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2018-2019学年山西省实验中学高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年山西省实验中学高二(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一项符合题目要求)1(3分)下列说法正确的是()A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点2(3分)下列各图中,直线a与b平行的只可能是()ABCD3(3分)如图:直线L1的倾斜角130,直线L1L2,则L2的斜率为()ABCD4(3分)若三点共线,则m的值为()ABC2D25(3分)如果AB0,BC0,那么直线AxByC0不经过的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6(3分)已知圆C与直线xy0及xy

2、40都相切,圆心在直线x+y0上,则圆C的方程为()A(x+1)2+(y1)22B(x1)2+(y+1)22C(x1)2+(y1)22D(x+1)2+(y+1)227(3分)设x、y满足,则zx+y()A有最小值2,最大值3B有最大值3,无最大值C有最小值2,无最大值D既无最小值,也无最大值8(3分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A1+B1+2C2+D29(3分)无论m取何值,直线(3m+1)x+(4m+1)y12m10都恒过一个定点,则定点的坐标为()A(8,9)B(9,8)C(15,14)D(14,15)10(3分)已知点A(2,1),B(2,1),若直线l:yk(x

3、1)+3与线段AB相交,则k的取值范围是()AB(,2CD11(3分)过点(1,2)作圆(x1)2+y21的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为()AyByCyDy12(3分)、是两个不同的平面,m、n是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断:mn;n;m以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,其中正确命题的个数是()A1个B2个C3个D4个二、填空题(每小题4分,共16分)13(4分)过点P(3,2),且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是 14(4分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD上运动,则异面直线CP与BA所成的角的取值范围是 15(4分)已知点A(3

4、,1),在直线xy0和y0上分别有点M和N,则AMN的周长最小值为 16(4分)如图所示:四棱锥SABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中正确结论的序号是 ACSB;AB平面SCD;SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;AB与SC所成的角的等于CD与SA所成的角三、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共48分)17(12分)已知两条直线l1:ax+2y10,l2:3x+(a+1)y+10(1)若l1l2,求实数a的值;(2)若l1l2,求实数a的值18(12分)如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC2,AC2,AA11,D为BC的中点(1)求证:A1B

5、面ADC1;(2)求三棱锥BAC1D的体积19(理)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形,且侧棱和底面垂直(1)求证:BD平面ACC1A1;(2)当ABCDA1B1C1D1为正方体时,求二面角BC1DC的余弦值20(12分)已知圆C的方程:x2+y22x4y+m0(1)求m的取值范围;(2)圆C与直线x+2y40相交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点),求m的值21(12分)如图,圆x2+y216内有一点P(3,1),AB为过点P且倾斜角为的弦(1)当135时,求|AB|;(2)求过点P的弦的中点的轨迹方程2018-2019学年山西省实验中学高二(上)期中数学试卷参考答案与试

6、题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一项符合题目要求)1(3分)下列说法正确的是()A三点确定一个平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D平面和平面有不同在一条直线上的三个公共点【分析】由公理3知:不共线的三个点确定一个平面,即可判断A;四边形有平面四边形和空间四边形两种,由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形,即可判断B;在同一平面内,只有一组对边平行的四边形为梯形,即可判断C;由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面,即可判断D【解答】解:A由公理3知:不共线的三个点确定一个平面,故A错;B四边形有平面四边形和空间四边形两种,由不共面的四

7、个点构成的四边形为空间四边形,故B错;C在同一平面内,只有一组对边平行的四边形为梯形,故C对;D由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面,故D错故选:C【点评】本题考查空间确定平面的条件,掌握三个公理和三个推论,是迅速解题的关键,本题属于基础题2(3分)下列各图中,直线a与b平行的只可能是()ABCD【分析】利用空间中线线、线面、面面的位置关系求解【解答】解:对于A,B,C中分别在平面,内的直线是异面直线,则a与b是异面直线,直线a与b不可能平行:故选:D【点评】本题主要考查空间异面,共面直线的判定,是基础题3(3分)如图:直线L1的倾斜角130,直线L1L2,则L2的斜率为()AB

8、CD【分析】由题意可得L2的倾斜角等于30+90120,从而得到L2的斜率为 tan120,运算求得结果【解答】解:如图:直线L1的倾斜角130,直线L1L2,则L2的倾斜角等于30+90120,L2的斜率为 tan120tan60,故选:C【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系,体现了数形结合的数学思想,属于基础题4(3分)若三点共线,则m的值为()ABC2D2【分析】利用向量坐标公式求出两个向量的坐标,据三点共线得两个向量共线,利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程求出m【解答】解:,三点共线共线5(m3)解得m故选:A【点评】本题考查向量的坐标的求法、两个向量共线的充要条件5(3

9、分)如果AB0,BC0,那么直线AxByC0不经过的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】化直线的方程为斜截式,由已知条件可得斜率和截距的正负,可得答案【解答】解:由题意可知B0,故直线的方程可化为,由AB0,BC0可得0,0,由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限,故选:B【点评】本题考查直线的斜率和截距的几何意义,属基础题6(3分)已知圆C与直线xy0及xy40都相切,圆心在直线x+y0上,则圆C的方程为()A(x+1)2+(y1)22B(x1)2+(y+1)22C(x1)2+(y1)22D(x+1)2+(y+1)22【分析】圆心在直线x+y0上,排除C、D,再验

10、证圆C与直线xy0及xy40都相切,就是圆心到直线等距离,即可【解答】解:圆心在x+y0上,圆心的纵横坐标值相反,显然能排除C、D;验证:A中圆心(1,1)到两直线xy0的距离是;圆心(1,1)到直线xy40的距离是故A错误故选:B【点评】一般情况下:求圆C的方程,就是求圆心、求半径本题是选择题,所以方法灵活多变,值得探究7(3分)设x、y满足,则zx+y()A有最小值2,最大值3B有最大值3,无最大值C有最小值2,无最大值D既无最小值,也无最大值【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数zx+y的最小值【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)由zx

11、+y得yx+z,平移直线yx+z,由图象可知当直线yx+z经过点C时,直线yx+z的截距最小,此时z最小由,解得,即C(2,0),代入目标函数zx+y得z2即目标函数zx+y的最小值为2无最大故选:C【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法8(3分)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是()A1+B1+2C2+D2【分析】判断得出三棱锥OABC,OE底面ABC,EAED1,OE1,ABBC,ABBC,可判断;OABOBC的直角三角形,运用面积求解即可【解答】解:三棱锥OABC,OE底面ABC,EAED1,OE1,ABB

12、CABBC,可判断;OABOBC的直角三角形,SOACSABC1,SOABSOBC2该四面体的表面积:2,故选:C【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用,关键是恢复几何体的直观图,考查了学生的空间思维能力9(3分)无论m取何值,直线(3m+1)x+(4m+1)y12m10都恒过一个定点,则定点的坐标为()A(8,9)B(9,8)C(15,14)D(14,15)【分析】在直线方程中,先分离参数,再令参数的系数等于零,求得x、y的值,可得直线恒过一个定点的坐标【解答】解:直线(3m+1)x+(4m+1)y12m10,即m(3x+4y12)+x+y10,令3x+4y120,则由m(3x+4y12)+

13、x+y10,可得 x+y10,解方程组,求得x8,y9,无论m取何值,直线(3m+1)x+(4m+1)y12m10都恒过一个定点(8,9),故选:A【点评】本题主要考查直线经过定点问题,属于基础题10(3分)已知点A(2,1),B(2,1),若直线l:yk(x1)+3与线段AB相交,则k的取值范围是()AB(,2CD【分析】求出直线的斜率,数形结合得答案【解答】解:A(2,1),B(2,1),直线l:yk(x1)+3,直线l过定点P(1,3),kPA2,kPB,若直线l:yk(x1)+3与线段AB相交,则k的取值范围是:(,2,+)故选:C【点评】本题考查直线的斜率,考查数形结合的解题思想方法

14、,是中档题11(3分)过点(1,2)作圆(x1)2+y21的两条切线,切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为()AyByCyDy【分析】求出以(1,2)、C(1,0)为直径的圆的方程,将两圆的方程相减即得公共弦AB的方程【解答】解:圆(x1)2+y21的圆心为C(1,0),半径为1,以(1,2)、C(1,0)为直径的圆的方程为:(x1)2+(y+1)21,将两圆的方程相减,即得公共弦AB的方程为2y+10即y故选:B【点评】本题考查了直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线问题,也考查了数形结合的数学思想,属于基础题目12(3分)、是两个不同的平面,m、n是平面及之外的两条不同直线,

15、给出四个论断:mn;n;m以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,其中正确命题的个数是()A1个B2个C3个D4个【分析】构造长方体ABCDA1B1C1D1,然后以四个论断中的其中三个为条件,推导第4个,借助于长方体中的线与面进行合理构造,然后进行合理推理,得出正确结论【解答】解:如图,做出长方体ABCDA1B1C1D1,下面判断一下四个命题:(1)mn;nm在长方体ABCDA1B1C1D1中,令面ADD1A1为,面ABCD为,直线CC1为n,A1C1为m,显然m不与垂直,所以此命题是假命题;(2)mn;mn此命题和上一命题是一样的,所以也是假命题;(3)mn;n;m由已知,、分别是面,的法

16、向量,因为mn,所以,所以,所以此命题是真命题;也可以利用长方体进行直观判断;(4);n;mmn在长方体ABCDA1B1C1D1中,令面ADD1A1为,面ABCD为,直线D1C1为m,CC1为n,则mn所以此命题为真命题故正确命题有两个故选:B【点评】长方体是判断有关空间线、面之间垂直关系的重要载体,特别是在选择题中,主要是根据已知与结论,合理选择线与面,然后做出正确的判断二、填空题(每小题4分,共16分)13(4分)过点P(3,2),且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是或x+y50【分析】当直线过原点时,求出斜率,斜截式写出直线方程,并化为一般式当直线不过原点时,设直线的方程为 x+y+m

17、0,把P(3,2)代入直线的方程,求出m值,可得直线方程【解答】解:当直线过原点时,斜率等于,故直线的方程为yx当直线不过原点时,设直线的方程为 x+y+m0,把P(3,2)代入直线的方程得 m5,故求得的直线方程为 x+y50,综上,满足条件的直线方程为 yx或 x+y50故答案为:yx或 x+y50【点评】本题考查求直线方程的方法,待定系数法求直线的方程是一种常用的方法,体现了分类讨论的数学思想14(4分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在线段AD上运动,则异面直线CP与BA所成的角的取值范围是【分析】由ABDC,得CP与AB成角可化为CP与DC成角,由此能求出异面直线CP与BA所

18、成的角的取值范围【解答】解:ABDC,CP与AB成角可化为CP与D1C成角ADC是正三角形可知当P与A重合时成角为,P不能与D重合因为此时DC与AB平行而不是异面直线,故答案为:【点评】本题考查直线与平面所成角的取值范围的求法,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养15(4分)已知点A(3,1),在直线xy0和y0上分别有点M和N,则AMN的周长最小值为2【分析】已知定点A(3,1),在直线xy0和y0上分别求点M和点N,使AMN的周长最短,并求出最短周长【解答】解:如图,设点A(3,1)关于xy0和y0上的对称点分别为B(1,3),C(3,1),|AM|+|AN|+|MN|BM|+|CN|

19、+|MN|,又|BM|+|CN|+|MN|BC|,周长的最小值是|BC|2又直线BC的方程为2x+y50,M(,)N(,0)此时,AMN的周长最短,且最短周长为2故答案为:2【点评】本题考查三角形周长的最小值的求法,考查两点间距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题16(4分)如图所示:四棱锥SABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,则下列结论中正确结论的序号是ACSB;AB平面SCD;SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角;AB与SC所成的角的等于CD与SA所成的角【分析】由线面垂直的判断和性质,可判断;运用线面平行的判

20、定定理可判断;运用线面角的定义,可判断;由异面直线所成角的定义,计算可判断【解答】解:四棱锥SABCD的底面为正方形,SD底面ABCD,可得ACBD,SDAC,即有AC平面SBD,即有ACSB,故正确;由ABCD,AB平面SCD,可得AB平面SCD,故正确;由SD底面ABCD,可得SAD为SA与平面ABD所成的角,SCD为SC与平面ABD所成的角,由正方形ABCD可得ADCD,可得SADSCD,故正确;由ABCD,可得SCD为AB与SC所成的角,且为锐角;由CDAD,CDSD,可得CD平面SAD,可得CDSA,即有CD与SA所成的角为直角,故错误故答案为:【点评】本题考查空间的平行和垂直关系,

21、以及空间异面直线所成角和线面角的求法,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题三、解答题(本大题共5小题,每小题12分,共48分)17(12分)已知两条直线l1:ax+2y10,l2:3x+(a+1)y+10(1)若l1l2,求实数a的值;(2)若l1l2,求实数a的值【分析】(1)利用直线与直线平行的条件直接求解(2)利用直线与直线垂直的条件直接求解【解答】解:(1)两条直线l1:ax+2y10,l2:3x+(a+1)y+10l1l2,解得实数a2(2)两条直线l1:ax+2y10,l2:3x+(a+1)y+10l1l2,3a+2(a+1)0,解得实数a【点评】本题考查实数值的求法,考查直线与

22、直线平行与垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题18(12分)如图,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC2,AC2,AA11,D为BC的中点(1)求证:A1B面ADC1;(2)求三棱锥BAC1D的体积【分析】(1)连接A1C交AC1于点O,连接OD,由已知条件推导出ODA1B,由此能证明A1B面ADC1;(2)利用转换底面,即可求三棱锥BAC1D的体积【解答】(1)证明:连接A1C交AC1于点O,连接OD,O、D分别为A1C、BC的中点,ODA1B且OD,又OD面ADC1且A1B面ADC1A1B面ADC1(6分)(2)解:ABBC2,ABC90又D为BC的中

23、点,BD1,SABDABBD1AA11,CC11,(12分)【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查锥体体积的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养19(理)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形,且侧棱和底面垂直(1)求证:BD平面ACC1A1;(2)当ABCDA1B1C1D1为正方体时,求二面角BC1DC的余弦值【分析】(1)推导出ACBD,AA1BD,由此能证明BD平面ACC1A1(2)当ABCDA1B1C1D1为正方体时,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角BC1DC的余弦值【解答】证明:(1)四棱柱ABCD

24、A1B1C1D1的底面是正方形,且侧棱和底面垂直ACBD,AA1BD,又ACAA1A,BD平面ACC1A1解:(2)当ABCDA1B1C1D1为正方体时,以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则D(0,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),(1,1,0),(0,1,1),设平面BDC1的法向量(x,y,z),则,取x1,得(1,1,1),平面CDC1的法向量(1,0,0),设二面角BC1DC的平面角为,则cos二面角BC1DC的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、

25、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题20(12分)已知圆C的方程:x2+y22x4y+m0(1)求m的取值范围;(2)圆C与直线x+2y40相交于M,N两点,且OMON(O为坐标原点),求m的值【分析】(1)由方程x2+y22x4y+m0配方为(x1)2+(y2)25m由于此方程表示圆,可得5m0,解出即可;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)与圆的方程联立可得0及根与系数关系,再利OMON得y1y2+x1x20,即可解出m【解答】解:(1)方程x2+y22x4y+m0,可化为(x1)2+(y2)25m,此方程表示圆,5m0,即m5(4分)(2

26、)消去x得(42y)2+y22(42y)4y+m0,化简得5y216y+m+804(245m)0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则,由OMON得y1y2+x1x20,即y1y2+(42y1)(42y2)0,168(y1+y2)+5y1y20将两式代入上式得168+50,解之得符合(12分)【点评】本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到0及根与系数关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法,属于中档题21(12分)如图,圆x2+y216内有一点P(3,1),AB为过点P且倾斜角为的弦(1)当135时,求|AB|;(2)求过点P的弦的中点的轨迹方程【分析】(1)ktan13

27、51,从而直线AB:x+y+20,圆心(0,0)到直线AB的距离d,由此能求出|AB|(2)设过点P的弦与圆的交点是M(x1,y1),N(x2,y2),中点G(x,y),则x1+x22x,y1+y22y,利用“点差法”能求出过点P的弦的中点的轨迹方程【解答】解:(1)ktan1351,直线AB:y1(x+3),即x+y+20,圆心(0,0)到直线AB的距离d,|AB|222(2)设过点P的弦与圆的交点是M(x1,y1),N(x2,y2),中点G(x,y),则x1+x22x,y1+y22y,把M(x1,y1),N(x2,y2)代入圆的方程,得:,两式相减,得:(x1+x2)(x1x2)+(y1+y2)(y1y2)0,即2x(x1x2)+2y(y1y2)0,当直线的斜率k存在时,k,直线过P(3,1),G(x,y),k,即x2+y2y+3x0,当k不存在时,上式成立,过点P的弦的中点的轨迹方程为x2+y2y+3x0【点评】本题考查弦长的求法,考查过点的弦的中点的轨迹方程的求法,考查直线方程、点到直线的距离公式、点差法等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题