1、2018-2019学年山西省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一项符合题目要求）1（3分）下列说法正确的是（）A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点2（3分）下列各图中，直线a与b平行的只可能是（）ABCD3（3分）如图：直线L1的倾斜角130，直线L1L2，则L2的斜率为（）ABCD4（3分）若三点共线，则m的值为（）ABC2D25（3分）如果AB0，BC0，那么直线AxByC0不经过的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6（3分）已知圆C与直线xy0及xy
2、40都相切，圆心在直线x+y0上，则圆C的方程为（）A（x+1）2+（y1）22B（x1）2+（y+1）22C（x1）2+（y1）22D（x+1）2+（y+1）227（3分）设x、y满足，则zx+y（）A有最小值2，最大值3B有最大值3，无最大值C有最小值2，无最大值D既无最小值，也无最大值8（3分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A1+B1+2C2+D29（3分）无论m取何值，直线（3m+1）x+（4m+1）y12m10都恒过一个定点，则定点的坐标为（）A（8，9）B（9，8）C（15，14）D（14，15）10（3分）已知点A（2，1），B（2，1），若直线l：yk（x
3、1）+3与线段AB相交，则k的取值范围是（）AB（，2CD11（3分）过点（1，2）作圆（x1）2+y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为（）AyByCyDy12（3分）、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个二、填空题（每小题4分，共16分）13（4分）过点P（3，2），且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是 14（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD上运动，则异面直线CP与BA所成的角的取值范围是 15（4分）已知点A（3
4、，1），在直线xy0和y0上分别有点M和N，则AMN的周长最小值为 16（4分）如图所示：四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确结论的序号是 ACSB；AB平面SCD；SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；AB与SC所成的角的等于CD与SA所成的角三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共48分）17（12分）已知两条直线l1：ax+2y10，l2：3x+（a+1）y+10（1）若l1l2，求实数a的值；（2）若l1l2，求实数a的值18（12分）如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2，AC2，AA11，D为BC的中点（1）求证：A1B
5、面ADC1；（2）求三棱锥BAC1D的体积19（理）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，且侧棱和底面垂直（1）求证：BD平面ACC1A1；（2）当ABCDA1B1C1D1为正方体时，求二面角BC1DC的余弦值20（12分）已知圆C的方程：x2+y22x4y+m0（1）求m的取值范围；（2）圆C与直线x+2y40相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点），求m的值21（12分）如图，圆x2+y216内有一点P（3，1），AB为过点P且倾斜角为的弦（1）当135时，求|AB|；（2）求过点P的弦的中点的轨迹方程2018-2019学年山西省实验中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试
6、题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一项符合题目要求）1（3分）下列说法正确的是（）A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点【分析】由公理3知：不共线的三个点确定一个平面，即可判断A；四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，即可判断B；在同一平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，即可判断C；由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面，即可判断D【解答】解：A由公理3知：不共线的三个点确定一个平面，故A错；B四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四
7、个点构成的四边形为空间四边形，故B错；C在同一平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，故C对；D由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面，故D错故选：C【点评】本题考查空间确定平面的条件，掌握三个公理和三个推论，是迅速解题的关键，本题属于基础题2（3分）下列各图中，直线a与b平行的只可能是（）ABCD【分析】利用空间中线线、线面、面面的位置关系求解【解答】解：对于A，B，C中分别在平面，内的直线是异面直线，则a与b是异面直线，直线a与b不可能平行：故选：D【点评】本题主要考查空间异面，共面直线的判定，是基础题3（3分）如图：直线L1的倾斜角130，直线L1L2，则L2的斜率为（）AB
8、CD【分析】由题意可得L2的倾斜角等于30+90120，从而得到L2的斜率为 tan120，运算求得结果【解答】解：如图：直线L1的倾斜角130，直线L1L2，则L2的倾斜角等于30+90120，L2的斜率为 tan120tan60，故选：C【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题4（3分）若三点共线，则m的值为（）ABC2D2【分析】利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，据三点共线得两个向量共线，利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程求出m【解答】解：，三点共线共线5（m3）解得m故选：A【点评】本题考查向量的坐标的求法、两个向量共线的充要条件5（3
9、分）如果AB0，BC0，那么直线AxByC0不经过的象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案【解答】解：由题意可知B0，故直线的方程可化为，由AB0，BC0可得0，0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选：B【点评】本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题6（3分）已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线x+y0上，则圆C的方程为（）A（x+1）2+（y1）22B（x1）2+（y+1）22C（x1）2+（y1）22D（x+1）2+（y+1）22【分析】圆心在直线x+y0上，排除C、D，再验
10、证圆C与直线xy0及xy40都相切，就是圆心到直线等距离，即可【解答】解：圆心在x+y0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（1，1）到两直线xy0的距离是；圆心（1，1）到直线xy40的距离是故A错误故选：B【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究7（3分）设x、y满足，则zx+y（）A有最小值2，最大值3B有最大值3，无最大值C有最小值2，无最大值D既无最小值，也无最大值【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数zx+y的最小值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由zx
11、+y得yx+z，平移直线yx+z，由图象可知当直线yx+z经过点C时，直线yx+z的截距最小，此时z最小由，解得，即C（2，0），代入目标函数zx+y得z2即目标函数zx+y的最小值为2无最大故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法8（3分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A1+B1+2C2+D2【分析】判断得出三棱锥OABC，OE底面ABC，EAED1，OE1，ABBC，ABBC，可判断；OABOBC的直角三角形，运用面积求解即可【解答】解：三棱锥OABC，OE底面ABC，EAED1，OE1，ABB
12、CABBC，可判断；OABOBC的直角三角形，SOACSABC1，SOABSOBC2该四面体的表面积：2，故选：C【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力9（3分）无论m取何值，直线（3m+1）x+（4m+1）y12m10都恒过一个定点，则定点的坐标为（）A（8，9）B（9，8）C（15，14）D（14，15）【分析】在直线方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线恒过一个定点的坐标【解答】解：直线（3m+1）x+（4m+1）y12m10，即m（3x+4y12）+x+y10，令3x+4y120，则由m（3x+4y12）+
13、x+y10，可得 x+y10，解方程组，求得x8，y9，无论m取何值，直线（3m+1）x+（4m+1）y12m10都恒过一个定点（8，9），故选：A【点评】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题10（3分）已知点A（2，1），B（2，1），若直线l：yk（x1）+3与线段AB相交，则k的取值范围是（）AB（，2CD【分析】求出直线的斜率，数形结合得答案【解答】解：A（2，1），B（2，1），直线l：yk（x1）+3，直线l过定点P（1，3），kPA2，kPB，若直线l：yk（x1）+3与线段AB相交，则k的取值范围是：（，2，+）故选：C【点评】本题考查直线的斜率，考查数形结合的解题思想方法
14、，是中档题11（3分）过点（1，2）作圆（x1）2+y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为（）AyByCyDy【分析】求出以（1，2）、C（1，0）为直径的圆的方程，将两圆的方程相减即得公共弦AB的方程【解答】解：圆（x1）2+y21的圆心为C（1，0），半径为1，以（1，2）、C（1，0）为直径的圆的方程为：（x1）2+（y+1）21，将两圆的方程相减，即得公共弦AB的方程为2y+10即y故选：B【点评】本题考查了直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线问题，也考查了数形结合的数学思想，属于基础题目12（3分）、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，
15、给出四个论断：mn；n；m以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，其中正确命题的个数是（）A1个B2个C3个D4个【分析】构造长方体ABCDA1B1C1D1，然后以四个论断中的其中三个为条件，推导第4个，借助于长方体中的线与面进行合理构造，然后进行合理推理，得出正确结论【解答】解：如图，做出长方体ABCDA1B1C1D1，下面判断一下四个命题：（1）mn；nm在长方体ABCDA1B1C1D1中，令面ADD1A1为，面ABCD为，直线CC1为n，A1C1为m，显然m不与垂直，所以此命题是假命题；（2）mn；mn此命题和上一命题是一样的，所以也是假命题；（3）mn；n；m由已知，、分别是面，的法
16、向量，因为mn，所以，所以，所以此命题是真命题；也可以利用长方体进行直观判断；（4）；n；mmn在长方体ABCDA1B1C1D1中，令面ADD1A1为，面ABCD为，直线D1C1为m，CC1为n，则mn所以此命题为真命题故正确命题有两个故选：B【点评】长方体是判断有关空间线、面之间垂直关系的重要载体，特别是在选择题中，主要是根据已知与结论，合理选择线与面，然后做出正确的判断二、填空题（每小题4分，共16分）13（4分）过点P（3，2），且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是或x+y50【分析】当直线过原点时，求出斜率，斜截式写出直线方程，并化为一般式当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y+m
17、0，把P（3，2）代入直线的方程，求出m值，可得直线方程【解答】解：当直线过原点时，斜率等于，故直线的方程为yx当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y+m0，把P（3，2）代入直线的方程得 m5，故求得的直线方程为 x+y50，综上，满足条件的直线方程为 yx或 x+y50故答案为：yx或 x+y50【点评】本题考查求直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，体现了分类讨论的数学思想14（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在线段AD上运动，则异面直线CP与BA所成的角的取值范围是【分析】由ABDC，得CP与AB成角可化为CP与DC成角，由此能求出异面直线CP与BA所
18、成的角的取值范围【解答】解：ABDC，CP与AB成角可化为CP与D1C成角ADC是正三角形可知当P与A重合时成角为，P不能与D重合因为此时DC与AB平行而不是异面直线，故答案为：【点评】本题考查直线与平面所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养15（4分）已知点A（3，1），在直线xy0和y0上分别有点M和N，则AMN的周长最小值为2【分析】已知定点A（3，1），在直线xy0和y0上分别求点M和点N，使AMN的周长最短，并求出最短周长【解答】解：如图，设点A（3，1）关于xy0和y0上的对称点分别为B（1，3），C（3，1），|AM|+|AN|+|MN|BM|+|CN|
19、+|MN|，又|BM|+|CN|+|MN|BC|，周长的最小值是|BC|2又直线BC的方程为2x+y50，M（，）N（，0）此时，AMN的周长最短，且最短周长为2故答案为：2【点评】本题考查三角形周长的最小值的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题16（4分）如图所示：四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中正确结论的序号是ACSB；AB平面SCD；SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；AB与SC所成的角的等于CD与SA所成的角【分析】由线面垂直的判断和性质，可判断；运用线面平行的判
20、定定理可判断；运用线面角的定义，可判断；由异面直线所成角的定义，计算可判断【解答】解：四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，可得ACBD，SDAC，即有AC平面SBD，即有ACSB，故正确；由ABCD，AB平面SCD，可得AB平面SCD，故正确；由SD底面ABCD，可得SAD为SA与平面ABD所成的角，SCD为SC与平面ABD所成的角，由正方形ABCD可得ADCD，可得SADSCD，故正确；由ABCD，可得SCD为AB与SC所成的角，且为锐角；由CDAD，CDSD，可得CD平面SAD，可得CDSA，即有CD与SA所成的角为直角，故错误故答案为：【点评】本题考查空间的平行和垂直关系，
21、以及空间异面直线所成角和线面角的求法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共48分）17（12分）已知两条直线l1：ax+2y10，l2：3x+（a+1）y+10（1）若l1l2，求实数a的值；（2）若l1l2，求实数a的值【分析】（1）利用直线与直线平行的条件直接求解（2）利用直线与直线垂直的条件直接求解【解答】解：（1）两条直线l1：ax+2y10，l2：3x+（a+1）y+10l1l2，解得实数a2（2）两条直线l1：ax+2y10，l2：3x+（a+1）y+10l1l2，3a+2（a+1）0，解得实数a【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与
22、直线平行与垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18（12分）如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2，AC2，AA11，D为BC的中点（1）求证：A1B面ADC1；（2）求三棱锥BAC1D的体积【分析】（1）连接A1C交AC1于点O，连接OD，由已知条件推导出ODA1B，由此能证明A1B面ADC1；（2）利用转换底面，即可求三棱锥BAC1D的体积【解答】（1）证明：连接A1C交AC1于点O，连接OD，O、D分别为A1C、BC的中点，ODA1B且OD，又OD面ADC1且A1B面ADC1A1B面ADC1（6分）（2）解：ABBC2，ABC90又D为BC的中
23、点，BD1，SABDABBD1AA11，CC11，（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查锥体体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（理）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，且侧棱和底面垂直（1）求证：BD平面ACC1A1；（2）当ABCDA1B1C1D1为正方体时，求二面角BC1DC的余弦值【分析】（1）推导出ACBD，AA1BD，由此能证明BD平面ACC1A1（2）当ABCDA1B1C1D1为正方体时，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BC1DC的余弦值【解答】证明：（1）四棱柱ABCD
24、A1B1C1D1的底面是正方形，且侧棱和底面垂直ACBD，AA1BD，又ACAA1A，BD平面ACC1A1解：（2）当ABCDA1B1C1D1为正方体时，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），（1，1，0），（0，1，1），设平面BDC1的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），平面CDC1的法向量（1，0，0），设二面角BC1DC的平面角为，则cos二面角BC1DC的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、
25、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20（12分）已知圆C的方程：x2+y22x4y+m0（1）求m的取值范围；（2）圆C与直线x+2y40相交于M，N两点，且OMON（O为坐标原点），求m的值【分析】（1）由方程x2+y22x4y+m0配方为（x1）2+（y2）25m由于此方程表示圆，可得5m0，解出即可；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）与圆的方程联立可得0及根与系数关系，再利OMON得y1y2+x1x20，即可解出m【解答】解：（1）方程x2+y22x4y+m0，可化为（x1）2+（y2）25m，此方程表示圆，5m0，即m5（4分）（2
26、）消去x得（42y）2+y22（42y）4y+m0，化简得5y216y+m+804（245m）0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，由OMON得y1y2+x1x20，即y1y2+（42y1）（42y2）0，168（y1+y2）+5y1y20将两式代入上式得168+50，解之得符合（12分）【点评】本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到0及根与系数关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题21（12分）如图，圆x2+y216内有一点P（3，1），AB为过点P且倾斜角为的弦（1）当135时，求|AB|；（2）求过点P的弦的中点的轨迹方程【分析】（1）ktan13
27、51，从而直线AB：x+y+20，圆心（0，0）到直线AB的距离d，由此能求出|AB|（2）设过点P的弦与圆的交点是M（x1，y1），N（x2，y2），中点G（x，y），则x1+x22x，y1+y22y，利用“点差法”能求出过点P的弦的中点的轨迹方程【解答】解：（1）ktan1351，直线AB：y1（x+3），即x+y+20，圆心（0，0）到直线AB的距离d，|AB|222（2）设过点P的弦与圆的交点是M（x1，y1），N（x2，y2），中点G（x，y），则x1+x22x，y1+y22y，把M（x1，y1），N（x2，y2）代入圆的方程，得：，两式相减，得：（x1+x2）（x1x2）+（y1+y2）（y1y2）0，即2x（x1x2）+2y（y1y2）0，当直线的斜率k存在时，k，直线过P（3，1），G（x，y），k，即x2+y2y+3x0，当k不存在时，上式成立，过点P的弦的中点的轨迹方程为x2+y2y+3x0【点评】本题考查弦长的求法，考查过点的弦的中点的轨迹方程的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式、点差法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题
