1、2018-2019学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，请将其字母标号填入下表相应位置)1（3分）双曲线1的实轴长为（）A1B2C2D42（3分）命题：“xR，3x0”的否定是（）AxR，3x0BxR，3x0CxR，3x0DxR，3x03（3分）曲线yex+x在x0处的切线的斜率等于（）AeBe+1C1D24（3分）设xR，则“lx2”是“lx3”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（3分）抛物线x24y的焦点到准线的距离为（）AB1C2D46（
2、3分）对任意实数，则方程x2+y2sin4所表示的曲线不可能是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆7（3分）函数yx33x的单调递减区间是（）A（，0）B（0，+）C（，1），（1，+）D（1，1）8（3分）已知命题“x01，1，x02+3x0+a0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A（，+）B（4，+）C（2，4）D（2，+）9（3分）函数f（x）lnx的图象大致是（）ABCD10（3分）若函数f（x）kxlnx在区间（2，+）单调递增，则k的取值范围是（）A（，2BC2，+）D11（3分）已知双曲线C与椭圆E：1有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线C的标准方程为（）A1B1C1D112（
3、3分）函数f（x）的定义域为R，f（1）6对任意xR，f（x）2，则f（1nx）2lnx+4的解集为（）A（0，e）B（e，+）C（0，1）D（1，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在横线上)13（3分）椭圆+1的焦距是 14（3分）命题“如果x+y3，那么x1且y2”的逆否命题是 15（3分）曲线y2lnx在点（1，0）处的切线方程为 16（3分）已知双曲线E：1（a0，b0）的右顶点为A，抛物线C：y28ax的焦点为F若在E的渐近线上存在点P，使得，则双曲线E的离心率的取值范围是 三、解答题（本大题共3小题，共52分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（
4、10分）已知命题p：曲线yx2+（2m3）x1与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆1的焦点在y轴上（1）判断命题p的否定的真假；（2）若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围18（10分）已知抛物线C：y22px经过点P（4，4）（1）求抛物线C的方程；（2）若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为（2，1），求直线AB的方程19（10分）若x2是函数f（x）ax33x2的极值点（1）求a的值；（2）若xn，m时，4f（x）0成立，求mn的最大值说明：请考生在20，21两个小题中任选一题解答20（10分）已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2
5、，过（1，0）点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接AF1，BF1，且ABF1的周长为4（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，且，求的值21已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2，过（1，0）点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接AF1，BF1，且ABF1的周长为4（1）求椭圆C的标准方程（2）若|AB|4|F2A|，求直线AB的方程说明：请考生在22，23两个小题中任选一题解答22（12分）已知函数f（x）exax1（aR）（1）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）elnxax+e1，求证：当x0时，f（x）g（x）23已知函数f（x）exa
6、x1（aR）（1）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）0对任意x0恒成立，求a的取值范围2018-2019学年山西省太原市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，请将其字母标号填入下表相应位置)1（3分）双曲线1的实轴长为（）A1B2C2D4【分析】根据题意，由双曲线的方程求出a的值，即可得双曲线与x轴的交点，由实轴的定义计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线1，其中a，b2，其焦点在x轴上，则该双曲线与x轴的交点为（，0）与（，0），则实轴长2a2；故选：C【点评】
7、本题考查双曲线的标准方程以及双曲线实轴的定义，属于基础题2（3分）命题：“xR，3x0”的否定是（）AxR，3x0BxR，3x0CxR，3x0DxR，3x0【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：提问全称命题的否定是特称命题，所以命题：“xR，3x0”的否定是xR，3x0故选：C【点评】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可3（3分）曲线yex+x在x0处的切线的斜率等于（）AeBe+1C1D2【分析】求的导数，结合函数导数的几何意义求出对应的导数即可【解答】解：函数的导数为f（x）ex+1，则在x0处的导数f（0）e0+11+12，即切线斜率kf（0）2，故选：
8、D【点评】本题主要考查导数的几何意义，求出函数的导数是解决本题的关键4（3分）设xR，则“lx2”是“lx3”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由lx2，可得lx3，反之不成立，则答案可求【解答】解：若lx2，则lx3，反之，若lx3，则不一定有lx2，如x2.5xR，则“lx2”是“lx3”的充分而不必要条件故选：A【点评】本题考查充分条件、必要条件的判定方法，是基础题5（3分）抛物线x24y的焦点到准线的距离为（）AB1C2D4【分析】直接利用抛物线方程求解即可【解答】解：抛物线x24y的焦点到准线的距离为：P2故选：C【点评】本题考查抛物线
9、的简单性质的应用，基本知识的考查6（3分）对任意实数，则方程x2+y2sin4所表示的曲线不可能是（）A椭圆B双曲线C抛物线D圆【分析】根据sin的范围，可判断方程可表示圆，直线，双曲线，椭圆，故可得结论【解答】解：由题意，sin1，1sin1时，方程表示圆；sin0时，方程表示两条直线；sin1，0）时，方程表示双曲线；sin（0，1），方程表示椭圆即方程x2+y2sin4不表示抛物线故选：C【点评】本题以方程为载体，考查方程与曲线的关系，解题的关键是根据sin的范围，进行分类讨论，属于中档题7（3分）函数yx33x的单调递减区间是（）A（，0）B（0，+）C（，1），（1，+）D（1，1）
10、【分析】求导，令导数小于零，解此不等式即可求得函数yx33x的单调递减区间【解答】解：令y3x230解得1x1，函数yx33x的单调递减区间是（1，1）故选：D【点评】此题是个基础题考查学生利用导数研究函数的单调性8（3分）已知命题“x01，1，x02+3x0+a0”为真命题，则实数a的取值范围是（）A（，+）B（4，+）C（2，4）D（2，+）【分析】命题“x01，1，x02+3x0+a0”为真命题 等价于ax23x在x1，1上有解，构造函数f（x）x23x求最大值代入极即可【解答】解：命题“x01，1，x02+3x0+a0”为真命题 等价于ax23x在x1，1上有解，令f（x）x23x，x
11、1，1，则等价于af（x）minf（1）2，a2，故选：D【点评】本题考查了存在量词和特称命题，属中档题9（3分）函数f（x）lnx的图象大致是（）ABCD【分析】求函数的导数，研究函数的单调性和极值，进行判断即可【解答】解：函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）x，由f（x）0得x210得x1或x1（舍），此时函数为增函数，由f（x）0得x210得1x1，此时0x1，函数为减函数，即当x1时，函数f（x）取得极小值，且极小值为f（1）ln10，则对应的图象为A，故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数之间的关系，研究函数的单调性是解决本题的关键10（3分）
12、若函数f（x）kxlnx在区间（2，+）单调递增，则k的取值范围是（）A（，2BC2，+）D【分析】求出导函数f（x），由于函数f（x）kxlnx在区间（2，+）单调递增，可得f（x）0在区间（2，+）上恒成立解出即可【解答】解：f（x）k，函数f（x）kxlnx在区间（2，+）单调递增，f（x）0在区间（2，+）上恒成立k，而y在区间（2，+）上单调递减，kk的取值范围是：，+）故选：B【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题11（3分）已知双曲线C与椭圆E：1有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线C的标准方程为（）A1B1C1D1【分析】由椭圆方
13、程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案【解答】解：由椭圆+1，得a225，b29，则c2a2b216，双曲线与椭圆的焦点坐标为F1（0，4），F2（0，4），椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为设双曲线的实半轴长为m，则，得m2，则虚半轴长n，双曲线的方程是故选：C【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题12（3分）函数f（x）的定义域为R，f（1）6对任意xR，f（x）2，则f（1nx）2lnx+4的解集为（）A（0，e）B（e，+）C（0，1）D（1，+）【分
14、析】构造函数g（x）f（x）2x4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论【解答】解：设g（x）f（x）2x4，则g（x）f（x）2，对任意xR，f（x）2，对任意xR，g（x）0，即函数g（x）单调递增，f（1）6，g（1）f（1）240，函数g（x）单调递增，由g（x）g（1）0得x1，lnx1，xe即f（1nx）2lnx+4的解集为（e，+），故选：B【点评】本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在横线上)13（3分）椭圆+1的焦距是6【分析】根据题意，由椭圆的标准方程分析a、b的值，结
15、合椭圆的几何性质求出c的值，由椭圆焦距的定义分析可得答案【解答】解：根据题意，椭圆+1中，a5，b4，则c3，则该椭圆的焦距2c6；故答案为：6【点评】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质，注意求出c的值，属于基础题14（3分）命题“如果x+y3，那么x1且y2”的逆否命题是如果x1或y2，那么x+y3【分析】根据逆否命题的定义进行期求解即可【解答】解：命题的逆否命题为：如果x1或y2，那么x+y3，故答案为：如果x1或y2，那么x+y3【点评】本题主要考查四种命题之间的关系，根据逆否命题的定义是解决本题的关键若p则q的逆否命题为若q则p15（3分）曲线y2lnx在点（1，0）处的切线方程为y
16、2x2【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x1的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y2lnx，y，当x1时，y2曲线y2lnx在点（1，0）处的切线方程为y2x2故答案为：y2x2【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题16（3分）已知双曲线E：1（a0，b0）的右顶点为A，抛物线C：y28ax的焦点为F若在E的渐近线上存在点P，使得，则双曲线E的离心率的取值范围是（1，【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P（m，m），以及向量
17、的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围【解答】解：双曲线E：1（a0，b0）的右顶点为A（a，0），抛物线C：y28ax的焦点为F（2a，0），双曲线的渐近线方程为yx，可设P（m，m），即有（ma，m），（m2a，m），可得0，即为（ma）（m2a）+m20，化为（1+）m23ma+2a20，由题意可得9a24（1+）2a20，即有a28b28（c2a2），即8c29a2，则e由e1，可得1e故答案为：（1，【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大
18、于等于0，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共3小题，共52分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）已知命题p：曲线yx2+（2m3）x1与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆1的焦点在y轴上（1）判断命题p的否定的真假；（2）若“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，求实数m的取值范围【分析】（1）由函数的零点个数的判断：（2m3）2+40，即命题p为真命题，即命题p的否定为假命题，（2）由椭圆的性质及充分必要条件得“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，则命题p，q一真一假，又由（1）得命题p为真命题，则命题q为假命题，运算可得解【解答】解：（1）由（2m3）2+40
19、，可得曲线yx2+（2m3）x1与x轴相交于不同的两点，即命题p为真命题，即命题p的否定为假命题；（2）由“p且q”是假命题，“p或q“是真命题，则命题p，q一真一假，又由（1）得命题p为真命题，则命题q为假命题，即m2+12，解得m1或m1，故答案为：（，11，+）【点评】本题考查了函数的零点与椭圆的性质、充分必要条件，属简单题18（10分）已知抛物线C：y22px经过点P（4，4）（1）求抛物线C的方程；（2）若A，B为抛物线C上不同的两点，且AB的中点坐标为（2，1），求直线AB的方程【分析】（1）根据抛物线的定义，利用待定系数法即可求抛物线E的方程；（2）求直线AB的方程【解答】解：（
20、1）令抛物线E的方程：y22px（p0）抛物线C：y22px经过点P（4，4）168pp2，抛物线E的方程：y24x（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则y124x1，y224x2，两式相减，得（y1+y2）（y1y2）4（x2x1），即线段AB恰被M（2，1）所平分y1+y22，2，即直线的斜率k2，AB的方程为y12（x2），即2xy30【点评】本题主要考查抛物线方程的求解，以及直线和抛物线的位置关系的应用，利用点差法求出直线斜率是解决本题的关键19（10分）若x2是函数f（x）ax33x2的极值点（1）求a的值；（2）若xn，m时，4f（x）0成立，求mn的最大值【分析】（1）求
21、解导函数，结合导函数与极值的关系求解实数a的值即可；（2）由题意首先讨论函数的单调性，然后结合函数在关键点处的函数值确定实数a的取值范围即可【解答】解：（1）f（x）3ax26x，由已知f（2）12a120，得a1，经检验当a1时，满足题意，故a1（2）由（1）可知a1，f（x）3x（x2），当x0时，f（x）0，f（x）递增；当0x2时，f（x）0，f（x）递减；当x2时，f（x）0，f（x）递增；因此，f（x）极大值为f（0）0，极小值为f（2）4，又由f（x）0得x0或x3，由f（x）4得x2或x1，故mn的最大值为4【点评】本题主要考查导函数研究函数的极值，导函数研究函数的单调性等知识
22、，属于中等题说明：请考生在20，21两个小题中任选一题解答20（10分）已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2，过（1，0）点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接AF1，BF1，且ABF1的周长为4（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，且，求的值【分析】（1）由题意可得：2c2，4a4解得a，b即可得椭圆的方程（2）联立，解得：或，由，即可求解【解答】解：（1）由题意可得：2c2，解得c1，ABF1的周长为4解得a，b椭圆的方程为：（2）直线AB的方程为：yx1，设A（x1，y1）Bx2，y2）联立，化为3y2+2y10，解得：或，且，或3【点评】本题考查了
23、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、属中档题21已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2，过（1，0）点作直线与椭圆相交于A，B两点，连接AF1，BF1，且ABF1的周长为4（1）求椭圆C的标准方程（2）若|AB|4|F2A|，求直线AB的方程【分析】（1）由焦距为2，ABF1的周长为4可得c1，4a4，a2b2+c2联立解出即可得出（2）设直线AB的方程为：xmy+1，A（x1，y1），B（x2，y2）与椭圆方程联立，化为：（m2+2）y2+2my10，由|AB|4|F2A|，可得|BF2|3|F2A|，y23y1，与根与系数的关系联立即可得出【解答】解：（1）焦
24、距为2，ABF1的周长为4c1，4a4，a2b2+c2解得c1b，a椭圆C的标准方程为：1（2）设直线AB的方程为：xmy+1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，化为：（m2+2）y2+2my10，y1+y2，y1y2，|AB|4|F2A|，|BF2|3|F2A|，y23y1联立：y1+y2，y1y2，y23y1解得：m1直线AB的方程为：xy+1【点评】本题考查了椭圆的对于标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题说明：请考生在22，23两个小题中任选一题解答22（12分）已知函数f（x）exax1（aR）（1）当a0时，求函数f（x）的单调区
25、间；（2）若g（x）elnxax+e1，求证：当x0时，f（x）g（x）【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为证明exelnxe0，令h（x）exelnxe，根据函数的单调性证明即可【解答】解：（1）由f（x）exax1，f（x）exa，由f（x）0，解得：xlna，由f（x）0，解得：xlna，故f（x）在（，lna）递减，在（lna，+）递增，（2）证明：要证明f（x）g（x），即证exelnxe0，令h（x）exelnxe，则h（x）ex，令（x）ex，则（x）ex+0，故（x）即h（x）在（0，+）递增，又h（1）0，当x（0，1）
26、时，h（x）0，h（x）递减，当x（1，+）时，h（x）0，h（x）递增，故h（x）minh（1）0，故h（x）0，即exelnxe0，故f（x）g（x）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，转化思想，是一道常规题23已知函数f（x）exax1（aR）（1）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）0对任意x0恒成立，求a的取值范围【分析】（1）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（2）求f（x）的导数，利用导数研究函数f（x）在0，+）的单调性，然后讨论a的取值，从而确定f（x）的最值，即可确定实数a的取值范围【解答】解：（1）由f（x）exax
27、1，则f（x）exa由f（x）0，得xlna；由f（x）0，得xlna，所以函数f（x）的单调增区间为（lna，+），单调减区间为（，lna）；（2）由f（x）exax1，则f（x）exa当a1时，对x0，有f（x）0，所以函数f（x）在区间（0，+）上单调递增，又f（0）0，即f（x）f（0）0对x0恒成立当a1时，由（1），f（x）单调递增区间为（lna，+），单调递减区间为（，lna），若f（x）0对任意x0恒成立，只需f（x）minf（lna）aalna10，令g（a）aalna1（a1），g（a）1lna1lna0，即g（a）在区间（1，+）上单调递减，又g（1）0，故g（a）0在（1，+）上恒成立，故当a1时，满足aalna10的a不存在综上所述，a的取值范围是（，1【点评】本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法
