC边上的高与内角B的角平分线的交点【分析】先利用基本作图分别作出BC边上的高AD和内角B的角平分线BE，AD与BE的交点为P点【解答】解：如图，AD为高，BE为角平分线，它们的交
23、点P为所作【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）18（10分）（1）解不等式：1（2）解不等式组：【分析】（1）去分母，去括号、移项和合并同类项，然后把x的系数化为1即可，（2）先求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分即可【解答】解：（1）去分母得2（12x）3（23x）6，去括号得24x6+9x6，移项得4x+9x6+62，合并得5x10，系数化为1得x2；（2）由得，x2，由得，x，不等式的解集为2x【点评】本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质等知识
24、点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键19（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABO的三个顶点坐标分别为A （1，3），B （4，0），O（0，0）（1）画出将ABO向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的A1B1O1；（2）若将（1）中A1B1O1看成是ABO经过一次平移得到的，则这一平移的距离是2；（3）画出ABO关于点O成中心对称的图形A2B2O【分析】（1）根据图形平移的性质画出A1B1O1即可；（2）根据勾股定理即可得出结论；（3）分别作出各点关于点O的对称点，再顺次连接即可【解答】解：（1）如图，A1B1O1即为所求；（2）连接BB1，则BB1
25、2故答案为：2；（3）如图，A2B2O即为所求【点评】本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键20（8分）暑假期间，两位家长计划带若干名学生去旅行，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两位家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的优惠条件是：家长、学生都八折收费，假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应选哪家旅行社？【分析】设甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，根据甲旅行社收费5002+500学生数（乙旅行社收费500家长和学生数），即可得出y甲、y乙关于x的函数关系式，分别求出当y甲y乙、y甲y乙、y甲y乙时，x的取值范
26、围，由此即可得出结论【解答】解：设甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，根据题意得：y甲5002+（500）x350x+1000；y乙（500）（x+2）400x+800当y甲y乙时，有350x+1000400x+800，解得：x4；当y甲y乙时，有350x+1000400x+800，解得：x4；当y甲y乙时，有350x+1000400x+800，解得：x4当只有4名学生时，两家旅行社收费相同，选择哪一家都可以；当少于4名学生时，应该选乙旅行社；当多于4名学生时，应该选甲旅行社【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及解一元一次方程，根据数量关系，找出y甲、y乙关于x的函数关系式是解题的
27、关键21（10分）求证：一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等【分析】先根据题意画出几何图形，写出已知、求证；先证明RtBCMRtEFN得到BMEN，则ABDE，然后根据“SAS”证明ABCDEF【解答】已知：如图，ABC和DEF中，BE90，BCEF，BM为ABC的中线，FN为DEF的中线，且CMFN，求证：ABCDEF证明：在RtBCM和RtEFN中，RtBCMRtEFN（HL），BMEN，BM为ABC的中线，FN为DEF的中线，ABDE，在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）即一条直角边相等且另一条直角边上中线相等的两个直角三角形全等【点评】本题考查了直角三角形全
28、等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）22（10分）某单位需要将一批商品封装入库，因此打算购进A、B两种型号的包装盒共100个，若购买3个A型包装盒和2个B型包装盒共需550元，且A型包装盒的单价是3型包装盒单价的3倍，每个A型包装盒可容纳500件该商品，每个B型包装盒可容纳200件该商品（1）求A、B两种型号的包装盒单价各是多少元？（2）若共需要封装34400件该商品，求怎样购买包装盒最划算？最低费用是多少？【分析】（1）设B型包装盒单价为x元，则A型包装盒单价为3x元，根据购买3个A型包装盒和2个B型包装盒共需550元列出方程，求解即
29、可（2）设购买A型包装盒m个，总费用为w元，则购买B型包装盒（100m）个，根据每个A型包装盒可容纳500件该商品，每个B型包装盒可容纳200件该商品以及共需要封装34400件该商品列出不等式，求出m的取值范围，然后根据总费用wA型包装盒的费用+B型包装盒的费用，求出最佳的进货方案【解答】解：（1）设B型包装盒单价为x元，则A型包装盒单价为3x元，根据题意，得33x+2x550，解得x50则350150答：A型包装盒单价为150元，B型包装盒单价为50元（2）设购买A型包装盒m个，总费用为w元，根据题意，得500m+200（100m）34400，解得m48由题意，得w150m+50（100m）
30、100m+5000，k1000，w随m的增大而增大，当m48时，w最小，此时w10048+50009800答：购买A型包装盒48个，B型包装盒52个时最划算，最低费用是9800元【点评】本题考查了一次函数的应用，涉及了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解23（10分）如图1，已知ABC中，ABAC，点D是ABC外一点（与点A分别在直线BC两侧），且DBDC，过点D作DEAC，交射线AB于E，连接AE交BC于F（1）求证：AD垂直BC；（2）如图1，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DE
31、AE；（3）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE的数量关系【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定定理得到直线AD是BC的垂直平分线，证明结论；（2）证明ABDACD，得到BADCAD，根据平行线的性质得到BADCAD，等量代换得到BADEDA，根据等腰三角形的判定定理证明；（3）仿照（2）的证明方法解答【解答】（1）证明：ABAC，DBDC，直线AD是BC的垂直平分线，AD垂直BC；（2）证明：在ABD和ACD中，ABDACD，BADCAD，DEAC，EDACAD，BADEDA，DEAE；（3）DEAC+BE由（2）得，BADCAD，DEAC，EDACAD，BADED
32、A，DEAE，ABAC，DEAB+BEAC+BE【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键24（12分）如图1，在ABC中，A36，ABAC，ABC的平分线BE交AC于E（1）判断AE、BE、BC之间的数量关系（直接写出结果，不必证明）AEBEBC；（2）如图2，过点E作EFBC交AB于F，将AEF绕点A逆时针旋转角a （0a144）得到AEF，连结CE，BF，求证：CEBF：（3）在（2）的旋转过程中，当a36或72时，CEAB？（请直接写出结果）【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出ABCC72，再根据角平分线的定义求出AB
33、ECBE36，然后求出BEC72，从而得到ABEA，BECC，再根据等角对等边证明即可；（2）求出AEAF，再根据旋转的性质可得EACFAB，AEAF，然后利用“边角边”证明CAE和BAF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（3）把AEF绕点A逆时针旋转AE与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可【解答】解：（1）A36，ABAC，ABCC（18036）72，BE平分ABC，ABECBE7236，BECA+ABE36+3672，ABEA，BECC，AEBE，BEBC，AEBEBC，故答案为：AEBEBC；（2）证明：ABAC，E
34、FBC，AEAF，由旋转的性质得，EACFAB，AEAF，在CAE和BAF中，CAEBAF（SAS），CEBF；（3）解：由（1）可知AEBC，由旋转知，AEAE，AEBC，如图，在AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，当点E与点M重合时，CMAB，四边形ABCM是等腰梯形，BAMABC72，又BAC36，CAM36；当点E与点N重合时，CEAB，AMNBAM72，AMAN，ANMAMN72，MAN18072236，CANCAM+MAN36+3672，综上所述，当旋转角为36或72时，CEAB故答案为：36或72【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，（1）利用角的度数相等得到相等的角是解题的关键，（3）从圆弧的角度考虑求解是解题的关键，难点在于分情况讨论
